বীজগণিত

মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা। তাহলে. মোট চাঁদা, A=qx টাকা
পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত সদস্য সংখ্যা ছিল (x-5) জন এবং চাঁদা হলো (q+15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x-5)(q+15)
প্রশ্নানুসারে, qx= (x-5)(q+15)……….(i)
এবং qx=45,000……….(ii)
সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx=(x-5)(q+15)
বা, qx=qx-5q+15x-75
বা, 5q=15x-75=5(3x-15)
∴ q=3x-15………..(iii)
সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15)Xx=45000
বা, 3x2-15x=45000
বা,x2-5x=15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা,x2-5x-15000=0
বা, x2-125x+120x-15000=0
বা, x(x-125)+120(x-125)=0
বা, (x-125)(x+120)=0
সুতরাং, (x-125)=0 অথবা (x+120)=0
বা x=125 বা, x=-120
যেহেতু সদস্র সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴x=125
সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১২৫ জন।

প্রশ্ন: K এর কোন মানের জন্য 5x + 4y - 1 = 0 এবং 2x + Ky - 7 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল? 

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 5x + 4y - 1 = 0
⇒ 4y = - 5x + 1
⇒ y = (- 5/4)x + (1/4)
∴ ঢাল m₁ = - 5/4  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 2x + ky - 7 = 0
⇒ ky = - 2x + 7 
⇒ y = (- 2/k)x  + 7/k ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = - 2/k ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 5/4 = - 2/k
⇒ 5/4 = 2/k
⇒ 5k = 8
∴ k = 8/5

সুতরাং, k-এর মান 8/5 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

প্রশ্ন: 4log₁₀2 + log₁₀5 =?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 4log₁₀2 + log₁₀5
= log₁₀2⁴ + log₁₀5                [∵ log_aM^r = rlog_aM ]
= log₁₀16 + log₁₀5
= log₁₀(16 × 5)                      [∵ log_a(MN) = log_aM + log_aN]
= log₁₀80

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

মোট পতাকা ৬ টি,
সাদা ১ টি
সবুজ ২ টি
লাল ৩ টি
এক সঙ্গে ছয়টি পতাকা ব্যবহার করে সংকেত তৈরী করা যাবে ৬!/(১!২!৩!) = ৬০ টি

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3 টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁶C₃
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
= 16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3 × 2 × 1 × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2 × 1)
= 560

14(x+z)² - 29 (x+z) (x+1) - 15 (x+1)²

ধরি,
x+z = a
x+1 = b

প্রদত্ত রাশি,
14a² - 29ab - 15b²
= 14a² + 6ab - 35ab - 15b²
= 2a( 7a + 3b) - 5b(7a + 3b)
= (7a + 3b) (2a - 5b)
= (10x + 7z + 3) (2z - 3x - 5) [a ও b এর মান বসিয়ে]

মোট কার্ড সংখ্যা = ৫২ টি, রাজা = ৪টি, রানী = ৪টি, টেক্কা = ৪টি
∴ কার্ডটি রাজা বা রানী বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪ + ৪ + ৪) / ৫২
= ১২/৫২
= ৩/১৩

এক প্যাকেট তাসে ৫২ টি তাস থাকে এবং এর মধ্যা রাজা থাকে ৪ টি।
সুতরাং ১ টি তাস নিলে সেটা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৪/৫২ বা ১/১৩।

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10 
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
 = (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

x - {x - (x + 1)}
= x - {x - x - 1}
= x + 1

প্রশ্ন: x - 1/x = √2 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3. x. 1/x (x - 1/x)
= (√2)³ + 3. √2
= 2√2 + 3√2
= 5√2

প্রশ্ন: যদি x = 997, y = 998 এবং z = 999 হয়, তাহলে x² + y² + z² - xy - yz - zx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 997, y = 998 এবং z = 999

