বীজগণিত

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হচ্ছে - গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x/2 - x/3 = 18
বা, (3x - 2x)/6 = 18
সুতরাং, x = 108

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ........................................ ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1
সুতরাং, a = 1, b = 1.

7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি 5 অথবা 6 দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ²p₁ = 2 উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
অবশিষ্ট 3টি অংক 3! = 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়
∴ 7000 থেকে ছোট সংখ্যা = 2 × 6
= 12 টি

z^c = x
(y^b)^c = x [z = y^b]
(x^a)^bc = x
x^abc = x¹
abc = 1

প্রশ্ন: S = {1, 2, 3} ও T = Ø হলে S ∩ T = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
S = {1, 2, 3}
T = Ø

S ∩ T = {1, 2, 3} ∩ Ø
= Ø

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(3^-4)
= - 4 log₃3
= - 4 × 1
= - 4

x² + y² = 185
(x - y)² + 2xy = 185 [ x - y = 3]
2xy = 185 - 9
2xy = 176
∴ 4xy = 352
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy} = √(3² + 352)
∴ x + y = √361 = 19
x + y = 19........(1)
x - y = 3............(2)
(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
2x = 22
x = 11
∴ y = 8

প্রশ্ন: a³ + 3a + 36 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ + 3a + 36
= a³ + 27 + 3a + 9
= (a)³ + (3)³ + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9 + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 12)

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2)
= 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359

ORBITAL শব্দে মোট 7টি বর্ণ আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
মধ্যবর্তী স্থানটি স্বরবর্ণ দিয়ে ³p₁ = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট দু'টি শূন্যস্থান 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করা যায় = ⁴p₂ = 12 উপায়ে
∴ শব্দ গঠনের মোট উপায় = 3 × 12
= 36 

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
⇒ 3^{2(x - 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2x - 2} = 3⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

প্রশ্ন: 7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?

সমাধান:
7 জন শিক্ষক থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁷C₂
= 7!/(2! × 5!)
= (7 × 6)/(2 × 1)
= 21

5 জন শিক্ষার্থী থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₂
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 21 × 10 = 210

y<7 হল সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0≤x≤5 হল 1, 2, 3, 4, 5
∴ y = -1  x = 2 হলে xy = -2
y = 0 x = 2 হলে xy = 0
y = 3 x = 2 হলে xy = 6

প্রশ্ন: 'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
TIGER শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে E, I দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ³P₂ = 6 উপায়ে
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 3 ঘরে সাজানো যায় ³P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

(3.2ⁿ – 8.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2^n-1)
(3.2ⁿ – 2³.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2ⁿ .2^-1)
(3.2ⁿ – 2^3+n-2) ÷ (2ⁿ (1 - 2^-1))
(3.2ⁿ – 2¹⁺ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(3.2ⁿ – 2¹ 2ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ (3 – 2)) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ .1)÷ (2ⁿ .1/2)
1 ÷ 1/2 = 2

প্রশ্ন: P = {2, 3, 5}, Q = {4, 5} এবং R = P ∩ Q হলে, P × R নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 5}
∴ R = P ∩ Q = {2, 3, 5} ∩ {4, 5}
= {5}

∴ P × R = {2, 3, 5} × {5}
= {(2, 5), (3, 5), (5, 5)} 

n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু একত্র নিয়ে (যেখানে উপাদান গুলো একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে) বিন্যাস n^r = 10⁵

6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক b² - 4ac এর সাহায্যে বের করা যায়।

নিশ্চায়ক = (-7)² - 4x6x(-4) = 49+96 = 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
- 18 < x < - 6

সমাধান:
- 18 < x < - 6
∴ গড় = {(- 18) + (- 6)}/2
= - 24/2
= - 12

∴ - 18 + 12 < x + 12 < - 6 + 12
⇒ - 6 < x + 12 < 6
⇒ |x + 12| < 6

5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী গঠিত সংখ্যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট হবে এবং প্রথমে ৫ দ্বারা শুরু হবে। এখানে মোট ৬ টি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক আছে। সুতরাং 5000 এবং 6000 এর মধ্যবর্তী সংখ্যা পেতে প্রথমে ৫ স্থির রেখে বাকী ৩ টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যাই নির্ণেয় সংখ্যা।
∴নির্ণেয় সংখ্যা = 5!/(5 - 3)! = 60

4x⁴ + 16
= 4(x⁴ + 4)
= 4[(x²)² + 2²]
= 4[(x² + 2)² - 2.x².2]
= 4[(x² + 2)² - (2x)²]
= 4(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x -2)(x + 1)

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √7 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = √11
x - y = √7

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√11/2)² - (√7/2)²
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: একটি সভায় 5 জন মহিলা এবং 5 জন পুরুষ আছেন। দৈবভাবে 3 জন প্রার্থী নির্বাচন করলে 3 জনই মহিলা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট ব্যক্তি = 5 + 5 = 10 জন 
∴ 5 জন মহিলা থেকে 3 জন নির্বাচন করার উপায় = ⁵C₃ = 5!/(3! × 2!) = 10
∴ 10 জন লোক থেকে 3 জন নির্বাচন করার উপায় = ¹⁰C₃ = 10!/(3! × 7!) = 120

∴ সম্ভাবনা = 10/120 = 1/12