বীজগণিত

প্রশ্ন: তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ঠিক দুটি হেড উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা = ২^৩ = ৮টি।
মোট ফলাফল: {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} 

এখন 'ঠিক দুটি হেড' এর অর্থ দুটি H এবং একটি T অর্থাৎ এই তিনটি ফলাফল: {HHT, HTH, THH}

অনুকূল ফলাফল = ৩টি
এবং মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮টি

∴ সম্ভাবনা = পছন্দসই ফলাফল/মোট ফলাফল
= ৩/৮ 

সুতরাং, তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ঠিক দুটি হেড (Head) উঠার সম্ভাবনা হলো ৩/৮। 

মোট নমুনা বিন্দু = ৮ টি
প্রথমে হেড পাওয়ার নমুনা বিন্দু ={HHH, HHT, HTH, HTT} = ৪ টি
প্রথমে হেড পাবার শর্তে দুই বা ততোধিক বার হেড পাবার নমুনা বিন্দু = {HHH, HHT, HTH} = ৩ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ৩/৪ 

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা পরপর ৩ বার নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় ঠিক একবার হেড (H) এবং বাকি দুইবার টেইল (T) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} 
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি 

এখানে, 
শুধুমাত্র একটি হেড আসে এমন ঘটনা = (HTT, THT, TTH} 
∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ৩ টি 

∴ একবার হেড (H) এবং বাকি দুইবার টেইল (T) আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল​/মোট সম্ভাব্য ফলাফল 
= ৩/৮ 

প্রশ্ন: m বাস্তব সংখ্যা এবং 5m - 2 > - 12  হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
5m - 2 > - 12
⇒ 5m > - 12 + 2
⇒ 5m > - 10
⇒ m > - (10/5)
∴ m > - 2

∴ সঠিক উত্তর: m ∈ (- 2, ∞)

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১০ জন ইংরেজিতে, ১০০ জন ইতিহাসে এবং ৮০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাস করেছে = (১১০ - ৮০) জন = ৩০ জন
শুধু ইতিহাসে পাস করেছে = (১০০ - ৮০) জন = ২০ জন
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৮০ জন
যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৩০ + ২০ + ৮০) জন = ১৩০ জন
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (১৫০ - ১৩০) জন = ২০ জন

অতএব, উভয় বিষয়ে ২০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

১ম পদ, a = ১/৫
সাধারণ অনুপাত, r = ১/২৫ × ৫/১ = ১/৫
∴ অনন্ত ধারাটির সমষ্টি = a/(১ - r)
= (১/৫)/{১ - (১/৫)}
= (১/৫)/(৪/৫)
= ১/৫ × ৫/৪
= ১/৪

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₂ = ⁿC₈ হয়, তবে ²²C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₂ = ⁿC₈
⇒ ⁿC_{n - 12} = ⁿC₈ 
⇒ n - 12 = 8 
∴ n = 12 + 8 = 20 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²²C_n
= ²²C₂₀  ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21 
= 231

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ?

সমাধান:
(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ  নির্ণয় করতে হবে। 

(a + b)ⁿ হলে মোট পদের সংখ্যা = n + 1
মোট পদ = 20 + 1 = 21 টি

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: 4x⁴ - 13x² + 9 এর উৎপাদক নির্ণয় করুন। 
সমাধান: 
ধরি, y = x²
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়, 4y² - 13y + 9

4y² - 13y + 9
= 4y² - 4y - 9y + 9
= 4y (y - 1) - 9 (y - 1)
= (y - 1) (4y - 9) 

y = x² বসিয়ে পাই, 
(x² - 1) (4x² - 9) 

log3+log9+log27+…………………
= log3+log3²+log3³+…………………
= log3+2log3+3log3+……………
প্রথম পদ = log3
সাধারন অন্তর = (2log3 - log3) = log3

প্রশ্ন: যদি a + 4/a = 6 হলে, a³ + 64/a³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + 4/a = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 64/a³
= a³ + (4/a)³
= (a + 4/a)³ - 3 × a  × (4/a)(a + 4/a)
= (6)3 - 12 × 6
= 216 - 72
= 144

