বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৭৬ / ২০১ · ৭,৫০১–৭,৬০০ / ২০,২০৭

৭,৫০১.

3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

ক
ক) 1, 1
খ
খ) 1, (1/2)
গ
গ) 2, 1
ঘ
ঘ) (1/2), 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
3x + 7y = 10 ......................(1)
4x - y = 3..........................(2)

(1) + 7 × (2) ⇒
3x + 7y + 28x - 7y = 10 + 21
31x = 31
x = 31/31
x = 1

(1) ⇒
3 × 1 + 7y = 10
3 + 7y = 10
7y = 10 - 3
7y = 7
y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)

৭,৫০২.

3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?

ক
2 এবং 3
খ
4 এবং 3
গ
5 এবং 4
ঘ
3 এবং 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
3x - y = 9 ............ (1)
2x + y = 11 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
3x - y + 2x + y = 9 + 11
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(4) - y = 9
⇒ 12 - y = 9
⇒ y = 12 - 9
⇒ y = 3

∴ x = 4 এবং y = 3

৭,৫০৩.

"LOGARITHMS" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ কত প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে?

ক
ক) 21
খ
খ) 105
গ
গ) 63
ঘ
ঘ) 84

ব্যাখ্যা

"LOGARITHMS" শব্দটিতে 7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ আছে।

7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ⁷C₂
= 21

3 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= ³C₃
= 1

অতএব, "LOGARITHMS" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ 21 × 1 বা 21 প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে।

৭,৫০৪.

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
- 2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^x + 8.5^x+ 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 8.5^x+ 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^{x + 2} = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = - 2

৭,৫০৫.

(1/x) + (1/y) = 6 এবং (1/x²) - (1/y²) = 18 হলে, (1/x) - (1/y) = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/x + 1/y = 6 এবং (1/x²) - (1/y²) = 18 হলে, (1/x) - (1/y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/x + 1/y = 6
এবং (1/x²) - (1/y²) = 18

এখন,
(1/x²) - (1/y²) = 18
⇒ (1/x + 1/y)(1/x - 1/y) = 18
⇒ 1/x - 1/y = 18/6 [ 1/x + 1/y = 6 ]
∴ 1/x - 1/y = 3

৭,৫০৬.

(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২) এর মান কত?

ক
ক) ৫৫০
খ
খ) ২০০
গ
গ) ১২০
ঘ
ঘ) ৬৬০

ব্যাখ্যা

(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২)
= (১/১০ × ১১০/১০০ × ১২০/১০০) / (১/১০০ × ২/১০০)
= ৬৬০

৭,৫০৭.

a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² এর মান কত?

ক
42
খ
28
গ
52
ঘ
38

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6

প্রদত্ত রাশি,
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
= a² + 2ab + b² + b² + 2bc + c² + c² + 2ca + a²
= 2(a² + b² + c²) + 2ab + 2bc + 2ca
= 2{(a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca)
= 2{5² - 2 × 6} + 2 × 6
= 2(25 - 12) + 12
= 2 × 13 + 12
= 26 + 12
= 38

৭,৫০৮.

x = √8 + √7 হলে, x³ - 1/x³ এর মান কত?

ক
24√7
খ
112√2
গ
62√7
ঘ
58√7

ব্যাখ্যা

x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7

∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7

এখন, x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (2√7)³ + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7

[ বীজগণিত - বীজগাণিতিক সূত্রাবলী ]

৭,৫০৯.

U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) A∪U = U, A∩U = A
খ
খ) A∪U = A, A∩U = U
গ
গ) A∪U = { }, A∩U = {0}
ঘ
ঘ) উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, A∪U = U, A∩U = A

৭,৫১০.

2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট -

ক
ক) সমঞ্জস
খ
খ) নির্ভরশীল
গ
গ) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
ঘ
ঘ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল

ব্যাখ্যা

2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট এর মাত্র ১ টি সমাধান পাওয়া যায় তাই সমীকরণজোটটিকে সমঞ্জস বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোটটির ১ম সমীকরণকে ২য় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। তাই এরুপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
অনুশীলনের জন্য আরও কিছু উদাহরণ দেওয়া হলঃ
১) নিচের কোন সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল?
ক) x + 3y = 5, 4x + 12y = 20
খ) x + 3y = 5, 4x + 12y = 24
গ) x + 3y = 5, 4x + 2y = 20
ঘ) x + 3y = 5, x + 12y = 24
ব্যাখ্যাঃ
যে সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায় তা সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল।
ক) অপশনে x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।
তাই x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল।

২) যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা -
ক) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
খ) অসমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
গ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ঘ) অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল

ব্যাখ্যাঃ
যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
2x + y = 12
4x + 2y = 5
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
19 = 0 যা অসম্ভব
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান নাই।
তাই যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

৭,৫১১.

6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (1, 6)
খ
খ) (1, 5)
গ
গ) (6, 3)
ঘ
ঘ) (2, 7)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1.........(1)
3x + 2y = 13.........(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
3x + 2y = 13
3 × 1 + 2y = 13
3 + 2y = 13
2y = 13 - 3
2y = 10
y = 5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)

৭,৫১২.

একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/4
খ
1/3
গ
1/6
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো।
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 6 × 6 = 36

উভয় নিক্ষেপে যদি একই সংখ্যা আসে, তবে সম্ভাব্য জোড়াগুলো হবে,
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

এখানে,
মোট অনুকূল ঘটনা 6টি।

∴ P(উভয় নিক্ষেপে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 6/36
= 1/6

৭,৫১৩.

x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}² এর মান কত?

