বীজগণিত

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

প্রশ্ন: a + b + c = 13 এবং a² + b² + c² = 51 হলে, ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 13
এবং a² + b² + c² = 51

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (13)² - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 169 - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 118
বা, (ab + bc + ca) = 118/2 
∴ ab + bc + ca = 59

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

সমাধান: 
72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³
⇒ 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 8
⇒ 3^{3a - 5} = 8/72
⇒ 3^{3a - 5} = 1/9
⇒ 3^{3a - 5} = 1/3²
⇒ 3^{3a - 5} = 3^{- 2}
⇒ 3a - 5 = - 2
⇒ 3a = - 2 + 5
⇒ 3a = 3
⇒ a = 3/3
∴ a = 1 

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

৬ টি অঙ্কই ভিন্ন ভিন্ন এজন্য এদেরকে সাজালে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা হয়।
৬ টি জিনিসের মধ্যে ৩ টি কে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 6P₃ = 6!/(6 - 3)!
= 6!/3! = 6.5.4 = 120

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √3 হয়, তবে 8xy(x² + y²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = √11 এবং x - y = √3
প্রদত্ত রাশি = 8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²} × {(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²} × {(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

-2x-3 > -7
বা, -(2x +3) > -7
বা, 2x + 3 < 7
বা, 2x < 4
বা, x < 2
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট = {x∈R : x < 2}

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: x² + 5x + 6-এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 5x + 6
= x² + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৮ টি নীল বল, ১২ টি সাদা বল এবং ৪ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল সংখ্যা = ৮ + ১২ + ৪ = ২৪

নীল বলের সংখ্যা = ৮
∴ নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩

∴ নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
52 = a + (6 - 1)×10
বা, a = 52 - 50 = 2
সুতরাং 15 তম পদ = a + (n - 1)d = 2 + (15 - 1)×10 = 142

মোট বাহু 4 টি, তিনটি বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ ত্রিভূজ গঠিত হয় এক্ষেত্রে ত্রিভূজ সংখ্যা = ⁴c₃ = 4 কিন্তু, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4} এই তিনটি সমাবেশ ত্রিভূজ গঠন করতে পারে না।
∴ মোট ত্রিভূজ সংখ্যা = 4-3 = 1 টি

প্রশ্ন: √(- 3) × √(- 12) = কত?

সমাধান: √(-3)  × √(-12) 
= √(3i²) × √(12i²)
= √3 i × √12 i
= (√3 × √12) i²
= √36 (-1)
= - 6

কোনো সেট হতে প্রাপ্ত সকল উপসেটের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলে

(a + b)²
= (a - b)² + 4ab
= 6² + 4.7
= 36 + 28
= 64
∴ (a + b) = 8
∴ 1/12(a² - b²)
= 1/12(a + b)(a - b)
= 1/12×8×6
= 4

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক বেতন কামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৪,৮০,০০০ টাকা হলে কামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:

ধরি, কামালের মাসিক বেতন = x টাকা
∴ রহিমের মাসিক বেতন = ( x + ৫০০০) টাকা

প্রশ্নমতে,
১২(x + x + ৫০০০) = ৪৮০০০০
⇒ ১২x + ১২x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x = ৪৮০০০০ - ৬০০০০
⇒ ২৪x = ৪২০০০০
⇒ x = ৪২০০০০/২৪
∴ x = ১৭৫০০

∴ কামালের মাসিক বেতন = ১৭৫০০ টাকা

x+y = 4 --------- (i)
x-y = 3 ---------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 7
∴ x = 7/2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
7/2 + y = 4
⇒ y = 4 - 7/2
∴ y = ½
x ও y এর মান প্রদত্ত রাশিতে বসালে পাই-
x+2y = 7/2 + 2(½) = 7/2 + 1 = 9/2

প্রশ্ন: x - ( 1/x) = p হলে c/{x(x - p)} এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/{x(x - p)}
= c/1 
= c

ধরা যাক,
A = প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
B = দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
C = তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা

তাহলে,
P(A) = 1/3
P(B) = 1/4
P(C) = 1/2

অর্থাৎ,
প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩
দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪
তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ১/২

অতএব, প্রকল্পটির কোন সংস্থা থেকেই সাহায্য না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩ X ৩/৪ X ১/২ = ১/৪
সুতরাং, যে কোন একটি থেকে সহায়তা পাবার সম্ভাব্যতা =১ - ১/৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: 2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728? 

