বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি 7 - 2x ≤ 15, হয়, তাহলে x-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া অসমতা,
7 - 2x ≤ 15
⇒ - 2x ≤ 8  ; [দুই পাশ থেকে 7 বিয়োগ করে পাই]
∴ x ≥ - 4  ; [দুই পাশকে - 2 দিয়ে ভাগ করি (ভাগ করার সময় ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে]

সুতরাং, সমাধান সেট x ∈ [- 4, ∞) 

প্রশ্ন: (2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ, a = 2/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/(2/√5)
= - 2 × √5/2
= - √5

আমরা জানি n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= (2/√5) × (-√5)⁶
= (2/√5) × {(-√5)²}³
= (2/√5) × (5)³
= (2/√5) × 125
= 250/√5
= (250 × √5)/5
= 50√5

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

সমাধান: 
9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9, b = - b এবং c = 81

এখন সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবার শর্ত হলো, b² - 4ac = 0
b² = 4ac
⇒ (- b)² = 4 × 9 × 81  ;[মান বসিয়ে]
⇒ b² = 36 × 81
⇒ b = ±√(36 × 81) = ±√(6² × 9²)
⇒ b = ±√(6 × 9)²
∴ b = ± 54

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ১১২ বসবে।

প্রশ্ন: p + q = 10 এবং p - q = 2 হলে p² + q² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 10 
p - q = 2

আমরা জানি, 
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
⇒ 2(p² + q²) = 10² + 2²
⇒ 2(p² + q²) = 100 + 4
⇒ 2(p² + q²) = 104
⇒ (p² + q²) = 104/2
∴ (p² + q²) = 52

4 জন এর কমিটি গঠন করতে হলে 3 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা সদস্য থাকতে হবে।
সুতরাং কমিটি গঠনের উপায় = ⁷c₃ × ⁴c₁
= 35 × 4
= 140

8^2/3 + 81^1/4 = 7k
⇒ 2^6/3 + 3^4/4 = 7k
⇒ 4+3 = 7k
⇒ k = 1

x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= x²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন:

সমাধান: 

log_x324 = 4
x⁴ = 324
x⁴ = (3√2)⁴
x = 3√2

 x² -x - (a+1)(a+2)= x² -x - (a+1)(a+1+1)
= x² -x - m(m+1) (let, a+1 = m)
= x²- m² -x -m
= (x+m)(x-m) -1(x+m)
= (x+m) (x-m-1)
= (x+a+1) (x-a-2)

x² - 2bx + (a + b)(b - a)
= x² - 2bx + (b + a)(b - a)
= x² - 2bx + b² - a²
= (x - b)² - a²
= (x + a - b)(x - a - b)

ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^2-1 = ar = -48 ...... (1)
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 ...... (2)
২নং ÷ ১নং হতে পাই,
r³ = 3/4 × (-1/48) = (-1/64)
r³ = {-(1/4)}³
∴ r = -(1/4)

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়,  তাহলে 10^{x - 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2
প্রদত্ত রাশি, 
10^{x - 2}
= 10^{2 - 2}
= 10⁰
= 1

x - {a - (x - b)}
= x - {a -x + b}
= x - a +x - b
= 2x - a - b

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন: 3x² - 2x + 1 = 0 সমীকরণের মূলগুলো কিরূপ হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3x² - 2x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই, 
এখানে, a = 3, b = - 2 এবং c = 1

আমরা জানি, 
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac 
= (- 2) ² - 4⋅3⋅1 
= 4 - 12
= - 8

যেহেতু নিশ্চায়ক D < 0 (ঋণাত্মক), তাই এই সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই (মূলগুলো হবে অবাস্তব বা কাল্পনিক)

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12। সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি = 10x + y ; [যেখানে x = দশকের অংক, y = এককের অংক]

দেওয়া আছে, 
x + y = 12 ……(1)

আবার, 
আর সংখ্যাটি থেকে 18 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। অর্থাৎ, 
⇒ (10x + y) - 18 = 10y + x
⇒ 10x + y - 18 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
⇒ 9(x - y) = 18
∴ x - y = 2 ……(2)

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 12 + 2
⇒ 2x = 14
∴ x = 7
তাহলে (1) থেকে পাই,
⇒ 7 + y = 12
∴ y = 5

সুতরাং, সংখ্যাটি = 10x + y = 10 × 7 + 5 = 75

প্রশ্ন: যদি xy < 0, xz > 0 এবং z < 0 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
z < 0, সুতরাং z ঋণাত্মক। 

আবার,
xz > 0 ; সুতরাং x ও ঋণাত্মক। 

এবং 
xy < 0 হওয়ায় y অবশ্যই ধনাত্মক। 

সুতরাং, y > 0। 

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a² +b² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
ab = 15

সূত্র অনুযায়ী,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ a² + b² = 8² - 2(15)
⇒ a² + b² = 64 - 30 
⇒ a² + b² = 34

∴ a² +b² এর মান = 34 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
xy = 63
x² + y² = 130

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 130 + (2 × 63)
= 130 + 126
= 256
∴ x + y = √256 = 16

4x⁴ + 16
= 4(x⁴ + 4)
= 4{(x²)² + 2²}
= 4{(x² + 2)² - 2.x².2}
= 4{(x² + 2)² - (2x)²}
= 4[{(x² + 2) + 2x}{(x² +2) - 2x}]
= 4(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

x+y = 8 এবং xy = 15 হলে,
(x-y)² = (x+y)² -4xy
x-y = 2
∴(x-y)⁴ =2⁴ = 16

সার্বিক সেট থেকে কোনো সদস্য বাদ দিলে যে সেট পাওয়া যায় তাকে পূরক সেট বলে
U - A = A′

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280