বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৬ / ২০১ · ৫০১–৬০০ / ২০,২০৭

৫০১.

16x² + 16x + 2 এর সাথে কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

যুক্তিঃ 16x² + 16x + 2
= (4x)² + 2.4x.2 + (2)² - 2
= (4x + 2)² - 2
সুতরাং, 2 যোগ করতে হবে।

৫০২.

যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত?

ক
21
খ
17
গ
15
ঘ
19/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^x + 3^x + 3^x = 9⁹
⇒ 3^x(1 + 1 + 1) = (3²)⁹
⇒ 3^x × 3 = 3¹⁸
⇒ 3^{x + 1} = 3¹⁸
⇒ x + 1 = 18
⇒ x = 18 - 1
∴ x = 17

৫০৩.

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ) = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1/9
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ)
= {7ⁿ.7² + (5 × 7) × 7^{n - 1}}/(6 × 7ⁿ)
= (49 × 7ⁿ + 5 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= (54 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= 9

৫০৪.

13, 15, 16, 17, 19, 20 এর মধ্যক কত?

ক
ক) 17.5
খ
খ) 17.0
গ
গ) 16.5
ঘ
ঘ) 15.0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13, 15, 16, 17, 19, 20 এর মধ্যক কত?
সমাধান:
এখানে
n = 6
মধ্যক = [6/2 তম পদ ও {(6/2) + 1} তম পদের সমষ্টি]/2
= {3 তম পদ ও 4 তম পদের সমষ্টি}/2
=(16 + 17)/2
= 33/2
= 16.5

৫০৫.

f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

ক
3, 9
খ
- 3, 4
গ
2, 6
ঘ
3, 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = x² - 7x + 12

এখন,
f(x) = 0
x² - 7x + 12 = 0
= x² - 3x - 4x + 12 = 0
= x(x - 3) - (x - 3) = 0
= (x - 3)(x - 4) = 0
∴ x = 3, 4

৫০৬.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1/2
খ
- 1/2
গ
1/4
ঘ
- 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n -1}
দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1}= - 48
aq = - 48
∴ a = - 48/q .................. (i)

আবার
পঞ্চম পদ= aq^{5 - 1}
= aq⁴
=(- 48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³= 3/4
বা, q³= - 3/192
বা, q³= - 1/64
বা, q³= (- 1/4)³
∴ q = - 1/4

অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = - 1/4.

৫০৭.

(১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি হতে একটি সংখ্যা বাছাই করলে, সংখ্যাটি ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/২
খ
৩/১৩
গ
১/২৫
ঘ
১/১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি হতে একটি সংখ্যা বাছাই করলে, সংখ্যাটি ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125 > 100

(১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি তে মোট সংখ্যা = ১০০
(১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি তে ঘন সংখ্যা = ৪

∴ (১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি হতে একটি সংখ্যা বাছাই করলে, সংখ্যাটি ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/১০০
= ১/২৫

৫০৮.

a² + (1/a²) = 7 হলে, (a⁶ + 1)/a³ এর মান কত?

ক
9
খ
18
গ
3
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + (1/a²) = 7 হলে, (a⁶ + 1)/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + (1/a²) = 7
⇒ {a + (1/a)}² - 2 · a · 1/a = 7
⇒ {a + (1/a)}² = 7 + 2
⇒ a + (1/a )= √9
∴ a + (1/a) = 3

প্রদত্ত রাশি, (a⁶ + 1)/a³
= (a⁶/a³) + (1/a³)
= a³ + (1/a³)
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · 1/a {a + (1/a)}
= (3)³ - 3 · 3
= 27 - 9
= 18

৫০৯.

(a³b³)/(c²d) কে (a³b²)/(cd³) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

ক
(bd²)/c
খ
(ab²)/(ca)
গ
a/(bd²)
ঘ
(ab²)/(cd)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a³b³)/(c²d) কে (a³b²)/(cd³) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:
(a³b³/c²d)/(a³b²/cd³)
= (a³b³/c²d) × (cd³/a³b²)
= bd²/c

৫১০.

ক
5/7
খ
11/7
গ
7/5
ঘ
7/15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫১১.

|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
5
খ
- 11
গ
8
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 5

৫১২.

U = {a, b, 1, 2, 3} এবং R= {a} হলে R^c এর মান কত?

ক
{b, 1, 2, 3}
খ
{b, 2, 3}
গ
{a, 1, 2}
ঘ
{a, b, 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: U = {a, b, 1, 2, 3} এবং R= {a} হলে R^c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {a, b, 1, 2, 3} এবং
R = {a}

∴ R^c
= U - R
= {a, b, 1, 2, 3} - {a}
= {b, 1, 2, 3}

৫১৩.

(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}হলে x³ এর মান কত?

ক
4
খ
16
গ
64
ঘ
128

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}হলে x³ এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}
বা, (m/n)^{x - 3} = (m/n)^{- (x - 5)}
বা, x - 3 = - (x - 5)
বা, x - 3 = 5 - x
বা, x + x = 5 + 3
বা, 2x = 8
∴ x = 4

x³ = 4³ = 64

৫১৪.