প্রদত্ত রাশি, 
x² + y² + z² - xy - yz - zx
= (1/2)[2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]
= (1/2)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
= (1/2)[(997 - 998)² + (998 - 999)² + (999 - 997)²]
= (1/2)[(- 1)² + (- 1)² + (2)²]
= (1/2)[1 + 1 + 4]
= (1/2) × 6
= 3

প্রশ্ন: যদি a = x² + z² , b = y² + z² , c = x² + y² হয়, তবে  a + b - c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = x² + z²
b = y² + z²
c = x² + y²

∴ a + b - c = x² + z² + y² + z² - (x² + y²)
= x² + z² + y² + z² - x² - y²
= 2z²

xy(x² + y²) = 1/8 × 4xy × 2(x² + y²)
= 1/8 × {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/8 × (4² - 2²)(4² + 2²)
= 1/8 × (16 - 4)(16 + 4)
= 1/8 × 12 × 20
= 30

মনে করি, মূলদ্বয় α ও -α
আমরা জানি, মূলদ্বয় এর যোগফল = -b/a
⇒ α - α = -k/1
∴ k = 0

প্রশ্ন: যদি a + b = c হয়, তাহলে a³ + b³ + 3abc = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab . (c) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

দেওয়া আছে, x^1/6 = √2
বা, x^1/6 = 2^1/2
বা, x^{1/6 × 6} = 2^{1/2 × 6}
বা, x = 2³
বা, x = 8

x + 1/x = 2
x²+1 = 2x
(x-1)² = 0
x = 1
∴ x/(x²+x-1)
= 1/(1²+1-1)
= 1

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে {x² - (1/x²)}² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 4² - 4 = 16 - 4 = 12
∴ x - (1/x) = √12

প্রদত্ত রাশি, 
x² - (1/x²)²
= [{x + (1/x)}{x - (1/x)}]²
= (4 × √12)²
= 16 × 12
= 192

x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= 1³ + 3.1
= 4

log_(3√2)324 = x
বা, x = log_(3√2)(3√2)⁴ = 4 log_(3√2)3√2
= 4.1
= 4

6a² - a - 15
= 6a² - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
= (3a - 5)(2a + 3)

A = {x:x, 6 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 3, 6}
B = {x:x, 8 গুণনীয়য়ক গুলো}
= {1, 2, 4, 8}
∴A∪B ={1, 2, 3, 4, 6, 8}

দেওয়া আছে, x + y = 3
এখন, x³ + y³ + 9xy
= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy
= 3³ - (3xy × 3) + 9xy
= 27 - 9xy + 9xy
= 27

একজনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে ১১ সদস্যের দল গঠনের উপায়,
= ^{(১৫ - ১)}c_{(১১ - ১)}
= ^১৪c_১০
= ১০০১

প্রশ্ন: p² - 1 - q(q - 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
p² - 1 - q(q - 2)
= p² - 1 - q² + 2q
= p² - (q² - 2q + 1)
= p² - (q - 1)²
= (p - q + 1)(p + q - 1)

প্রশ্ন: যদি 2401 × (7 ^{- 2x}) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, 
2401 (7^-2x) = 1 
⇒ 7^-2x = 1/2401
⇒ 7^-2x = 1/7⁴
⇒ 7^-2x = 7^-4
⇒ -2x = -4
∴ x = 2

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 4 টি
যথা, HH, HT, TH, TT
একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2
দ্বিতীয়বার টেল আসার সম্ভাবনা = 1/2

∴ উভয়ক্ষেত্রে টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = (1/2) × (1/2)
= 1/4
= 0.25

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³ = 3/4
বা, q³ = -3/192
বা, q³ = -1/64
বা, q³ = (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N: 5x ≤ 30} হলে, Q-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
Q = {x ∈ N : 5x ≤ 30},
5x ≤ 30
⇒ x ≤ 6 অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল স্বাভাবিক সংখ্যা Q সেটের উপাদান।
∴ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁶ = 64

∴ Q-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 64 - 1 = 63টি