ক
9
খ
19
গ
29
ঘ
49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
{x + (1/x)}² = {x - (1/x)}² + 4. x. 1/x
= (5)² + 4
= 25 + 4
= 29

৭,৫১৪.

'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

ক
160
খ
240
গ
880
ঘ
1440

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'FLOWERS' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 2টি স্বরবর্ণ (O, E) ও 5টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, E স্বরবর্ণ থেকে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = ²P₁ = 2
অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6! = 720
∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 2 × 720 = 1440

৭,৫১৫.

(1/3)(a + a^{- 1}) = 1 হলে (a³ + a^{- 3}) এর মান কত?

ক
ক) 36
খ
খ) 14
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3)(a + a^-1) = 1 হলে (a³ + a^-3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/3)(a + a^-1) = 1
বা, a + a^-1 = 3
বা, a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a³ + a^-3
= a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . 1/a (a + 1/a)
= (3)³ - 3 . 3
= 27 - 9
= 18

৭,৫১৬.

। x - 3। < 5 এর সমাধান -

ক
ক) - 2 > x > 8
খ
খ) 2 < x < 8
গ
গ) - 2 < x < 8
ঘ
ঘ) x > 8

ব্যাখ্যা

।x - 3। < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x < 5 + 3
বা, - 2 < x < 8

৭,৫১৭.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
48
গ
60
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যাটি = 4x/5

প্রশ্নমতে,
x + (4x/5) = 108
বা, (5x + 4x)/5 = 108
বা, 9x/5 = 108
বা, 9x = 108 × 5
বা, x = (108 × 5)/9
বা, ক = 12 × 5
বা, ক = 60

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 60
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 108 - 60 = 48

৭,৫১৮.

একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?

ক
১৮
খ
২৮
গ
২০
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন?

সমাধান:
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না।
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪
= ২০

৭,৫১৯.

24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক
552
খ
630
গ
528
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
22 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁴C₁= 24
21 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় =²³C₁ = 23

∴ বাছাই সংখ্যা = (24 × 23)
= 552

৭,৫২০.

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/12
খ
খ) 1/6
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি

মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2H,4H,6H} = 3টি

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

৭,৫২১.

ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

ক
20!/26!
খ
26!/20!
গ
26!/(20! × 6!)
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, ইংরেজি বর্ণমালায় মোট 26 টি বর্ণ আছে। এই 26টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার 6 টি করে বর্ণ নিয়ে
গঠিত শব্দের সংখ্যা = ²⁶P₆ = 26!/20! = 165,765,600

৭,৫২২.

৫ জন কর্মকর্তা এবং ৬ জন কর্মচারীর মধ্য থেকে ৪ জনের কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে ১ জন বিশেষ কর্মকর্তা সর্বদা বিদ্যমান থাকে?

ক
৮৪
খ
৯৬
গ
১২০
ঘ
১১০

ব্যাখ্যা

মোট সদস্য = ৫+৬ = ১১
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ^১১-১C_৪-১
= ^১০C_৩
= ১২০

৭,৫২৩.

p² - 6p + 9= 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

ক
4 টি
খ
3 টি
গ
2 টি
ঘ
1 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p² - 6p + 9= 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 6p + 9 = 0
⇒ p2 - 3p - 3p + 9 = 0
⇒ p(p - 3) - 3(p - 3) = 0
⇒ (p - 3)(p - 3) = 0

হয়, p - 3 = 0 ⇒ p = 3
অথবা, p - 3 = 0 ⇒ p = 3

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b² - 4ac = 0 হয় তবে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে।

এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই -
b = - 6
a = 1
c = 9

নিশ্চায়ক = (- 6)² - 4.1.9
= 36 - 36
= 0

অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট অনুসারে সমীকরণটির মূল ২টি।
====================
⇒ জেনে রাখা ভালো -

অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।

৭,৫২৪.

যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক
5
খ
- 4
গ
3
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং,
a² + b² = 25

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 25 = (7)² - 2ab
⇒ 25 = 49 - 2ab
⇒ 2ab = 49 - 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

৭,৫২৫.

একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

ক
৫ জন
খ
১০ জন
গ
২০ জন
ঘ
১৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সমবায় সমিতির সদস্য সংখ্যা = ক জন।
প্রত্যেক সদস্য চাঁদা দেয় = মোট সদস্য সংখ্যার ২০ গুণ টাকা
= ২০ক টাকা।

∴ মোট সংগৃহীত টাকা = সদস্য সংখ্যা × প্রত্যেকের চাঁদা
= ক × ২০ক
= ২০ক^২

প্রশ্নানুসারে,
২০ক^২ = ২০০০
⇒ ক^২ = ২০০০/২০
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১০ জন।

৭,৫২৬.

AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!2!2!) = 5040
আবার, AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি A।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
অর্থাৎ, প্রথম শব্দটির বিন্যাস দ্বিতীয়টির বিন্যাসের 2520/5040 = 1/2 গুণ

৭,৫২৭.

35x² - x - 12 = 0 হলে x এর মান কত?

ক
x = 4/7, x= - 1/2
খ
x = 1/3, x= - 2/7
গ
x = 3/5, x= - 4/7
ঘ
x = 4/5, x= - 3/7

ব্যাখ্যা

35x² - x - 12 = 0
35x² - 21x + 20x - 12 = 0
7x(5x - 3) + 4(5x - 3) = 0
(5x - 3) (7x + 4) = 0

হয় অথবা
5x - 3 = 0 7x + 4 = 0
5x = 3 7x = - 4
x = 3/5 x= - 4/7

৭,৫২৮.