11 + 12 + 13 + 14 +...............+ 100 = কত?

ক
4550
খ
5001
গ
5050
ঘ
4995

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 11 + 12 + 13 + 14 +...............+ 100 = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 11
শেষ পদ = 100
11 থেকে 100 পর্যন্ত পদ সংখ্যা = 90

আমরা জানি,
সমষ্টি = {(১ম পদ + শেষ পদ) × পদ সংখ্যা}/2
= {(11 + 100) × 90}/2
= (111 × 90)/2
= 111 × 45
= 4995

৫১৫.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
5
খ
8
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
তৃতীয় পদ = 20
ar² = 20 ............ (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = 160
ar⁵ = 160 ............ (2)

(2) ÷ (1)নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a(2)² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ = 5 ।

৫১৬.

If (x + 2) is a factor of 4x² + ax + b, then find the value of 2a - b.

ক
x + 16
খ
16
গ
x
ঘ
16x

ব্যাখ্যা

Question: If (x + 2) is a factor of 4x² + ax + b, then find the value of 2a - b.

Solution:

According to the question,
⇒ (x + 2) = 0
⇒ x = - 2
Now, substitute the value of x = - 2 in the function 4x² + ax + b and then equate to 0.
⇒ 4(- 2)² - 2a + b = 0
⇒ 16 - 2a + b = 0
⇒ - 2a + b = - 16
⇒ 2a - b = 16

৫১৭.

যদি log(a + 3) + log(a - 3) = 1 হয়, তাহলে a = কত?

ক
√19
খ
19
গ
9
ঘ
√10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a + 3) + log(a - 3) = 1 হয়, তাহলে a = কত?

সমাধান:
log(a + 3) + log(a - 3) = 1
⇒ log{(a + 3)(a - 3)} = 1
⇒ log(a² - 3²) = 1
⇒ log(a² - 9) = log10
⇒ a² - 9 = 10
⇒ a² = 19
∴ a = √19

৫১৮.

9a² + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক-

ক
(4a - 3)
খ
(3a - 4)
গ
(3a + 4)
ঘ
(4a + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
9a² + 18a - 40
= 9a² + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)

৫১৯.

1 + 4 + 9 + 16 + ......................+ 289 = ?

ক
1758
খ
1875
গ
1785
ঘ
1578

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 4 + 9 + 16 + ......................+ 289 = ?

সমাধান:
1² + 2² + 3² + 4² + ......+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

1 + 4 + 9 + 16 + ......................+ 289
⇒ 1² + 2² + 3² + 4²+ ......+ 17²= 17(17 + 1)(2 × 17 + 1)/6
= 1785

৫২০.

১ + ২ + ৩ + ....... + ২৫ এর যোগফল কত?

ক
ক) ১০০
খ
খ) ২৫০
গ
গ) ৩০০
ঘ
ঘ) ৩২৫

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, n-তম পদের সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং, 25-তম পদের সমষ্টি = 25(25+1)/2
= 25 × 26/2
= 25 × 13
= 325

৫২১.

কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) - 320
খ
খ) - 520
গ
গ) - 420
ঘ
ঘ) - 620

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

সমান্তর ধারার 16তম পদ - 20 হলে,
আমরা জানি,
a + (16 - 1)d = - 20
বা, a + 15d = - 20

প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি = (31/2){2a + (31 - 1)d}
= (31/2)(2a + 30d)
= (31/2) × 2(a + 15d)
= 31 × (- 20)
= - 620

৫২২.

যদি g(x) = 2x + 5 এবং g(3b) = g(b + 2) হয়, তবে g(b) = ?

ক
4
খ
7
গ
9
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x + 5 এবং g(3b) = g(b + 2) হয়, তবে g(b) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = 2x + 5
এবং
g(3b) = g(b + 2)

∴ g(3b) = 2 × 3b + 5
= 6b + 5

g(b + 2) = 2(b + 2) + 5
= 2b + 4 + 5
= 2b + 9

প্রশ্নমতে,
6b + 5 = 2b + 9
⇒ 6b - 2b = 9 - 5
⇒ 4b = 4
⇒ b = 4/4
⇒ b = 1

∴ g(1) = 2 × 1+5
= 2 + 5
= 7

৫২৩.

পরপর 10টি সংখ্যার প্রথম 5টির যোগফল 550 হলে শেষ 5টির যোগফল কত?

ক
560
খ
565
গ
570
ঘ
575

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, পরপর 10টি সংখ্যার প্রথম 5টির যোগফল 550
সুতরাং গড় = 550 ÷ 5 = 110
সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো 108, 109 110, 111, 112, (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
অতএব, পরবর্তী 5টি সংখ্যার যোগফল = 113 + 114 + 115 + 116 + 117 = 575।

৫২৪.

a² - 4a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 5 হয়, তাহলে c এর মান কত?

ক
- 2
খ
3
গ
- 5
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 4a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 5 হয়, তাহলে c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 5
∴ a = 5

এখন,
a² - 4a + c = 0
⇒ (5)² - 4 × 5 + c = 0
⇒ 25 - 20 + c = 0
⇒ 5 + c = 0
∴ c = - 5

৫২৫.

log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴- এর মান কত?

