বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= a + 14d

প্রশ্নমতে,
a + 14d = 92

আমরা জানি, প্রথম n পদের সমষ্টি:
S_n = (n/2) × [2a + (n - 1)d]
∴ প্রথম 29টি পদের সমষ্টি,
S₃₀ = (29/2) × [2a + (29 - 1)d]
= (29/2) × (2a + 28d)
= (29/2) × [2(a + 14d)]
= 29 × (a + 14d)
= 29 × 92
= 2668

x⁴ - 3x² + 1 = 0
বা, x⁴ + 1 = 3x²
বা, x⁴/x² + 1/x² = 3x²/x²
বা, x² + 1/x² = 3
এখন,
(x² - 1/x²)² = (x² + 1/x²)² - 4.x².1/x²
বা, (x² - 1/x²)² = 3² - 4
= 5
∴ x² - 1/x² = √5

প্রশ্ন: যদি log⁡₃x = 2 + log⁡₃y এবং xy = 81, তবে x-এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log⁡₃x = 2 + log⁡₃y এবং xy = 81
এখন, 
log⁡₃x - log⁡₃y = 2
⇒ log⁡₃(x/y) = 2
⇒ x/y = 3²
⇒ x/y = 9
∴ x = 9y ......(1)

আবার, 
xy = 81
⇒ 9y . y = 81
⇒ 9y² = 81 
⇒ y² = 9
∴ y = 3

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
x = 9y = 9 × 3 = 27

প্রশ্ন: ⁿC₈ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₈ = ⁿC₃
⇒ ⁿC₈ = ⁿC_{n - 3} [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 8 = n - 3
⇒ n = 8 + 3
∴ n = 11

প্রশ্ন: যদি Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96} হয়, তবে P(Q) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96}
6 ও 8 এর লসাগু = 24
96 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 24, 48, 72, 96 = 4 টি

∴ P সেটের সদস্য সংখ্যা = 4
∴ P(Q) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁴
= 16 টি

(b - c)/bc + (c - a)/ca + (a - b)/ab
= b/bc - c/bc + c/ca - a/ca + a/ab - b/ab
= 1/c - 1/b + 1/a - 1/c + 1/b - 1/a
= 0

১৩ + ২১ = ৩৪,
২১ + ৩৪ = ৬৫,
৩৪ + ৫৫ = ৮৯

প্রশ্ন: 5^{2x - 1}= 625 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1}= 625
⇒ 5^{2x - 1}= 5⁴
⇒ 2x - 1 = 4
⇒ 2x = 4 + 1
⇒ 2x = 5
⇒ x = 5/2

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + .............. + ১০৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৭ - ১২ = ৫
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ৫
শেষপদ = ১০৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ১০৭
বা, ৭ + (n - ১) × ৫ = ১০৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০৭ - ৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০০
বা, n - ১ = ১০০ / ৫
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি।

প্রশ্ন: 5, 7, 3, 1 সংখ্যাগুলোর ভেদাংক কোনটি?

সমাধান:
এখানে, 
5, 7, 3, 1 এর গড় = (5 + 7 + 3 + 1)/4 = 4

∴ ভেদাংক = [(4 - 5)² + (4 - 7)² + (4 - 3)² + (4 - 1)²]/4
= 5

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
​ ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০

এখানে
n = ১৫, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১৫ + ১)/২ তম পদ
= ৮ তম পদ
= ৩২

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x² + y² = 20 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6
⇒ (x + y)² = 6²
⇒ x² + 2xy + y² = 36  [যেহেতু x² + y² = 20]
⇒ 20 + 2xy = 36
⇒ 2xy = 16
∴ xy = 8

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (6)³ - 3 × 8 × 6
= 216 - 144
= 72

প্রশ্ন: 2^{t + 7} = 4^{t + 2} এর মান কত?

সমাধান:
2^{t + 7} = 4^{t + 2} 
⇒ 2^{t + 7} = 2^2(t+2)
⇒ 2^{t + 7} =2^{2t + 4}
⇒ t + 7 = 2t + 4
⇒ 2t - t = 7 - 4
⇒ t = 3

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{20(20 + 1)(40 + 1)}
= 2870

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30

আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 18 + 24 - 30
= 42 - 30
= 12 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ,  a₁ = 1,
শেষ পদ, a_n = 100,  
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

সমান্তর ধারার এর সাধারণ সূত্র:
S_n = (n/2) × (a₁ + a_n)

প্রথমে পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে: 
a_n = a₁ + (n - 1)d
⇒ 100 = 1 + (n - 1)⋅3
⇒ 100 - 1 = (n - 1)⋅3 
 ⇒ 99 = 3(n - 1)  
⇒ n - 1 = 33  
⇒ n = 34 
 
S₃₄​ = (34/2) × ​(1 + 100)
= 17 × 101
= 1717

প্রশ্ন: b³ - b এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
b³ - b
= b(b² - 1)
= b(b + 1) (b - 1)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, ‍a = 128
২য় পদ 64
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁷ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 7} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 7}
= 1/2^{n - 8}

প্রশ্ন: 6 - 2x ≥ 3x + 16 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6 - 2x ≥ 3x + 16
⇒ - 2x - 3x ≥ 16 - 6
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ - 2 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: 10, 4, 3, 2, 14, 8, 1, 20, 11, 5, 38, 9, 18, 7, 6, 8, 26, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15 প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 26, 38 
 
প্রদত্ত উপাত্তে 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ উপাত্তগুলোর প্রচুরক হলো 8

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক বেতন কামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৪,৮০,০০০ টাকা হলে কামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, কামালের মাসিক বেতন = ক টাকা
রহিমের মাসিক বেতন = ক + ৫০০০ টাকা

প্রশ্নমতে,
১২(ক + ক + ৫০০০) = ৪৮০০০০
⇒ ১২ক + ১২ক + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪ক + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪ক = ৪৮০০০০ - ৬০০০০
⇒ ২৪ক = ৪২০০০০
⇒ ক = ৪২০০০০/২৪
⇒ ক = ১৭৫০০

∴ কামালের মাসিক বেতন = ১৭৫০০ টাকা

প্রশ্ন: অসমতা সমাধান করুন: x² - 5x + 6 < 0

সমাধান:

সমাধান:
x² - 5x + 6 < 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 1} = 9^{x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^{x + 1} = 9^{x + 1}
⇒ 3^{x + 1} = (3²)^{x + 1}
⇒ 3^{x + 1} = (3)^{2x + 2}
⇒ x + 1 = 2x + 2
⇒ 2x - x = 1 - 2 
∴ x = - 1

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, (a - b)² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 13
এবং ab = 6

এখন,
(a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
= a² + b² - 2ab
= 13 - (2 × 6)
= 13 - 12
= 1

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ................. + 15³ = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি।
এখানে, n = 15

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (15 × 8)²
= (120)²
= 14400