প্রশ্ন: 2x² + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = m, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ m² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ m² - 64 = 0
⇒ m² = 64
⇒ m = ± 8

সমান্তর প্রগমনে দ্বিতীয় ও প্রথম সংখ্যার ব্যবধান এবং তৃতীয় ও  দ্বিতীয় সংখ্যার ব্যাবধান সমান হবে।
এখানে ১৭ - ৫ = ১২
অতএব,১৭ + ১২ = ২৯

Given, p - 6/p = 1
⇒ p² - 6 = p
⇒ p² - p = 6
So, 6/(p²-p-1)
∴ 6/(6-1) = 6/5

প্রশ্ন: যদি a = 2/7, b = 1/3 এবং c = 1/8 হয় তাহলে a - 3b + 24c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 2/7
b = 1/3
c = 1/8

এখন, 
a - 3b + 24c
= (2/7) - (1/3) × 3 + 24 × (1/8)
= (2/7) - 1 + 3
= (2/7) + 2
= (2 + 14)/7
= 16/7

{(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৩০৫ + ৫)/২ x ((৩০৫ - ৫)/৩) +১
= ১৫৫ x ১০১
= ১৫৬৫৫

প্রশ্ন: 2a - b = 25 এবং a - 2b = 8 হলে (a - b)² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2a - b = 25 ……………(i)
a - 2b = 8 …………….(ii)

এখন,
(i) - 2 × (ii) করে পাই,

2a - b - 2a + 4b  = 25 -16 
⇒ 3b = 9 
⇒ b = 3

আবার, b এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
 2a - 3 = 25
⇒ 2a = 28
⇒ a = 14

∴ (a - b)² = (14 - 3)² 
= (11)²
= 121

দেওয়া আছে,
x + y = 7
তাই,
x এর মান 0 হলে y এর মান 7 হয়।
∴ xy = 0
x এর মান 1 হলে y এর মান 6 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 2 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 3 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 4 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 5 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 6 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 7 হলে y এর মান 0 হয়।
∴ xy = 0
সুতরাং xy এর ক্ষুদ্রতম মান 0.

এখানে গণনার যোজন বিধি হবে।
∴ মোট ভ্রমনের উপায় হবে ৬ + ৫ = ১১

প্রশ্ন: 25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 25,
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 25 = - 5 

সমান্তর ধারার n তম পদ, 
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = 25 + (n - 1)(- 5) [a_n​ = 0]
⇒ 0 = 25 - 5(n - 1)
⇒ 5(n - 1) = 25 
⇒ 5n - 5 = 25
⇒ 5n = 30
⇒ n = 30/5
n = 6

∴ শূন্য হবে 6 তম পদে।

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ} তাহলে A ∩ B এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7}
∴ বিজোড় সংখ্যা যেগুলো 1 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট সেই সংখ্যা গুলো হলো - 3, 5
∴ A = {3, 5}

এবং 
B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

8 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 8
∴ B = {1, 2, 4, 8}

∴ A ∩ B = {3, 5} ∩ {1, 2, 4, 8} = ∅ ; (অর্থাৎ কোনো সাধারণ উপাদান নেই)

হার তৈরির ক্ষেত্রে চক্র বিন্যাস হয় অর্থাৎ একটি স্থির ধরতে হয়।
আবার বামার্বত এবং ডানাবর্ত একই হয় বিধায় প্রকৃত হার এর সংখ্যা চক্র বিন্যাস এর অর্ধেক হবে।
∴ হার এর সংখ্যা = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= 120/2
= 60

অপশনগুলো R⊂C, R⊂B, R⊆C×B, C×B⊆R হলে গ হতো উত্তর

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯
∴ সাধারণ অন্তর = (১৯ - ৭) 
= ১২ 

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর 
= ১৯ + ১২ 
= ৩১

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: p² - 23p + 132

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p² - 23p + 132
= p² - 12p - 11p + 132
= p(p - 12) - 11(p - 12)
= (p - 12)(p - 11)