ক
8
খ
24
গ
6
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴- এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ba² × log_cb³ × log_ac⁴
= 2log_ba × 3log_cb × 4log_ac
= 24(log_ba × log_cb × log_ac) ;[log_am = log_bm × log_ab]
= 24(log_ca × log_ac) ;[log_ab × log_ba = 1]
= 24 × 1
= 24

৫২৬.

DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক
7
খ
9
গ
11
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা-
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴C₄ = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²C₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³C₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

৫২৭.

সার্বিক সেট

হলে,

ক
{a, b, c, d}
খ
{e, f}
গ
{a, b, c, d, e}
ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সার্বিক সেট

হলে,

৫২৮.

p = 5q + 4 এবং 5q + 8 = 40 হয় তবে p এর মান কত?

ক
33
খ
34
গ
35
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = 5q + 4 এবং 5q + 8 = 40 হয় তবে p এর মান কত?

সমাধান:
5q + 8 = 40
⇒ 5q = 32
∴ q = 32/5

∴ p = 5(32/5) + 4
= 32 + 4
= 36

৫২৯.

3 + x + y + 192 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

ক
48
খ
32
গ
81
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + x + y + 192 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 192
⇒ ar³ = 192
⇒ 3 . r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 4^{3 - 1}
= 3 × 16
∴ y = 48

৫৩০.

a² - b² + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(a - b + 4)
খ
(a + b + 4)
গ
(a - b - 4)
ঘ
(a + b - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a² - b² + 8b - 16
= a² - (b² - 8b + 16)
= a² - (b - 4)²
= (a + b - 4)(a - b + 4)

৫৩১.

একটি চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৫ হলে, চাকরিটি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৫
খ
খ) ২/৫
গ
গ) ৩/৫
ঘ
ঘ) ৪/৫

ব্যাখ্যা

চাকরিটি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৫
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৫) = ৪/৫

৫৩২.

কোনো একটি বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মান |a| কে কোনটি প্রকাশ করে?

ক
ক) √(a²)
খ
খ) ±√(a²)
গ
গ) −√(a²)
ঘ
ঘ) ±a

ব্যাখ্যা

a এর পরম মান সবসময়ই ধনাত্বক হবে কখনোই ঋণাত্বক হতে পারবে না। যেহেতু + বা - চিহ্ন বর্জিত বর্গমূলচিহ্ন শুধুমাত্র ধনাত্বক বর্গমূলকে নির্দেশ করে সুতরাং |a| = √a²

৫৩৩.

log₉27 = কত?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

log₉27
= log₉3³
= log₉(√9)³
= log₉(9^1/2)³
= log₉9^3/2
= (3/2)log₉9
= (3/2) .1
= 3/2

৫৩৪.

x + z = 2y, b²= ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) abc
গ
গ) a^xb^yc^z
ঘ
ঘ) (abc)²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + z = 2y, b²= ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} = কত?

সমাধান:
x + z = 2y
x + z = y + y
x - y = y - z

এখন
a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y}
= a^{x - y}. b^{z - x}.c^{x - y}
= (ac)^{x - y}. b^{z - x}
= (b²)^{x - y} b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x}
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y - 2y}
= b⁰
= 1

৫৩৫.

3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

ক
- 61
খ
- 63
গ
- 69
ঘ
- 77

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত d = (- 5 - 3) = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
n তম পদ = {a + (n - 1) d}
∴ 10 তম পদ = {3 + (10 - 1) × (- 8)}
= {3 + 9 × (- 8)}
= 3 - 72
= - 69

৫৩৬.

৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

ক
৪০
খ
৪২
গ
৩৮
ঘ
২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২

৫৩৭.

একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2√2 হলে ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত হবে?

ক
ক) 2√2
খ
খ) 8√2
গ
গ) 10√2
ঘ
ঘ) 12√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2√2 হলে ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2√2

এখন,
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3x . (1/x) (x + 1/x)
= (2√2)³ - 3 . (2√2)
= 16√2 - 6√2
= 10√2

৫৩৮.

একজন মহিলার 5 জন আত্নীয় আছে। তিনি ইচ্ছেমত এক বা একাধিক আত্নীয়কে কতভাবে নিমন্ত্রন করতে পারেন?

ক
32
খ
25
গ
31
ঘ
45

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন মহিলার 5 জন আত্নীয় আছে। তিনি ইচ্ছেমত এক বা একাধিক আত্নীয়কে কতভাবে নিমন্ত্রন করতে পারেন?

সমাধান:
নিবার্চন সংখ্যা = ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

শর্টকাটঃ
এক বা একাধিক আত্নীয়কে নিমন্ত্রন করতে পারেন = 2ⁿ - 1

৫৩৯.

x² - (a + b)x + ab এর একটি উৎপাদক -

ক
x + a
খ
x + b
গ
x + ab
ঘ
x - a

ব্যাখ্যা

x² - (a + b)x + ab
= (x - a)(x - b)

৫৪০.

2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) হলে x এর মান কত?

