বীজগণিত

(x-4)² = 0
বা, x² -8x+16 = 0
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় সমীকরণের মূল দুইটি।

প্রশ্ন: 5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x
= 5^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^x . 5
= 5^x . 5¹
= 5^{x + 1}

প্রশ্ন: যদি x^2/3 - 1 = 15 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^2/3 - 1 = 15
⇒ x^2/3 = 16
⇒ x = 16^3/2 [উভয় পাশে 3/2 ঘাত নিয়ে, কারণ (x^2/3)^3/2 = x ]
⇒ x = (√16​)³ 
⇒ x = (4)³
⇒ x = 64

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x - 5| < 3 অসমতাটির সমাধান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 5| < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 1 < x < 4

প্রশ্ন: যদি x > 0, y > 0 এবং log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y) হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y)
⇒ log{(x²/y) × (y²/x)} = log(x + y)  [লগের যোগফলের সূত্র অনুযায়ী]
⇒ log(xy) = log(x + y) 
⇒ xy = x + y [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

প্রশ্ন: 36m² + 64n² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
36m² + 64n²
⇒ (6m)² + 2 . 6m . 8n + (8n)2 
⇒ 36m² + 96mn + 64n²

∴ 36m² + 64n² রাশিটি সাথে 96mn যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320
⇒ 2^{a - 1} [1 + 2^{{a + 1 - (a - 1)}}] = 320
⇒ 2^{a - 1} (1 + 2²) = 320
⇒ 2^{a - 1} × 5 = 320
⇒ 2^{a - 1} = 320/5
⇒ 2^{a - 1} = 64
⇒ 2^{a - 1} = 2⁶
⇒ a - 1 = 6
⇒ a = 6 + 1
∴ a = 7

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সঙ্গে ১২ যোগ করলে সংখ্যাটির তৃতীয়াংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + ১২ = ক/৩
⇒ (ক + ৪৮)/৪ =  ক/৩
⇒ ৩(ক + ৪৮) = ৪ক
⇒ ৩ক + ১৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ১৪৪

সংখ্যাটি হলো ১৪৪

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x³ - 3x + 7 হলে, g(- 1) + g(1) = ?

 সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
g(x) = 2x³ - 3x + 7

এখন,
g(- 1) = 2(- 1)³ - 3(- 1) + 7
= 2(- 1) + 3 + 7
= - 2 + 3 + 7
= 8

এবং, 
g(1) = 2(1)³ - 3(1) + 7
= 2(1) - 3 + 7
= 2 - 3 + 7
= 6

∴ g(- 1) + g(1) = 8 + 6 = 14

প্রশ্ন: 8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} হলে, x এবং y-এর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} 
⇒ 2³ × 2⁴ × 2⁵ × 2⁶ = 2^{(x + y)} 
⇒ 2¹⁸ = 2^{(x + y)} 
⇒ 18 = x + y

∴ x এবং y এর গড় = (x + y)/2 = 18/2 = 9

প্রশ্ন: (1/2) {(p + q)² - (p - q)²} এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(p + q)² - (p - q)² = 4pq
∴  (1/2) {(p + q)² - (p - q)²}
= (1/2) × 4pq
= 2pq

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 5² = (a² + b² + c²) + 2.8
বা, 25 - 16 = a² + b² + c²
∴ a² + b² + c² = 9

2x/(x-4) + 3x/(x+2) = 5
বা, 2x/(x-4) - 2 = 3 - 3x/(x+2)
বা, (2x-2x+8) / (x-4) = (3x+6-3x) / (x+2)
বা, 8/(x-4) = 6/(x+2)
বা, 4/(x-4) = 3/(x+2)
বা, 4x + 8 = 3x - 12
∴ x = -20

নমুনাক্ষেত্র
মোট নমুনাবিন্দু = 36
দু'টি সংখ্যার গড় 3 এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = 5
∴ সম্ভাবনা = 5/36

x = 0 হলে,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ = √2
∴ x = 0

2x + 3y = 36.......(1)
2x + y = 16.........(2)
(1) নং - (2) নং ⇒
2y = 20
∴ y = 10
(2) নং ⇒
2x + 10 = 16
বা, 2x = 6
∴ x = 3

