বীজগণিত

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d.
দেওয়া আছে,
16 তম পদ = -20
বা, a + (16 - 1)d = -20
বা, a + 15d = -20

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
∴ ধারাটির প্রথম 31টি পদের সমষ্টি = (31/2){2a + (31 - 1)d}
                                          = (31/2) × 2(a + 15d)
                                          = 31×(-20)
                                          = -620

8p_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 8!/336
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5 = 3

• 1 থেকে 81 পর্যন্ত বর্গসংখ্যা 9টি এবং মোট সংখ্যা 81টি।
• সুতরাং একটি সংখ্যা দৈবচয়ন করা হলে, বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 9/81 = 1/9।

প্রশ্ন: 

সমাধান:

30 থেকে 40 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা = 31, 37
এবং 3 এর গুণিতক = 30, 33, 36, 39
∴ মৌলিক অথবা 3 এর গুণিতক সংখ্যা মোট = 6 টি
∴ সম্ভাবনা = 6/11

|x-3| < 5 অসমতাটির সমাধান:
-5 < x-3 < 5
Or, -5+3 < x-3+3 < 5+3
Or, -2 < x < 8

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 16
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 81
যেখানে,
a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 81
⇒ 16 × r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 81/16 = (3/2)⁴
∴ r = 3/2

∴ চতুর্থ পদ = ar³
= 16 × (3/2)³
= 16 × 27/8
= 2 × 27
= 54

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂x² - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂ [x²/(x - 4)] = 4
⇒ x²/(x - 4) = 2⁴ = 16
⇒ x² = 16(x - 4)
⇒ x² = 16x - 64
⇒ x² - 16x + 64 = ০
⇒ (x - 8)² = ০
⇒ x = 8

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 85 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 85  
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 85 এবং 
পদসংখ্যা = 85 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(85 + 1) × 85}/2
= (86 × 85)/2 
= 43 × 85 
= 3655  ।

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y × 5¹
= 5^{y + 1}

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 5x + a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² - 5x + a

যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 1 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(1) এর মান নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + 2(1)² - 5(1) + a
= 1 + 2 - 5 + a
= - 2 + a

শর্তমতে,
f(1) = 0
বা, - 2 + a = 0
∴ a = 2

a < b এবং b < c
∴ a < c

৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০
৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩
১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৪৩
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০
= ৩৪.৩

প্রশ্ন: x + (1/x) = √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + (1/x) = √3

আমরা জানি, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x . {x + (1/x)}
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HH, HT, TH, TT} = ৪ টি নমুনা বিন্দু
১ম মুদ্রায় টেল এবং ২য় মুদ্রায় হেড এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ১ টি
∴ সম্ভাবনা = ১/৪

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1= aq = -48
∴ a = -48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ= aq^5-1= aq4 =(-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে] = -48q³

প্রশ্নমতে,
-48q³= 3/4
বা, q³= -3/192
বা, q³= -1/64
বা, q³= (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির একটি উৎপাদক কি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
f(1) = 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 0

সুতরাং, (x - 1) রাশি f(x) এর একটি উৎপাদক।

দেওয়া আছে,
a + 1/a = √3.

∴ a³ + 1/a³ = (a + 1/a)3 - 3.a.1/a (a + 1/a)
= (√3)3 - 3.√3 [a + 1/a = √3 বসিয়ে]
= 3√3 - 3√3
= 0

৩৩ - ১৯ = ১৪,
৫১ - ৩৩ = ১৮,
৭৩ - ৫১ = ২২,

∴ ১৯, ৩৩, ৫১ এই ধারার প্রথম সংখ্যা হবে ১৯ - ১০ = ৯

প্রশ্ন: P(A) = 1/5, P(B) = 1/2 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/5, P(B) = 1/2

আমরা জানি, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........(১)

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

এখন (১) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - {P(A) × P(B)}
= (1/5) + (1/2) - {(1/5) × (1/2)}
= {(2 + 5)/10} - (1/10)
= (7/10) - (1/10)
= (7 - 1)/10
= 6/10
= 3/5

প্রশ্ন: ১৫ + ১২ + ৯ + ৬ + ....... - ৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ১৫ = - ৩
এবং শেষ পদ, l = - ৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৫ + (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ 
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৪৮ - ১৫
⇒ (n - ১) × (- ৩) = - ৬৩
⇒ n - ১ = - ৬৩/- ৩
⇒ n - ১ = ২১
⇒ n = ২১ + ১ 
∴ n = ২২

সুতরাং, ধারাটিতে ২২টি পদ আছে।

প্রশ্ন: x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বহুপদী রাশি f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।

এখানে, ভাজ্য, f(x) = x³ - x²
ভাজক, g(x) = x - 2

এখন, x = 2 মানটি f(x)-এ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - (2)²
 = 8 - 4
= 4

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 4

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
∴ n(A) = 6
মৌলিক সংখ্যার অনুকূলে নমূনা বিন্দু = {2, 3}
∴ সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3

কমিটি গঠনের উপায় = ⁸C₃ × ⁸C₃ = 3136