ক
- 11
খ
7
গ
9
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
2(x + 28) + 11 = 9(x + 2)
⇒ 2x + 56 + 11 = 9x + 18
⇒ 2x + 67 = 9x + 18
⇒ 9x - 2x = 67 - 18
⇒ 7x = 49
⇒ x = 49/7
∴ x = 7

৫৪১.

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, মৌলিক অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৬
খ
খ) ২/৩
গ
গ) ১/৩
ঘ
ঘ) ৫/৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, মৌলিক অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?

ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হলো {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা {২, ৩, ৫} এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য {৩,৬}
∴ মৌলিক সংখ্যা অথবা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা {২, ৩, ৫, ৬}
∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

৫৪২.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 2 এবং 5-তম পদটি 32 হলে, 11-তম পদটি কত?

ক
ক) 36
খ
খ) 40
গ
গ) 44
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
5-তম পদ = a + 4d
⇒ 32 = a + 4 × 2 = a + 8
⇒ a = 24
∴ 11-তম পদ = 24 + 10 × 2 = 44
---------------------------------------
সংক্ষেপে,
৫ম পদ = 32 ও সাধারণ অন্তর 2 হওয়ায়
পরের পদগুলো 34(ষষ্ঠ পদ), 36(সপ্তম পদ), 38(অষ্টম পদ), 40(নবম পদ), 42(দশম পদ), 44(১১তম পদ)

৫৪৩.

প্রদত্ত

ক
10
খ
5
গ
4ⁿ
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

৫৪৪.

যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

ক
x - y = 1
খ
x + y = 1
গ
x = y - 1
ঘ
x = y
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

সমাধান:
log(x/y) + log(y/x) = log(x + y)
⇒ log{(x/y) × (y/x)} = log(x + y)
⇒ log(1) = log(x + y)
∴ x + y = 1

৫৪৫.

১০ টি সংখ্যার যোগফল ৪০০। এদের প্রথম ৪ টির গড় ৪৫ এবং শেষ ৫ টির গড় ৩৫ হলে, ৫ম সংখ্যাটি কত?

ক
৪৮
খ
৩৮
গ
৪৫
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ টি সংখ্যার যোগফল ৪০০। এদের প্রথম ৪ টির গড় ৪৫ এবং শেষ ৫ টির গড় ৩৫ হলে, ৫ম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৪৫
∴ প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪৫ × ৪ = ১৮০

আবার,
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৩৫
∴ শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৩৫ × ৫ = ১৭৫
∴ ৯টি সংখ্যার যোগফল= ১৮০ + ১৭৫ = ৩৫৫
∴ ৫ম সংখ্যাটি = ৪০০ - ৩৫৫ = ৪৫

৫৪৬.

দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর 199 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 80
খ
খ) 90
গ
গ) 99
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

৫৪৭.

যদি a + b + c = 0 হয়, তবে (a³ + b³ + c³)/3 এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
abc
ঘ
3abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তবে (a³ + b³ + c³)/3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)³ = (- c)³
⇒ a³ + b³ + 3ab(a + b) = - c³
⇒ a³ + b³ - 3abc = - c³
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒ (a³ + b³ + c³)/3 = abc

৫৪৮.

5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 302?

ক
60 তম পদ
খ
70 তম পদ
গ
90 তম পদ
ঘ
100 তম পদ

ব্যাখ্যা

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

৫৪৯.

প্রশ্ন:

ক
216
খ
125
গ
243
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫৫০.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
64 জন
খ
72 জন
গ
20 জন
ঘ
68 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 12 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 4(x - 2) জন = (4x - 8) জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3x +12 জন

∴ 4x - 8 = 3x +12
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
⇒ x = 20

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা = {(4 × 20) - 8} জন
= 72 জন

৫৫১.

a + c = 9 এবং a² + c² = 45 হলে, a³ + c³ এর মান কত?

ক
247
খ
243
গ
296
ঘ
278

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + c = 9 এবং a² + c² = 45 হলে, a³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
a² + c² = 45
⇒ (a + c)² - 2ac = 45
⇒ 9² - 2ac = 45
⇒ 81 - 2ac = 45
⇒ - 2ac = 45 - 81
⇒ - 2ac = - 36
∴ ac = 18

এখন,
a³ + c³ = (a + c)³ - 3ac(a + c)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ a³ + c³ এর মান 243

৫৫২.

১ + ২ + ৩ + ............ ধারাটির ১০০ তম পদ কত?

ক
১০০
খ
১০২
গ
১০১
ঘ
১০৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ২ + ৩ + ............ ধারাটির ১০০ তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ২ - ১ = ১
পদসংখ্যা, n = ১০০

ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) d
∴ ধারাটির ১০০ তম পদ = a + (১০০ - ১) d
= ১ + (৯৯ × ১)
= ১ + ৯৯
= ১০০ ।

৫৫৩.

P + 3/P = 5 হলে, P⁶ - 80P³ = কত?