একটি কলেজে ৮০% ছাত্র পদার্থবিদ্যায় পাশ করেছে, ৭০% রসায়নে পাশ করেছে এবং ৫৫% উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কত শতাংশ ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
৫%
খ
৪%
গ
৭%
ঘ
১০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলেজে ৮০% ছাত্র পদার্থবিদ্যায় পাশ করেছে, ৭০% রসায়নে পাশ করেছে এবং ৫৫% উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কত শতাংশ ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পদার্থবিদ্যায় পাশ = ৮০%
রসায়নে পাশ = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫৫%
কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (পদার্থবিদ্যায় পাশ + রসায়নে পাশ) - উভয় বিষয়ে পাশ
= (৮০% + ৭০%) - ৫৫%
= ১৫০% - ৫৫%
= ৯৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = মোট ছাত্র - কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ
= ১০০% - ৯৫%
= ৫%

সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে ৫% ছাত্র।

৭,৫২৯.

3^x- 3^{x - 1} = 54 হলে x³ এর মান কত?

ক
81
খ
64
গ
32
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x- 3^{x - 1} = 54 হলে x³ এর মান কত?

সমাধান:
3^x - 3^{x - 1} = 54
বা, 3^x - 3^x . 3^{- 1} = 54
বা, 3^x - 3^x/3 = 54
বা, 3^x(1 - 1/3) = 54
বা, 3^x . 2/3 = 54
বা, 3^x = (54 × 3)/2
বা, 3^x = 81
বা, 3^x = 3⁴
বা, x = 4
বা, x³ = 4³
∴ x³ = 64

৭,৫৩০.

4 + 5 + 6 +..........+ 80 =?

ক
3234
খ
5044
গ
3246
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 5 + 6 +..........+80 =?

সমাধান:
(1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...........+ 80) - 1 - 2 - 3
= {80(80 + 1)/2} - 6
= (40 × 81) - 6
= 3240 - 6
= 3234

৭,৫৩১.

কোনো এক স্থানে সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা ৩০° সেলসিয়াস। প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৮° সেলসিয়াস ও শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৯° সেলসিয়াস হলে, চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা কত?

ক
ক) ৩৩° সেলসিয়াস
খ
খ) ৩৬° সেলসিয়াস
গ
গ) ৩৯° সেলসিয়াস
ঘ
ঘ) ৪৩° সেলসিয়াস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো এক স্থানে সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা ৩০° সেলসিয়াস। প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৮° সেলসিয়াস ও শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৯° সেলসিয়াস হলে, চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা = ৩০° সেলসিয়াস
∴ সপ্তাহের মোট তাপমাত্রা = (৩০ × ৭)° সেলসিয়াস
= ২১০° সেলসিয়াস।

আবার,
প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা = ২৮° সেলসিয়াস
∴ প্রথম ৩ দিনের মোট তাপমাত্রা = (২৮ × ৩)° সেলসিয়াস
= ৮৪° সেলসিয়াস।

শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা = ২৯° সেলসিয়াস
∴ শেষ ৩ দিনের মোট তাপমাত্রা = (২৯ × ৩)° সেলসিয়াস
= ৮৭° সেলসিয়াস।

∴ চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা = ২১০° - (৮৪ + ৮৭)° সেলসিয়াস
= ২১০° - (৮৪ + ৮৭)° সেলসিয়াস
= (২১০ - ১৭১)° সেলসিয়াস
= ৩৯° সেলসিয়াস।

৭,৫৩২.

log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

৭,৫৩৩.

4, 2, 1, (1/2), (1/4) ……………... ধারাটির পরের সংখ্যাটি কত হবে?

ক
8
খ
1/8
গ
1/16
ঘ
1/16

ব্যাখ্যা

প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী সংখ্যার অর্ধেক।
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
4/2 = 2
2/2 = 1
1/2 = 1/2
(1/2) / 2 = 1/4
(1/4) / 2 = 1/8 এবং আরও।
অতএব, ধারাটির পরের সংখ্যাটি হবে 1/8

৭,৫৩৪.

p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) p = (q + r)/2
খ
খ) q = (p + r)/2
গ
গ) r = (p + s)/2
ঘ
ঘ) q = (p + s)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ।
∴ সমান্তর ধারাটি p + q + r + s

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার যেকোন পদ এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী পদের গাণিতিক গড়ের সমান।
২য় পদ = (১ম পদ + ৩য় পদ)/২
∴ q = (p + r)/2

৭,৫৩৫.

y এর মান কত হলে (9x² - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
12
খ
10
গ
18
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে (9x² - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x² - xy + 16
= (3x)² - 2 × 3x × 4 + 4²
= (3x - 4)²

অতএব,
- xy = - 2 × 3x × 4
⇒ - xy = - 24x
⇒ y = 24

∴ y এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

৭,৫৩৬.

কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

ক
202
খ
204
গ
206
ঘ
208

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n.2^{n + 1}

১ম পদ = 3 . 1 . 2^{1 + 1}= 3 . 2² = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 2^{2 + 1} = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 2^{3 + 1} = 144

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144
= 204

৭,৫৩৭.

একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

ক
4
খ
7
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান:
কলমের দাম = 5x টাকা
এবং ডায়েরির দাম = 10(x + ২) টাকা

∴ মোট দাম = 5x + 10(x + ২)
= 5x + 10x + 20
= 15x + 20

প্রশ্নমতে,
15x + 20 ≤ 80
⇒ 15x ≤ 80 - 20
⇒ 15x ≤ 60
⇒ x ≤ 60/15
∴ x ≤ 4

সুতরাং x-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান 4

অতএব, সর্বাধিক 4টি কলম কিনেছে।

৭,৫৩৮.

যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে B - A এর মান নিচের কোনটি?

ক
{1, 4}
খ
{Ø, 6}
গ
{2, 4}
ঘ
Ø

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে B - A এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6}

প্রদত্ত রাশি,
B - A = {2, 4, 6} - {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= Ø

৭,৫৩৯.

যদি (x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান নির্ণয় করুন।

ক
0
খ
1
গ
252
ঘ
- 252

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0

ব্যবহৃত সূত্র:
(1.) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) যদি a + b + c = 0, তবে a³ + b³ + c³ = 3abc
(2.) যদি (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = 0, তবে x = a, y = b এবং z = c

প্রশ্ন অনুযায়ী,
⇒ (x - 3)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 0 অতএব, ⇒ x = 3, y = 4, z = - 7

অতএব,
? = x³ + y³ + z³
⇒ ? = 3³ + 4³ + (-7)³
⇒ ? = 27 + 64 - 343
⇒ ? = 91 - 343
⇒ ? = - 252

৭,৫৪০.

যদি A = {2, 3}, B = {1, 2} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-

ক
ক) {(2, 1) (2, 2) (3, 1)}
খ
খ) {(2, 1) (3, 1) (3, 2)}
গ
গ) {(1, 2) (3, 1) (3, 2)}
ঘ
ঘ) {(1, 2) (1, 3) (2, 3)}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {2, 3}, B = {1, 2} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-

সমাধান:
A = {2, 3}
B = {1, 2}

A × B = {2, 3} × {1, 2}
= {(2,1), (2, 2), (3,1), (3, 2)}
A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা করে অন্বয়টি {(2,1), (3,1), (3, 2)}

৭,৫৪১.

একটি থলেতে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৩
খ
১/৫
গ
৩/৫
ঘ
৪/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (৪ + ৫ + ৬) টি = ১৫ টি
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫
নীল বলের সংখ্যা = ৬ টি
সুতরাং নীল বলের অনুকুল ফলাফল = ৬

বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = নীল বলের অনুকুল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ৬/১৫ = ২/৫
∴ বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ২/৫
= (৫ - ২)/৫
= ৩/৫

৭,৫৪২.

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

ক
২৯
খ
৪১
গ
৫৩
ঘ
৬৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে -
সাধারণ অন্তর = (১৭ - ৫)
= ১২

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭ + ১২
= ২৯

∴ চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ২৯ + ১২
= ৪১

∴ পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণ অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

৭,৫৪৩.

3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512 এর মান কত?

ক
22
খ
18
গ
25
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512 এর মান কত?

সমাধান:
3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512
= 3log₇(7²) + 2log₅(5²) + 4log₈(8³)
= 3 × 2log₇7 + 2 × 2log₅5 + 4 × 3log₈8
= (3 × 2 × 1) + (2 × 2 × 1) + (4 × 3 × 1) [ ∵ log _aa = 1]
= 6 + 4 + 12
= 22

৭,৫৪৪.

x - 1/x = 3√5 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
343
খ
364
গ
126√5
ঘ
322

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = 3√5 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3√5

x + 1/x = √{(x - 1/x)² + 4 . x . (1/x)}
= √{(3√5)² + 4}
= √(45 + 4)
= √49
= 7

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 7³ - 3 × 7
= 343 - 21
= 322

৭,৫৪৫.

6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের পার্থক্য নির্ণয় করুন।

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের পার্থক্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাওয়া যায় 1, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 16.
এখানে পদের সংখ্যা 10.
সুতরাং 10/2 তম এবং এবং (10/2 + 1) তম অর্থাৎ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদ দুইটি মধ্যম পদ যাদের মান যথাক্রমে 7 ও 7. এ দুইটির গাণিতিক গড় হল 7.
সুতরাং মধ্যক হল 7.

সবচেয়ে বেশি উপাত্ত আছে 7। তাই প্রচূরক 7.

∴ মধ্যক ও প্রচূরকের পার্থক্য = 7 - 7 = 0

৭,৫৪৬.

দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 12 এবং 35 হলে সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক (Reciprocal) এর সমষ্টি কত?

ক
ক) 35/12
খ
খ) 12/35
গ
গ) 13/35
ঘ
ঘ) 13/37

ব্যাখ্যা

সংখ্যা দুইটি a ও b হলে,
a+b = 12
এবং ab = 35
∴1/a + 1/b = a+b / ab = 12/35

৭,৫৪৭.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
(7, 6)
খ
(5, 7)
গ
(7, 4)
ঘ
(6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61..........(¡)
x² - y² = 11..........(¡¡)
-----------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6

(¡) নং হতে পাই,
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

৭,৫৪৮.

2x² - 5x + 3 < 0 এর সমাধান -

ক
1 ≤ x ≤ 3/2
খ
x < 1 অথবা x > 3/2
গ
1 < x < 3/2
ঘ
-1 < x < -(3/2)

ব্যাখ্যা

2x² - 5x + 3 < 0
বা, 2x² - 3x - 2x + 3 < 0
বা, x(2x-3) - 1(2x-3) < 0
বা, (2x-3)(x-1) < 0

সংখ্যারেখা থেকে পাই,
1 < x < 3/2

৭,৫৪৯.