প্রশ্ন: 1 - 1/x = 3 হলে (x² + 1)/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
1 - 1/x = 3
⇒ (x - 1)/x = 3
⇒ x - 1 = 3x
⇒ 2x = - 1
⇒ x = - 1/2

(x² + 1)/x²
= {(- 1/2)² + 1}/(- 1/2)²
= (1/4 + 1)/(1/4)
= (5/4) × 4
= 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 36 ও 9 হলে, ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 36
দ্বিতীয় পদ = 9

∴ অনুপাত, r = 9/36
= 1/4

∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
= 36 × (1/4)³
= 36/64
= 9/16

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 9/16.

প্রশ্ন: f(x) = 5x² + kx + 6 এর একটি উৎপাদক যদি (x + 2) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x + 2) একটি উৎপাদক,
তাই x = - 2 হলে f(- 2) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 5x² + kx + 6
∴ f(- 2) = 5 × (- 2)² + k × (- 2) + 6 = 0
⇒ 20 - 2k + 6 = 0
⇒ 26 - 2k = 0
⇒ 2k = 26
∴ k = 13

⁴√x³ = 2
বা, x³ = 2⁴
বা, x³ = 16
∴ x⁶ = 16² 
= 256

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 6} এবং C = {1, 3, 5, a, b,} হলে, (A' ∪ B') ∩ C =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {2, 4, 6}
এবং B = {1, 3, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 6}
= {2, 4, 5}

A' ∪ B' = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}

∴ (A′ ∪ B′) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 5, a, b} = {1, 3, 5}

মনে করি,
সংখ্যাটি x
∴ x/3 + 5 = 3x + 25
বা, x + 15 = 9x + 75 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 8x = - 60
বা, x = - 60/8 = - 15/2

প্রশ্ন: প্রথম ১৫ টি জোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান:
প্রথম ১৫টি জোড় সংখ্যা হলো- ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬, ২৮, ৩০

এখান,
যেহেতু মোট ১৫টি সংখ্যা আছে (যা একটি বিজোড় সংখ্যা), তাই মধ্যক হবে ঠিক মাঝের সংখ্যাটি। এক্ষেত্রে
মধ্যক = {(১৫ + ১)/২} তম পদ  = ৮ম পদ।  

∴ ৮ম স্থানে থাকা সংখ্যাটি হলো ১৬।  

অতএব, প্রথম ১৫টি জোড় সংখ্যার মধ্যক হলো ১৬

প্রশ্ন: (1/√3), 1, √3.......... প্রদত্ত অনুক্রমটির কত তম পদ 27√3?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারন অনুপাত, r = 1/(1/√3 ) = √3
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
⇒ (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
⇒ (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (√3)^{n - 1} = {(√3)²}⁴
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8 
⇒ n = 8 + 1 = 9 

অর্থাৎ অনুক্রমটির 9-তম পদ হলো 27√3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি, ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
a_n​ = a + (n - 1)d
তাহলে,
a₅​ = a + 4d = 20............ (1)
a_8​ = a + 7d = 32.............(2)

(2) - (1) করে পাই, 
a + 7d - a - 4d = 32 - 20
⇒ 3d = 12
⇒ d = 4

d এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 16 = 20
⇒ a = 4

তাহলে 12 তম পদ,
a₁₂ = a + (12 - 1) d
⇒ a₁₂ = 4 + 11 × 4
⇒ a₁₂ = 4 + 44
⇒ a₁₂ = 48

∴ 12 তম পদ 48.

প্রশ্ন: যদি log₅(x² - 4) = 2 + log₅(x - 2) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
log₅(x² - 4) - log₅(x - 2) = 2
⇒ log₅((x² - 4)/(x - 2)) = 2
⇒ log₅(x + 2) = 2
⇒ x + 2 = 5² = 25
⇒ x = 23

পদ সংখ্যা
= {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= {(১১১-১৩)/৭}+১
= ১৪+১
= ১৫ তম পদ