ক
- 17
খ
27
গ
- 27
ঘ
- 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P + 3/P = 5 হলে, P⁶ - 80P³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P + 3/P = 5
⇒ (P + 3/P)³ = 5³
⇒ P³ + (3/P)³+ 3 × P × 3/P × (P + 3/P) = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 9 × 5 = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 45 = 125
⇒ P³ + (27/P³) = 125 - 45
⇒ P³ + (27/P³) = 80
⇒ P⁶ + 27 = 80P³
∴ P⁶- 80P³ = - 27

৫৫৪.

Z = {u, s, a} হলে, Z এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
7 টি
খ
12 টি
গ
14 টি
ঘ
17 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Z = {u, s, a} হলে, Z এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
Z = {u, s, a}
উপাদানের সংখ্যা, n = 3

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1
= 8 - 1
= 7

∴ Z এর প্রকৃত উপসেট 7টি।

৫৫৫.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 ও - 4 হলে, সমীকরণটি -

ক
x² - 2x + 8 = 0
খ
x² - 2x - 8 = 0
গ
x² + 2x - 8 = 0
ঘ
x² + 2x + 8 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 2 ও - 4 হলে, সমীকরণটি -

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² - (2 - 4)x + (2 × - 4) = 0
বা, x² + 2x - 8 = 0
∴ x² + 2x - 8 = 0

৫৫৬.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনিয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৬
খ
খ) ১/৩
গ
গ) ২/৩
ঘ
ঘ) ৫/৬

ব্যাখ্যা

ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
= মোট ৬ টি
১২ এর গুণনিয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬}
= মোট ৫ টি
∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

৫৫৭.

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7} হলে (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) নিচের কোনটির সমান হবে?

ক
A
খ
B
গ
C
ঘ
D

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7} হলে (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3, 5}, D = {1, 3, 5, 7}

A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4}

C ∪ D = {2, 3, 5} ∪ {1, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3, 5, 7}

∴ (A ∪ B) ∩ (C ∪ D)
= {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 5, 7}
= {1, 2, 3}
= A.

৫৫৮.

2/x = 8 এবং 3/y = 9 হলে, 1/(y - x) = ?

ক
ক) -12
খ
খ) 12
গ
গ) -(1/12)
ঘ
ঘ) 1/12

ব্যাখ্যা

2/x = 8
বা, 2/8 = x
∴ x = 1/4

3/y = 9
বা, 3/9 = y
∴ y = 1/3

∴ y - x
= 1/3 - 1/4
= (4 - 3)/12
= 1/12
∴ 1/(y - x) = 12

৫৫৯.

(a/b) + (b/a) = 3 হলে (a/b)² + (b/a)² এর মান কত?

ক
ক) 11
খ
খ) 9
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 3 হলে (a/b)² + (b/a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 3

(a/b)² + (b/a)² = {(a/b) + (b/a)}² - 2(a/b). (b/a)
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

৫৬০.

|x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
- 3
খ
3
গ
- 7
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, |x| ≤ a হলে, -a ≤ x ≤ a

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
|x - 2| ≤ 5
⇒ -5 ≤ x - 2 ≤ 5
⇒ -5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 (প্রতিটি পদের সাথে 2 যোগ করে)
⇒ -3 ≤ x ≤ 7

অসমতাটি থেকে দেখা যায় যে, x এর মান -3 এর সমান বা বড় এবং 7 এর সমান বা ছোট।

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 3

৫৬১.

যদি a > b এবং a > c তাহলে কোনটি অবশ্যই 0 থেকে বড় হবে?

ক
ক) (b-c)/(b+c)
খ
খ) (c-b)/(a-b)
গ
গ) (b-c)/(b-a)
ঘ
ঘ) (b-a)/(c-a)

ব্যাখ্যা

a > b বা, 0 > b-a
a > c বা, 0 > c-a
সুতরাং, (b-a)/(c-a) > 0

৫৬২.

৫২টি তাসের একটি প্যাকেট হতে না দেখে পরপর দুটি কার্ড টানলে দুটিই রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
৩/২২১
খ
৭/২১৯
গ
১/২২১
ঘ
৫/২২৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট হতে না দেখে পরপর দুটি কার্ড টানলে দুটিই রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট ৫২টি তাস থাকে।
এর মধ্যে রাজার সংখ্যা হলো ৪টি।
সুতরাং, প্রথম কার্ডটি রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/৫২ = ১/১৩

আবার,
যেহেতু প্রথম কার্ডটি তোলার পর সেটি প্যাকেটে ফেরত রাখা হয়নি (না দেখে পরপর), তাই এখন প্যাকেটে মোট কার্ড ৫১টি।
এবং রাজার সংখ্যা কমে হয়েছে ৩টি।
সুতরাং, দ্বিতীয় কার্ডটিও রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৩/৫১ = ১/১৭

∴ মোট সম্ভাব্যতা = (প্রথমটি রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা) × (দ্বিতীয়টি রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা)
= (১/১৩) × (১/১৭)
= ১/(১৩ × ১৭)
= ১/২২১

সুতরাং, ৫২টি তাসের প্যাকেট হতে না দেখে পরপর দুটি কার্ড টানলে দুটিই রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা হলো ১/২২১।

৫৬৩.