সমাধান: 
প্রগতিটির প্রথম পদ = 2, 
সাধারণ অনুপাত = 3, 
​
ধরা যাক,
​ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728 
∴ {2(3ⁿ - 1)}/(3 - 1) = 728 
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
​⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ প্রগতিটির 6 টি পদের সমষ্টি 728  । 

প্রশ্ন: ⁿP_{n - r} = ?

সমাধান:
ⁿP_{n - r} = n!/(n - n + r)!
= n!/r!

log_(0.04)x = -1.5
বা, x = (0.04)^-1.5
= (4/100)^-(3/2)
= (100/4)^3/2
= (25)^3/2
= (25)^3/2
= 5³
= 125

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ । 

প্রশ্ন: পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে বলা হয় কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হয়।
আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়।
অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা।
কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়।

সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো:
- গাণিতিক গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: b² + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
b² + 7b - 120
= b² - 8b + 15b - 120
= b(b - 8) + 15(b - 8)
= (b - 8)(b + 15)

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

a - [a - {a - (a - (a - 1))}]
= a - [a - {a - (a - a + 1)}]
= a - [a - {a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1

সমতলটির 12 টি কৌণিক বিন্দু থেকে ৩টি রেখা দিয়ে একটি ত্রিভুজ আঁকা যায়।
সুতরাং ত্রিভুজ সংখ্যা ¹²C₃
= 12! ÷ {3! × (12-3)!}
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (3 × 2 × 1 × 9!)
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (6 × 9!)
= 12 × 11 × 10 ÷ 6
= 220

প্রশ্ন: "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"BALLOON" শব্দটিতে মোট 7টি অক্ষর রয়েছে।
এদের মধ্যে 'L' অক্ষরটি 2 বার এবং 'O' অক্ষরটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে সাজানোর মোট উপায় হবে:
= 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1 × 2 × 1)
= 5040/4
= 1260
অতএব, "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে মোট 1260 উপায়ে সাজানো যায়।

3 বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা ⁴c₃ = 4 টি
কিন্তু {1, 2, 3}{1, 2, 4}{1, 3, 4} সমাবেশ গুলো ত্রিভুজ গঠন করতে পারেনা।
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি 

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কী?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - x - 6 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = -1, c = - 6

নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac = (-1)² - 4 × 1 × (- 6) = 1 + 24 = 25 > 0
তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

মূলদ্বয় নির্ণয় সূত্র অনুযায়ী,
x = {- b ± √(b² - 4ac)}/2a
=- (-1) ± √{(-1)² - 4 × 1 × (- 6)}/2.1
= 1 ± √(1 + 24)/2
= (1 ± √25)/2
= (1 ± 5)/2

∴ x₁ = 3 এবং x₂ = - 2

বিকল্প সমাধান:
x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒(x - 3)(x + 2) = 0

∴(x - 3) = 0 
⇒ x = 3

অথবা,
(x + 2) = 0
⇒ x = - 2

∴ x = 3, - 2

x² - x - 72
= x² - 9x + 8x - 72
= x(x - 9) + 8(x - 9)
= (x - 9)(x + 8)

৬টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ × ৪৩ = ২৫৮
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪ × ২৯ = ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৫৮ + ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৭৪/১০
= ৩৭.৪

এখানে, 2x + 3y = 36
বা, 2x = 36 - 3y
আবার,  2x + y = 16
বা,  36 - 3y + y = 16
বা,  -2y = 16 - 36 = -20
বা,  y = 10

তাহলে,  2x = 36 - 3y
বা, 2x = 36 - 3×10 = 36 - 30 = 6
বা, x = 3
সুতরাং, (x, y) = (3, 10)

প্রশ্ন: 6√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆6√6 = x
⇒ 6^x = 6√6
⇒ 6^x = 6¹ × 6^1/2
⇒ 6^x = 6^{1 + (1/2)}
⇒ 6^x = 6^3/2
⇒ x = 3/2

(1/a+1)/(1-1/a²)
={(1+a)/a}/{(a²-1)/a²}
={(1+a)/a}/{(a+1)(a-1)/a²}
=a/(a-1)

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 13 -7 = 6
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d
= 7+ (15 -1) x 6
= 7 + 14 x 6
= 91

1/( |(x - 1)| ) < 2
ধনাত্মক হলে, 1/ (x - 1) < 2
x – 1 < 1/2
x < 3/2
ঋণাত্মক হলে,1/ - (x - 1) < 2
x – 1 > - 1/2
x > 1/2
(- ∞, 1/2) ∪ (∞, 3/2)