− 10 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- 4, 3]
খ
[- 4, 5)
গ
(- 2, 3]
ঘ
[- 2, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: − 10 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
− 10 < 3x + 2 ≤ 11
= - 10 - 2 < 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
= - 12 < 3x ≤ 9
= (- 12/3) < (3x/3) ≤ (9/3)
= - 4 < x ≤ 3

∴ অসমতাটির সমাধান (- 4, 3]

৭,৫৫০.

একটি ঝুড়িতে 12 টি নীল বল, 16 টি সাদা বল এবং 20 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/3
খ
2/3
গ
1/16
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে 12 টি নীল বল, 16 টি সাদা বল এবং 20 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়ি তে মোট বল সংখ্যা = 12 + 16 + 20 = 48 টি

সাদা বলের সংখ্যা = 16 টি
দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 16/48 = 1/3

∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/3) = (3 - 1)/3 = 2/3

৭,৫৫১.

a^m × aⁿ = কত?

ক
ক) am^m+n
খ
খ) a^m+n
গ
গ) aⁿ
ঘ
ঘ) a^m-n

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^m × aⁿ= কত?

সমাধান:
a^m × aⁿ =a^{m + n}

৭,৫৫২.

যদি x + 2y = 10 এবং x/y = 3 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
9
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 10 এবং x/y = 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 10 .......... (1)
এবং
x/y = 3
⇒ x = 3y .......... (2)

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 3y + 2y = 10
⇒ 5y = 10
⇒ y = 10/5
∴ y = 2

y এর মান (2) এ বসিয়ে পাই,
∴ x = 3 × 2 = 6

৭,৫৫৩.

x^-4 - 0.0001 = 0 হলে x² মান কত?

ক
10
খ
1/10
গ
100
ঘ
1/100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x ^-4 - 0.0001 = 0 হলে x² মান কত?

সমাধান:
x ^-4 - 0.0001 = 0
বা, 1/x⁴ = 0.0001
বা, 1/x⁴ = 1/10000
বা, 1/x⁴ = 1/10⁴
বা, x^-4 = 10^-4
বা, x = 10
∴ x² = 100

৭,৫৫৪.

একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?

ক
২৫ জন
খ
৩৬ জন
গ
৩৯ জন
ঘ
৪৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:

ধরি,
জিসানের পেছনে আছে = ক জন
সামনে আছে = (ক + ১২) জন
জিসান সহ সম্পূর্ণ লাইনে আছে = (ক + ক + ১২ + ১) জন
= (২ক + ১৩) জন

প্রশ্নমতে,
২ক + ১৩ = ৩ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৩
⇒ ক = ১৩

∴ সম্পূর্ণ লাইনে ছাত্র আছে = (২ × ১৩ + ১৩) জন
= (২৬ + ১৩) জন
= ৩৯ জন

৭,৫৫৫.

a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?

ক
√23
খ
√21
গ
21
ঘ
√27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?

সমাধান:
a + 1/a = 5

এখন
(a - 1/a)² = (a + 1/a)² - 4.a.1/a
(a - 1/a)² =5² - 4
(a - 1/a)² =25 - 4
(a - 1/a)² =21
(a - 1/a) = √21

৭,৫৫৬.

একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

ক
১৫ টি
খ
১৬ টি
গ
১৯ টি
ঘ
২১ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫(ক - ৩)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৫(ক - ৩) = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ১৫ = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ৪ক = ৪ + ১৫
⇒ ক = ১৯

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৯ টি

৭,৫৫৭.

যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 8x + y = কত?

ক
2
খ
- 2
গ
4
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 8x + y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 8x + y = 8 × (1/4) + (- 4)
= 2 - 4
= - 2

৭,৫৫৮.

= ?

ক
8
খ
12
গ
156
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: = ?

সমাধান:

৭,৫৫৯.

3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

ক
সসীম সেট
খ
অসীম সেট
গ
ফাঁকা সেট
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট (Infinite set):
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে ।
অসীম সেটের একটি উদাহরণ 3 এর গুণিতকের সেট , A = {3, 6, 9, 12, 15,.......}
এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না ।

৭,৫৬০.

ক
x + 2
খ
3x - 4
গ
3x + 1
ঘ
x - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭,৫৬১.

2a²+ a - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?

ক
(a + 3)(2a - 5)
খ
(a - 3)(a + 5)
গ
(a - 2)(a + 5)
ঘ
(2a + 3)(a - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a²+ a - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?

সমাধান:
2a²+ a - 15
= 2a² + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (a + 3)(2a - 5)

৭,৫৬২.

বাংলা বর্ণমালায় থেকে এলোমেলো ভাবে একটা বর্ণ বেছে নিলে সেটা ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩৯/৫০
খ
১/৫০
গ
১১/৩৯
ঘ
১১/৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাংলা বর্ণমালায় থেকে এলোমেলো ভাবে একটা বর্ণ বেছে নিলে সেটা ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বাংলা বর্ণমালায় মোট বর্ণ = ৫০টা
যেখানে, স্বরবর্ণ = ১১টা এবং ব্যঞ্জনবর্ণ = ৩৯টা

∴ ব্যঞ্জনবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৩৯/৫০
∴ ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩৯/৫০)
= (৫০ - ৩৯)/৫০
= ১১/৫০

সুতরাং, ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা ১১/৫০।

৭,৫৬৩.

f(x) = x² + 7x + c, c এর কোন মানের জন্য f(5) = 0?

ক
ক) -60
খ
খ) 60
গ
গ) 30
ঘ
ঘ) -30

ব্যাখ্যা

যেহেতু,
f(5) = 0
বা, 5² + 7.5 + c = 0
বা, 25 + 35 + c = 0
বা, c + 60 = 0
∴ c = -60

৭,৫৬৪.

1/x³ এর লব ও হরের সাথে কোন একই বীজগাণিতিক রাশি যোগ করলে যোগফল -{1/(x² + x)} হয়।

ক
ক) x
খ
খ) 1
গ
গ) -x
ঘ
ঘ) -1

ব্যাখ্যা

1/x³ এর লব ও হরের সাথে -x যোগ করে পাই,
(1 - x)/(x³ - x)
= -(x - 1)/{x(x² - 1)}
= - (x - 1)/{ x(x + 1)(x - 1)}
= - {1/(x² + x)}

৭,৫৬৫.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ১৬৮১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
ক) ২১
খ
খ) ৩১
গ
গ) ৪১
ঘ
ঘ) ৫১

ব্যাখ্যা

মনেকরি
ছাত্র সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে ,
ক × ক = ১৬৮১
ক^২ = ৪১^২
ক = ৪১

৭,৫৬৬.

2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y - 8 = 0 হলে (x, y) = ?

ক
(1, 2)
খ
(2, 1)
গ
(2, 3)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y - 8 = 0 হলে (x, y) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 7 ............. (1)
এবং
5x - 2y - 8 = 0
⇒ 5x - 2y = 8 ........... (2)

এখন,
(1) নং সমীকরণ × 2 করে পাই,
4x + 6y = 14 ............. (3)

(2) নং সমীকরণ × 3 করে পাই,
15x - 6y = 24 ............ (4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
19x = 38
⇒ x = 38/19
⇒ x = 2

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(2 × 2) + 3y = 7
⇒ 4 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4 = 3
⇒ y = 3/3
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (2, 1)

৭,৫৬৭.

16x² + 24x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

ক
বাস্তব, অসমান ও মূলদ
খ
বাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব মূল নেই
ঘ
বাস্তব, অসমান ও অমূলদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x² + 24x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
16x² + 24x + 9 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 16
b = x এর সহগ = 24
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (24)² - 4 × 16 × 9
= 576 - 576
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

৭,৫৬৮.

3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[1, ∞)
খ
[1/2, ∞)
গ
(1, ∞)
ঘ
[-1, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > 2 - 1
∴ x > 1

∴ সমাধান সেট (1, ∞) .

a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হলে
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} কে খোলা ব্যবধি (open interval) বলে।
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} কে বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) বলে।
• (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} এবং [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} কে যথাক্রমে খোলা-বদ্ধ ও বদ্ধ-খোলা ব্যবধি বলে।

৭,৫৬৯.

log₁₀(0.001) এর মান নির্ণয় করুন-

ক
2
খ
- 2
গ
3
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(0.001) এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
log₁₀(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 × 1 ; [log₁₀10 = 1]

∴ log₁₀(0.001) এর মান - 3

৭,৫৭০.

p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?

ক
1/4
খ
3/4
গ
2/3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?

সমাধান:
p + q = √3
p - q = √2

আমরা জানি
4pq = (p + q)² - (p - q)²
বা, 4pq = (√3)² - (√2)²
বা, 4pq = 3 - 2
বা, 4pq = 1
বা, pq = 1/4

৭,৫৭১.

a³ - 3a²b + 3ab² -2b³ রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে,উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

ক
ক) ( a - 2b ) ( a² - ab + b² )
খ
খ) ( a - 2 ) ( a² - ab + b² )
গ
গ) ( a - b ) ( a² - 2ab + 3b² )
ঘ
ঘ) ( a + b ) ( a² - ab + b² )

ব্যাখ্যা

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

৭,৫৭২.

16a³ - 46a² + 15a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

ক
a(16a - 3)(a - 5)
খ
a(2a + 5)(8a - 3)
গ
(4a - 3)(4a - 5)
ঘ
a(2a - 5)(8a - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16a³ - 46a² + 15a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান:
16a³ - 46a² + 15a
= a(16a² - 46a + 15)
= a(16a² - 40a - 6a + 15)
= a {8a(2a - 5) - 3(2a - 5)}
= a(2a - 5)(8a - 3)

৭,৫৭৩.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
5/2
খ
1/5
গ
3/2
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ
=log₅5√5
=log₅5 +log₅√5
= 1 + log₅5^1/2
= 1 + (1/2)log₅5
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

৭,৫৭৪.

x + y = 12 এবং x - y = 8 হলে xy এর মান কত?

ক
18
খ
26
গ
20
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 8 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12
x - y = 8

আমরা জানি,
xy = (1 / 4) {(x + y)² - (x - y)²}
= (1 / 4) × (12² - 8²)
= (1 / 4) × (144 - 64)
= (1 / 4) × 80
= 20

৭,৫৭৫.

(x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?

ক
6
খ
7
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
x/2 + 3 = x/3 + 4
⇒ x/2 - x/3 = 4 - 3
⇒ (3x - 2x)/6 = 1
⇒ x/6 = 1
∴ x = 6

৭,৫৭৬.