4x⁴-25x²+36 এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) (x+2)
খ
খ) (x-2)
গ
গ) (2x-3)
ঘ
ঘ) সবগুলোই

ব্যাখ্যা

4x⁴-25x²+36
= (2x²)² - 2.2x.6 + (6)² - x²
= (2x²-6)² - x²
= (2x²-6+x)(2x²-6-x)
= (2x²+4x-3x-6)(2x²-4x+3x-6)
= {2x(x+2) - 3(x+2)}{2x(x-2) + 3(x-2)}
= (x+2)(2x-3)(x-2)(2x+3)

৫৬৪.

x^{- 4} = 0.0001 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
10
গ
100
ঘ
1000

ব্যাখ্যা

x^{- 4} = 0.0001
or, 1/x⁴ = 1/10000
or, x⁴ = 10000
or, x⁴ = 10⁴
∴ x = 10

৫৬৫.

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

log₂32
= log₂2⁵
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5

৫৬৬.

কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

ক
1224
খ
1024
গ
1000
ঘ
2024

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 4

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 4⁵
= 1024
∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 1024

৫৬৭.

a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a² + b²) = কত?

ক
14
খ
28
গ
56
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √8
এবং a - b = √6

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√8)² - (√6)²} × {(√8)² + (√6)²}
= (8 - 6) × (8 + 6)
= 2 × 14
= 28

৫৬৮.

(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কত?

ক
- 2
খ
2
গ
3
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
⇒ (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
⇒ 6x = 12x + 12
⇒ - 6x = 12
∴ x = - 2

৫৬৯.

নিচের কোন শর্তে ax + by + c = 0 ও px + qy + r = 0 সমীকরণ জোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে?

ক
ক) a/p ≠ b/q
খ
খ) a/p = b/q = c/r
গ
গ) a/q = b/p ≠ c/r
ঘ
ঘ) a/p = b/q

ব্যাখ্যা

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোটটির সমাধান (x, y) = (7, 3) যা অন্যন্য)

৫৭০.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার 31 গুণ, সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে প্রাপ্ত সংখ্যার 13 গুণের সমান। অংক দুটির যোগফল 12 হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
57
খ
75
গ
93
ঘ
39

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার 31 গুণ, সংখ্যাটির অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে প্রাপ্ত সংখ্যার 13 গুণের সমান। অংক দুটির যোগফল 12 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি একক স্থানীয় অঙ্ক = x

এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = y

∴ সংখ্যাটি = 10y + x

অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় = 10x + y

x + y = 12
∴ x = 12 - y .................(1)

প্রশ্নমতে,

(10y + x)31 = (10x + y)13

⇒ 310y + 31x = 130x + 13y

⇒ 310y - 13y = 130x - 31x
⇒ 297y = 99x

⇒ 297y = 99(12 - y)
⇒ 297y = 1188 - 99y
⇒ 297y + 99y = 1188
⇒ 396y = 1188
∴ y = 3

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 12 - y = 12 - 3 = 9

∴ সংখ্যাটি = 10 × 3 + 9

= 39

৫৭১.

যদি ২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে মোট ৬ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ মাসের যেকোনো দিন বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
৬/২৯
খ
৩/১৪
গ
২২/২৮
ঘ
২৩/২৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে মোট ৬ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ মাসের যেকোনো দিন বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
২০২৪ সাল অধিবর্ষ, তাই ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনের
বৃষ্টি হয়েছে = ৬ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৬/২৯

∴ যেকোনো দিন বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - ৬/২৯ = ২৩/২৯

৫৭২.

একটি ফলের ঝুড়িতে ৭টি আম, ৯টি কমলা, ৫টি মাল্টা এবং ৬টি আপেল আছে। দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩/৪
খ
২/৩
গ
২/৫
ঘ
১/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ফলের ঝুড়িতে ৭টি আম, ৯টি কমলা, ৫টি মাল্টা এবং ৬টি আপেল আছে। দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়িতে মোট ফল আছে = ৭ + ৯ + ৫ + ৬ = ২৭ টি
কমলা আছে = ৯ টি
∴ দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি কমলা হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৭
= ১/৩

∴ ফলটি কমলা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= ২/৩

৫৭৩.

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫৭৪.

ক
0
খ
2
গ
- 3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫৭৫.

x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
ক) (1, - 1)
খ
খ) (1/3, 1/3)
গ
গ) (- 3, 3)
ঘ
ঘ) (- 1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
x + y = 0 ---------(¡)
2x - y + 3 = 0 --------(¡¡)
_____________________
(+) করে, 3x + 3 = 0
বা, 3x = - 3
বা, x = -3/3
∴ x = - 1
y এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(- 1) + y = 0
বা, -1 + y = 0
∴ y = 1

∴ (x, y) = (- 1, 1)

৫৭৬.

যদি x² + qx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় এবং q > 0 হয়, তবে q এর মান কত?

ক
8
খ
2√6
গ
4√6
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² + qx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় এবং q > 0 হয়, তবে q এর মান কত?