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,
সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

Given, p - 6/p = 1
⇒ p² - 6 = p
⇒ p² - p = 6
So, 3/(p²-p+3)
∴ 3/(6+3) = 1/3

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3 + x)/(5 + x) = 4/5 
বা, 15 + 5x = 20 + 4x 
বা, 5x − 4x = 20 − 15 
∴ x = 5 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 5  ।

f(x) = 3x² - 7x - 16 কে 3x + 2 দ্বারা ভাগ করলে
ভাগশেষ f{-(2/3)} = 3{-(2/3)}² - 7{-(2/3)} - 16
= 4/3 + 14/3 - 16
= (4 + 14 - 48)/3
= -30/3
= -10

প্রশ্ন: ৬টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি তসবী তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 6

∴ তসবী গঠনের উপায় = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 120/2
= 60

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা একটি সরল রেখা বোঝায় না?

সমাধান: 
সরল রেখার সমীকরণ হওয়ার শর্ত হলো y = mx + c
যেখানে, m = ঢাল এবং c = ধ্রুবক সংখ্যা।
প্রশ্নের অপশনগুলোর ক), খ) এবং ঘ) এই শর্তটি পূরণ করে বলে সমীকরণ তিনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করবে।

কিন্তু শুধু অপশন গ) এর 
y(2 + x) = 3
⇒ 2y + xy = 3
⇒ xy + 2y = 3
যা সরল রেখা হওয়ার শর্তটি পূরণ করে না। তাই এটি উত্তর।

শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে, 5 টি যাদের একটি স্বরবর্ণ এবং 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
প্রতিবার 1টি স্বরবর্ণ এবং 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে শব্দগঠনের উপায় = 1 × ⁴c₂ × 3! = 36

প্রশ্ন: P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P(A) = 0.5 = 1/2
এবং P(B) = 0.8 = 8/10 = 4/5

আমরা জানি,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/2) × (4/5)
= 2/5

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/5)/(1/2)
= (2/5) × (2/1)
= 4/5

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
a^x = a^y হলে x = y হবে।

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং 5x - 2y = 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হলো,
2x + 3y = 13........... (1)
5x - 2y = 4 ............ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 3 ⇒
2(2x + 3y) + 3(5x - 2y) = 2 x 13 + 3 x 4
⇒ 4x + 6y + 15x - 6y = 26 + 12
⇒ (4x + 15x) + (6y - 6y) = 38
⇒ 19x = 38
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলে কার্ডটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট তাস থাকে = ৫২ টি 

৫২ টি তাসে রাজা বা রাণীর সংখ্যা = (৪ + ৪) টি = ৮ টি 

∴ তাসটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৫২ = ২/১৩ 

প্রশ্ন: (8x)⁰ + 8x⁰ -এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(8x)⁰ + 8x⁰
= 1 + (8 × 1) [a⁰ = 1]
= 1 + 8
= 9

প্রশ্ন: a + 3 + (1/a) = 0 হলে a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3 + (1/a) = 0
⇒ a + (1/a) = - 3

এখন,
a³ + (1/a)³ 
= {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a){a + (1/a)}
= (- 3)³ - 3(- 3)
= - 27 + 9
= - 18

x/4 - x/5 = (x - 1)/10
বা, (5x - 4x)/20 = (x - 1)/10
বা, x/20 = (x - 1)/10
বা, x/2 = x - 1
বা, x = 2x - 2
বা, x = 2

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (3, 10)
এবং (x₂, y₂) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং x² + y² = 13 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ x² + 2xy + y² = 25 [যেহেতু x² + y² = 13]
⇒ 13 + 2xy = 25
⇒ 2xy = 12
∴ xy = 6

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: 5, 7, 9 এবং 15 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
গড়, x̄ = (5 + 7 + 9 + 15)/4
= 36 / 4
= 9

গড় বিচ্যুতি, MD = Σ|x_i - x̄|/n
= (|5 - 9| + |7 - 9| + |9 - 9| + |15 - 9|)/4
= (4 + 2 + 0 + 6)/4
= 12/4
= 3

∴ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি = 3