2^{(x - 1)} = 2√2 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 5/2
খ
খ) 3/2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{(x - 1)} = 2√2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{(x - 1)} = 2√2
2^{(x - 1)}= 2¹2^1/2
2^{(x - 1)} = 2^{(1 + 1/2)}
x - 1 = 3/2
x = 1 + 3/2
x = 5/2

৭,৫৭৭.

x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72.3^{3x - 5} = 2³
বা, 2³.3².3^{3x - 5} = 2³
বা, 3².3^{3x - 5} = 2³/2³
বা, 3^{2 + 3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 3} = 3⁰
বা, 3x - 3 = 0
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

৭,৫৭৮.

নিচের কোনটি 9a² + 18a - 40 এবং a² + 3a - 40 এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

ক
(3a - 4)
খ
(a + 8)
গ
(3a + 10)
ঘ
সাধারণ উৎপাদক নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9a² + 18a - 40 এবং a² + 3a - 40 এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
9a² + 18a - 40
= 9a² + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)

a² + 3a - 40
= (a² + 8a - 5a - 40)
= a(a + 8) - 5(a + 8)
= (a + 8)(a - 5)

অর্থাৎ, 9a² + 18a - 40 এবং a² + 3a - 40 এর কোন সাধারণ উৎপাদক নেই।

৭,৫৭৯.

x² - 16 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

ক
- 4 < x < 4
খ
- 4 < x ≤ 4
গ
- 4 ≤ x < 4
ঘ
- 4 ≤ x ≤ 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 16 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 16 ≤ 0
⇒ x² ≤ 16
⇒ x ≤ ± 4
∴ - 4 ≤ x ≤ 4

x এর মান বর্গমূল করলে + 4 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং - 4 থেকে বড় বা সমান।

৭,৫৮০.

2^{x + 7} = 4^{x + 2} হলে x² এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 9
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x + 7} = 4^{x + 2} হলে x² এর মান কত?

সমাধান:
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
2^{x + 7} = (2²)^{x + 2}
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
x + 7 = 2x + 4
2x - x = 7 - 4
x = 3
x² = 3²
x² = 9

৭,৫৮১.

একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
16
খ
18
গ
20
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

৭,৫৮২.

6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের গুণফল নির্ণয় করুন।

ক
49
খ
16
গ
42
ঘ
56

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের গুণফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাওয়া যায় 1, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 16.
এখানে পদের সংখ্যা 10.
সুতরাং 10/2 তম এবং এবং (10/2 + 1) তম অর্থাৎ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদ দুইটি মধ্যম পদ যাদের মান যথাক্রমে 7 ও 7. এ দুইটির গাণিতিক গড় হল 7.
সুতরাং মধ্যক হল 7.

সবচেয়ে বেশি উপাত্ত আছে 7। তাই প্রচূরক 7.

∴ মধ্যক ও প্রচূরকের গুণফল = 7 × 7 = 49

৭,৫৮৩.

৫, ৯, ১৭, ৩৩, ......... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
১২৮
খ
৬৫
গ
৫২
ঘ
১১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫, ৯, ১৭, ৩৩, ......... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = ৫
২য় পদ = ৫ × ২ - ১ = ৯
৩য় পদ = ৯ × ২ - ১ = ১৭
৪র্থ পদ = ১৭ × ২ - ১ = ৩৩
৫ম পদ = ৩৩ × ২ - ১ = ৬৫

৭,৫৮৪.

a + b = 9 এবং ab = 18 হলে, a² + b² এর মান কত?

ক
41
খ
53
গ
45
ঘ
58

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 18 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
a² + b² = (a + b)² - 2 · a · b
= 9² - 2 × 18
= 81 - 36
= 45

৭,৫৮৫.

x²− 2xy − z²+ 2yz এর সঠিক উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(x - y)(x - 2y + z)
খ
(x - z)(x - 2y + z)
গ
(x - z)(x + y - 2z)
ঘ
(x - y)(x - y + 2z)

ব্যাখ্যা

x²− 2xy − z² + 2yz
= x² − z² − 2xy + 2yz
= (x + z)(x - z) - 2y(x - z)
= (x - z)(x - 2y + z)

৭,৫৮৬.

একটি বক্সে ১০টি সাদা ও ১৫ টি নীল মার্বেল আছে। ২টি মার্বেল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
২/৩
খ
২/২৫
গ
১/৪
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে ১০টি সাদা ও ১৫ টি নীল মার্বেল আছে। ২টি মার্বেল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা মার্বেল = ১০টি
নীল মার্বেল = ১৫টি
∴ মোট মার্বেল = (১০ + ১৫) টি
= ২৫ টি

এখন,
২টি সাদা মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২৫) × (৯/২৪)
= ৩/২০
আবার,
২টি নীল মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১৫/২৫) × (১৪/২৪)
= ৭/২০

∴ একই রংয়ের হওয়ার মোট সম্ভাবনা = (৩/২০) + (৭/২০)
= ১০/২০
= ১/২

৭,৫৮৭.

5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?

ক
20 বছর
খ
15 বছর
গ
30 বছর
ঘ
25 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর বর্তমান বয়স = x বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = y বছর

প্রথম শর্তমতে,
5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ
⇒ x - 5 = 3(y - 5)
⇒ x - 5 = 3y - 15
∴ x = 3y - 10 ……… (1)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ (3y - 10) + 10 = 2(y + 10) ; [1 নং হতে]
⇒ 3y = 2y + 20
⇒ 3y - 2y = 20
∴ y = 20

সুতরাং খ-এর বর্তমান বয়স = 20 বছর

৭,৫৮৮.

করোনায় আক্রান্ত রোগীদের সমান সংখ্যায় ভাগ করে সাতটি রুমে রাখা হল, তাদের অবস্থা আশঙ্কাজনক হওয়ায় পুনরায় সমান সংখ্যায় ভাগ করে নয়টি ICU কক্ষে রাখা হল। তাদের সম্ভাব্য সংখ্যা কত?

ক
২১
খ
৪২
গ
৬৩
ঘ
৮৪

ব্যাখ্যা

করোনায় আক্রান্ত রোগীদের সমান সংখ্যায় ভাগ করে সাতটি রুমে রাখা হল।
তাদের অবস্থা আশঙ্কাজনক হওয়ায় পুনরায় সমান সংখ্যায় ভাগ করে নয়টি ICU কক্ষে রাখা হল।
তাদের সংখ্যা = ৭ ও ৯ এর লসাগু = ৬৩

৭,৫৮৯.

9x² - (x - y)² = কত?

ক
(4x - y)(x + 2y)
খ
(4x - y)(x + y)
গ
(x - y)(2x + y)
ঘ
(4x - y)(2x + y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x² - (x - y)² = কত?

সমাধান:
9x2 - (x - y)2
= (3x)2 - (x - y)2
= {3x + (x - y)}{3x - (x - y)}
= (3x + x - y)(3x - x + y)
= (4x - y)(2x + y)

৭,৫৯০.

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

ক
330
খ
720
গ
480
ঘ
840

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“POLAND" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480

৭,৫৯১.

A = {x ∈ N: পূর্ণসংখ্যা এবং 3 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N: জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B =?

ক
{4}
খ
{4, 6}
গ
{4, 6, 8}
ঘ
{4, 5, 6, 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N: পূর্ণসংখ্যা এবং 3 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N: জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B =?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 8}
= {4, 5, 6, 8} [3 এর চেয়ে বড় এবং 8 এর সমান বা ছোট পূর্ণসংখ্যা]

B = {x ∈ N : জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}
= {2, 4, 6, 8} [জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং 9 এর চেয়ে ছোট]

∴ A ∩ B = {4, 5, 6, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}

৭,৫৯২.

p²+ q²= 37 এবং pq = 6 হলে, (p - q)²এর মান কত?

ক
16
খ
20
গ
25
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p²+ q²= 37 এবং pq = 6 হলে, (p - q)²এর মান কত?

সমাধান:
(p - q)² = P²- 2pq + q²
= 37 - (2 × 6)
= 37 - 12
= 25

৭,৫৯৩.

log₁₀8 = a হলে, log₁₀(1/80) এর মান কত?

ক
a/10
খ
1 - a
গ
1/8
ঘ
- (a + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀8 = a হলে, log₁₀(1/80) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(1/80)
= log₁₀1 - log₁₀80
= - log₁₀(8 × 10)
= - (log₁₀8 + log₁₀10)
= - (log₁₀8 + 1)
= - (a + 1)

৭,৫৯৪.

যদি

ক
2
খ
4
গ
16
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

৭,৫৯৫.

6, 10, 14, 18 ....... অনুক্রমটির প্রথম 14টি পদের যোগফল কত?

ক
680
খ
340
গ
520
ঘ
448

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6, 10, 14, 18 ....... অনুক্রমটির প্রথম 14টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = (10 - 6) = 4
পদ সংখ্যা, n = 14

∴ ১ম n টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 14টি পদের যোগফল, S₁₄= (14/2){(2 × 6) + (14 - 1)4}
= 7 × {12 + 52}
= 7 × 64
= 448

৭,৫৯৬.

1024 এর 32 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
8
গ
2
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1024 এর 32 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₃₂(1024)
= log₃₂32²
= 2log₃₂32
= 2 × 1
= 2

৭,৫৯৭.

5 + 55 + 555 + ............. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1
খ
10
গ
1/100
ঘ
অসীমতক সমষ্টি নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 55 + 555 + .... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
55/5 = 11
555/55 = 10.09
সুতরাং এটি গুণোত্তর ধারা নয়, তাই প্রদত্ত ধারার কোন অসীমতক সমষ্টি নেই।

কোনো গুণোত্তর ধারার অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টিকে অসীমতক সমষ্টি বলে। মূলত, যেসব গুণোত্তর ধারা কনভার্জেন্ট সিরিজ এর মধ্যে পড়ে তাদেরই অসীমতক সমষ্টি থাকে।
যদি নিম্নোক্ত শর্তটি কোনো গুণোত্তর ধারা মেনে চলে তবে তার অসীমতক সমষ্টি থাকবে,
|r| < 1 অথবা, -1 < r < 1
এবং অসীমতক সমষ্টিটি হবে,
S_∞ = a/(1 - r)

কনভার্জেন্ট সিরিজ:
যেসব অসীম ধারার সকল পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নির্দেশ করে,তাকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে।

৭,৫৯৮.

1 থেকে 40 পর্যন্ত স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

ক
743
খ
820
গ
860
ঘ
940

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 40 পর্যন্ত স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

1 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {40 × (40 + 1)}/2
= (40 × 41)/2
= 820

৭,৫৯৯.

x + 9/x = 6 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 9/x = 6 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x + 9/x = 6
বা, (x² + 9)/x = 6
বা, x²+ 9 = 6x
বা, x² - 6x + 9 = 0
বা, x² - 2.x.3 + 32 = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা, x - 3 = 0
x = 3

৭,৬০০.

PSC- শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 3টি। অতএব বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 3 X 2 = 6.