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এর মূল সমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক শূন্য।
অর্থাৎ,
q² - 4 × 1 × 6 = 0
⇒ q² = 24
⇒ q = √24 = 2√6
∴ q = 2√6

যেহেতু, q > 0 সুতরাং, q = 2√6

৫৭৭.

log_√216 এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
2√2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√2 16 এর মান কত?

সমাধান:
log_√2 16
= log_√2 2⁴
= log_√2 {(√2)²}⁴
= log_√2 (√2)⁸
= 8 log_√2 √2
= 8 × 1 [ log_a a = 1]
= 8

৫৭৮.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কত জন?

ক
ক) ১৫ জন
খ
খ) ২০ জন
গ
গ) ২৫ জন
ঘ
ঘ) ৩০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি বলতে পারে, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কত জন?

সমাধান:
৫০ জন লোকের মধ্যে ইংরেজিতে কথা বলে ৩৫ জন।
অতএব শুধু বাংলায় কথা বলে = ৫০ - ৩৫ = ১৫।

আবার,
বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলে ২৫ জন।
অতএব বাংলায় মোট কথা বলে= ২৫ + ১৫ = ৪০ জন।

অর্থাৎ, কেবলমাত্র বাংলায় কথা বলতে পারে - ৪০ - ২৫ = ১৫ জন।

৫৭৯.

x = 3 + √8 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

ক
34
খ
68
গ
198
ঘ
204

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 3 + √8 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3 + √8
⇒ 1/x = 1/(3 + √8)
= (3 - √8)/((3 + √8)(3 - √8))
= (3 - √8)/{3² - (√8)²}
= (3 - √8)/(9 - 8)
∴ 1/x = 3 - √8

এখন,
x + 1/x = 3 + √8 + 3 - √8
= 6

আমরা জানি,
x² + (1/x²) = (x + 1/x)² - 2 . x . (1/x)
= (x + 1/x)² - 2
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

৫৮০.

একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 22 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
ক) 121π মিটার
খ
খ) 625π মিটার
গ
গ) 196π মিটার
ঘ
ঘ) 169π মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 22 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 3 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 22/2 মিটার
=11মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (11 + 3)মিটার
= 14 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr² মিটার
= π × 14² মিটার
= 196π মিটার

৫৮১.

ax + by = a - b এবং bx - ay = a + b হলে, x মান কত?

ক
1
খ
- 2
গ
ab
ঘ
b - a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax + by = a - b এবং bx - ay = a + b হলে, x মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ax + by = a - b ......(1)
bx - ay = a + b .........(2)

এখন, (1) কে a দিয়ে এবং (2) কে b দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
a²x + aby = a² - ab
b²x - aby = ab + b²__________________
⇒ a²x + b²x = a² + b²
⇒ x(a² + b²) = a² + b²
⇒ x = (a² + b²)/(a² + b²)
∴ x = 1

৫৮২.

P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7} এবং R = P-Q হলে, (P∪Q) × R এর মান কত?

ক
ক) {(3, 3), (4, 3), (7, 3)}
খ
খ) {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}
গ
গ) {(3, 4), (5, 3), (7, 3)}
ঘ
ঘ) {(3, 3), (6, 3), (7, 4)}

ব্যাখ্যা

P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}
∴R = P-Q = {3, 5, 7}-{5, 7} = {3}
(P∪Q) = {3, 5, 7}
∴(P∪Q) × R = {3, 5, 7} × {3} = {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}

৫৮৩.

যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

ক
35
খ
45
গ
32
ঘ
47

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)² = 5²
বা, a² + 2ab + b² = 25
বা, 13 + 2ab = 25 [a² + b² = 13]
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

৫৮৪.

³√(8+x) = 3 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 19
খ
খ) 15
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 35

ব্যাখ্যা

³√(8+x) = 3
⇒ 8 + x = 27 [ঘন করে]
∴ x = 19

৫৮৫.

x < y < 0 হলে কোনটি বৃহত্তম-

ক
ক) x + y
খ
খ) x - y
গ
গ) x² - y²
ঘ
ঘ) y² - x²

ব্যাখ্যা

ধরি,
x = -5,
y = -2
∴ x² - y² = 25 - 4
= 21
এবং y² - x² = -21
x + y = -7,
x - y = -3
∴ x² - y² বৃহত্তম

৫৮৬.

A ও B যথাক্রমে 42 ও 70 এর সকল গুণণীয়কের সেট দ্বারা নিচের কোন সেট A ∩ B নির্দেশ করে?

ক
ক) {1, 2, 7, 8}
খ
খ) {1, 7, 4}
গ
গ) {1, 2, 7, 14}
ঘ
ঘ) {1, 2, 4, 6}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 42 ও 70 এর সকল গুণণীয়কের সেট দ্বারা নিচের কোন সেট A ∩ B নির্দেশ করে?

সমাধান:
42 এর সকল গুণণীয়কগুলো হলো: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
70 এর সকল গুণণীয়কগুলো হলো:1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
A = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

A ∩ B = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} ∩ {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
= {1, 2, 7, 14}

৫৮৭.

যদি p + q + r = 0 হয়, তাহলে p³ + q³ + r³ এর মান কত?

