বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀(10) = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5(5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴  x = 3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1} = ar² = 45 ………(1)
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1215 ………(2)

(2) ÷ (1) করলে,
ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3

এখন (1)-এ r এর মান বসাই,
a × 3² = 45
⇒ a × 9 = 45
∴ a = 45/9 = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 5 

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: 5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 5x - 3 ≤ 12
⇒ 5x - 3 + 3 ≤ 12 + 3
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/5
∴ x ≤ 3

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে:

সমাধান: 
প্রদত্ত সমীকরণ,
f(x) = 2x² + 3x + 1
এখন, f(x) = ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 2, b = 3 এবং c = 1

যদি a > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির (দ্বিঘাত ফাংশনের) ক্ষুদ্রতম মান = c - (b²/4a)
= 1 - {3²/(4 × 2)}
= 1 - (9/8)
= (8 - 9)/8
= - 1/8

ASTRAZENECA শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 3 টি A এবং 2 টি E বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
সুতরাং সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 11!/3!2!

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 14a² + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 14a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 14a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 14
⇒ a² + (1/a²) = 14
⇒ {a + (1/a)}² - 2 . a . (1/a) = 14 
⇒ (a + 1/a)² = 14 + 2
⇒ a + (1/a) = √16
∴ a + (1/a) = ± 4

প্রশ্ন: p³ - 9 + (p + 1)³ রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p³ - 9 + (p + 1)³
p³ - 9 + p³ + 3p² + 3p + 1
= 2p³ + 3p² + 3p - 8
= 2p³ - 2p² + 5p² - 5p + 8p - 8
= 2p²(p - 1) + 5p(p - 1) + 8(p - 1)
= (p - 1)(2p² + 5p + 8)

প্রশ্ন: ৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৮C_৪ = (৮)!/(৪!(৮ - ৪)!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪! )/(৪ × ৩ × ২ × ১  × ৪!) 
= ২  × ৭  × ৫ 
= ৭০ 

সুতরাং, সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

 আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

মনে করি, f(x) = 18x³ + 15x² - x - 2

x = - 1/2 এর জন্য f(x) = 0 হয়,

f(-1/2) = 18 × (-1/2)³ + 15 × (-1/2)² - (-1/2) - 2
= 18 × (-1/8) + 15 × (1/4) + (1/2) - 2
= - (9/4) + (15/4) + (1/2) - 2
= (- 9 +15 +2 - 8) / 4
= 0/4
= 0

∴ x - ( -1/2) = (1/2)(2x + 1), অর্থাৎ (2x + 1) হচ্ছে f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

প্রশ্ন: x³ - 3xy² + 2y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন- 

সমাধান:
এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
 ধরি, f(x) = x³ - 3xy² + 2y³
তাহলে, f(y) = y³ - 3y . y² + 2y³ = 3y³ - 3y³ = 0 
∴ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³ - 3xy² + 2y³
= x³ - x²y + x²y - xy² - 2xy² + 2y³
 = x²(x - y) + xy(x - y) - 2y²(x - y)
= (x - y)(x² + xy - 2y²)

প্রশ্ন: 20 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 4 গুণ ছিলো। 4 বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি, 
পিতার বর্তমান বয়স = a বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = b বছর

১ম শর্তানুসারে,  a - 20 = 4(b - 20)
⇒ a - 20 = 4b - 80
⇒ a = 4b - 60 ........ (1)

২য় শর্তানুসারে, a + 4 = 2(b + 4)
⇒ 4b - 60 + 4 = 2b + 8
⇒ 4b - 2b = 8 + 56
⇒ 2b = 64
∴ b = 32
অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স = 32 বছর

ধরি, মীমের বর্তমান বয়স x বছর
রিনার বর্তমান বয়স (x + ১০) বছর
প্রশ্নমতে,
২(x + ৭) = x + ১০ + ৭
⇒ ২x + ১৪ = x + ১৭
⇒ ২x - x = ১৭ - ১৪
∴ x = ৩
অতএব, রিনার বর্তমান বয়স (১০ + ৩) বা ১৩ বছর।

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: Log _2√2x = 4 হলে x = ?

সমাধান:
Log _2√2x = 4
⇒ Log _2√2x = 4
⇒ x = (2√2)⁴
⇒ x = 2⁴ (√2)⁴
⇒ x = 2⁴ {(√2)²}²
⇒ x = 16 × 2²
⇒ x = 16 × 4
∴ x = 64

প্রশ্ন: a² - 4a, a² - 16 এবং a² - 7a + 12 বীজগণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - 4a
= a(a - 4)

২য় রাশি = a² - 16
= a² - 4²
= (a + 4)(a - 4)

৩য় রাশি = a² - 7a + 12
= a² - 3a - 4a + 12
= a(a - 3) - 4(a - 3)
= (a - 3)(a - 4)

নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 4

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 33 তম পদ = a + (33 - 1)d
= 135 + 32 × 15
= 135 + 480
= 615

সুতরাং, ধারাটির 33 তম পদ হলো 615

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

সমাধান:
3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে {x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x= 3
⇒ (x + 1/x)² = 3²
⇒ x² + 2 . x . (1/x) + 1/x² = 9
⇒ x² + 1/x² = 9 - 2
∴ x² + 1/x² = 7

আবার,
x² + 1/x² = 7
⇒ {x² + (1/x²)}² = 7²
⇒ (x²)² + 2 . x² . (1/x²) + (1/x²)² = 49
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 49 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 47

সুতরাং,
{x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} = 7 × 47 = 329

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: 8x - by - 9 = 0 এবং 4x + 3y + 2 = 0 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x - by - 9 = 0
⇒ by = 8x + 9
∴ y = (8/b)x + (9/b)
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 8/b ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে] 

আবার, 
4x + 3y + 2 = 0
⇒ 3y = - 4x - 2
∴ y = (- 4/3)x - 2/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = - 4/3

আমরা জানি, 
সমান্তরাল হওয়ার শর্ত - দুটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হবে।
অর্থাৎ, m₁ = m₂
​⇒ 8/b = - 4/3
​⇒ - 4b = 24
​⇒ b = 24/- 4
∴ b = - 6

সুতরাং, b এর মান - 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে। 

এখানে -2<= x <=2……. (1)
and 3<= y <=8………..(2)
(2)-(1) হতে পাই, 5 <= y - x <= 6.

a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + (b²)² + 2.a².b² - (ab)²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)

প্রশ্ন: একটি শিক্ষার্থী ৬টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেল করার উপায়,
= ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆
= (6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1)
= 63

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি প্রতি 100 পিস পিঠা 35 টাকা দরে কিনে প্রতি ডজন পিঠা 7.20 টাকা দরে বিক্রয় করে 30 টাকা লাভ করলো। সে কতগুলো পিঠা কিনেছিলো?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 ডজন = 12
12 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20 টাকা
∴ 1 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20/12 টাকা
∴ 100 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = (7.20 × 100)/12 = 60 টাকা

∴ লাভ হয় = 60 - 35 = 25 টাকা

এখন,
25 টাকা লাভ হয় = 100 টি পিঠায়
∴ 1 টাকা লাভ হয় = 100/25 = 4টি পিঠায়
∴ 30 টাকা লাভ হয় = 30 × 4 = 120 টি পিঠায়

সুতরাং, সে পিঠা কিনেছিলো 120 টি। 

মোট নমুনা বিন্দু = ৬, ২ থেকে বড় সংখ্যার অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ৪
∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে  P ∩ Q’ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7}

এখন, 
Q’ = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}

P ∩ Q’ = {1, 2, 5} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} = {1, 2, 5} = P

∴ P ∩ Q’ = P 

a² + b² = 89
বা, 2(a² + b²) = 178
বা, (a + b)² + (a - b)² = 178
বা, (a - b)² = 178 - (a + b)²
বা, (a - b)² = 178 - (13)²
বা, (a - b)² = 178 - 169 = 9
∴ a - b = 3

প্রশ্ন: x - y = 2, x² - y² = 16 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x - y = 2 .......(1)
এবং x² - y² = 16
⇒ (x + y)(x - y ) = 16 ; [a² - b² = (a + b)(a - b)] 
⇒ (x + y) × 2 = 16
⇒ (x + y) = 16/2
∴ x + y = 8 .........(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই, 
⇒ x - y + x + y = 2 + 8
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5

প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:

সমাধান: 
দেওয়া অসমতা, 
- 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 - 3 < - x < - 2 - 3
⇒ - 11 < - x < - 5
⇒ 11 > x > 5  ; [সবদিকে - 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে] 
⇒ 5 < x < 11
⇒ 5 - 8 < x - 8 < 11 - 8 ; [এই ব্যবধানের মধ্যবিন্দু হলো = (5 + 11)/2 = 8] 
⇒ - 3 < x - 8 < 3
∴ |x - 8| < 3

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-9 × a⁴
= a^(7-5+3-9+4)
= a^(14-14)
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
4টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (8 - 4) + 1 = 5টি
5টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5! = 120

এবং বিশেষ বই 4টি সাজানোর মোট উপায় = 4! = 24

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 120 × 24
= 2880

সুতরাং, 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে 2880 প্রকারে সাজানো যায়।