ক
pqr
খ
3pqr
গ
6pqr
ঘ
9pqr

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 0 হয়, তাহলে p³ + q³ + r³ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr -rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² - pq - qr -rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr ।

৫৮৮.

a +b =11 এবং a-b=7 হলে, ab = ?

ক
ক) 16
খ
খ) 14
গ
গ) 13
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a+b = 11 ……(i) এবং a-b = 7 ……..(ii)
(i)+(ii) ⇒ 2a = 18
⇒a = 9 এবং b = 2
∴ ab = 18

৫৮৯.

6a³b²c এবং 9a⁴bd² এর ল.সা.গু. কত?

ক
3ab
খ
36ab
গ
18a⁴b²cd²
ঘ
36a⁴b²c²d²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6a³b²c এবং 9a⁴bd² এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
6 এবং 9 এর ল.সা.গু. = 18
নির্ণেয় ল.সা.গু. = 18a⁴b²cd²

৫৯০.

(a - 3)(b + 3) < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
a > 3, b < - 3
খ
a > 3, b > - 3
গ
a < 3, b < - 3
ঘ
a = 3, b = - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - 3)(b + 3) < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
অমিত সমীকরণটি বিশ্লেষণ করুন
(a - 3)(b + 3) <0 একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হতে হবে।

সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:
a - 3 > 0
⇒ a > 3
b + 3 <0
⇒ b < - 3
a - 3 < 0
⇒ a < 3
b + 3 > 0
⇒ b > - 3

অতএব,
a - 3 > 0, b + 3 < 0
ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক

∴ a > 3, b < - 3

৫৯১.

a = 2, b = 3 হলে 2a + 4b এর সাথে 2a² + a - b যোগ করলে যোগফল কত হবে?

ক
15
খ
17
গ
19
ঘ
23

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 2, b = 3 হলে 2a + 4b এর সাথে 2a² + a - b যোগ করলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a = 2, b = 3

এখন
2a + 4b + 2a² + a - b
= 2a² + 3a + 3b
= 2 × 2² + 3 × 2 + 3 × 3
= 8 + 6 + 9
= 23

৫৯২.

দুটি সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয়টির তিনগুণ যোগ করলে যোগফল 39। আবার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির 2গুণ যোগ করলে যোগফল হয় 36। সংখ্যা দুটি হলো-

ক
ক) 5 এবং 4
খ
খ) 6 এবং 9
গ
গ) 3 এবং 7
ঘ
ঘ) 5 এবং 8

ব্যাখ্যা

মনেকরি
প্রথম সংখ্যা a
দ্বিতীয় সংখ্যা b

শর্তমতে,
2a + 3b = 39.........(1)
3a + 2b = 36........... (2)

(1)নং × 2 - (2)নং × 3 ⇒
4a + 6b - 9a - 6b = 78 - 108
- 5a = - 30
a = 6

(1)নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,
2a + 3b = 39
2 × 6 + 3b = 39
12 + 3b = 39
3b = 39 - 12
3b = 27
b = 9

সংখ্যা দুটি হলো : 6 এবং 9

৫৯৩.

যদি b < 2 এবং 2x-3b = 0 তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?

ক
ক) x > -3
খ
খ) x > 2
গ
গ) x < 3
ঘ
ঘ) x = 2, 3

ব্যাখ্যা

b = 1, 0, -1, -2…….
2x-3(3×(-2)) = 0
X = -(9/2) (ইহা সবসময় ৩ অপেক্ষা ছোট)

৫৯৪.

8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 5^3x+2
খ
খ) 2^3x+2
গ
গ) 3^3x+2
ঘ
ঘ) 1^3x+2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
8^x+ 8^x + 8^x+ 8^x
= 8^x (1+1+1+1)
= 4.8^x
= 2².2^3x
= 2^3x+2

৫৯৫.

(x/y) + (y/x) = 4 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) + 4 এর মান কত?

ক
12
খ
18
গ
14
ঘ
22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 4 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) + 4 এর মান কত?

সমাধান:
(x²/y²) + (y²/x²) + 4
= (x/y)² + 2 · (x/y) · (y/x) + (y/x)² + 2
= {(x/y) + (y/x)}²+ 2
= 4²+ 2
= 18

৫৯৬.

x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব ও অসমান
খ
বাস্তব ও সমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
অমূলদ ও সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

৫৯৭.

x/2 + 3 = x/3 + 4 সমীকরণে x এর মান কত?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

x/2 + 3 = x/3 + 4
বা, x/2 - x/3 = 4 - 3
বা, (3x-2x)/6 = 1
বা, x/6 = 1
বা, x = 6

৫৯৮.

x + 1/x = √3 হলে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

ক
3
খ
3√3
গ
0
ঘ
√3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 1/x = √3
আমরা জানি, x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. 1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3. √3
= 3√3 - 3√3
= 0

৫৯৯.

b² − 4ac > 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়-

ক
শূন্য
খ
অবাস্তব
গ
বাস্তব ও সমান
ঘ
বাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: b² − 4ac > 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়-

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি-
1. যদি b² − 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² − 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² − 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² − 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৬০০.

ক
22√3
খ
46√6
গ
36√6
ঘ
54√6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান: