লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫৭ / ২০১ · ৫,৬০১–৫,৭০০ / ২০,২০৭

৫,৬০১.
(10x)0+10x0 এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

(10x)0+10x0 
=1+10×1
=11

৫,৬০২.
একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?
  1. ক
    320
  2. খ
    150
  3. গ
    120
  4. ঘ
    450
  5. ঙ
    130
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ ধারার প্রথম সংখ্যাটি = a এবং মোট সংখ্যা আছে = n টি।
এবং ২য় সংখ্যা হতে ১ম সংখ্যার পার্থক্য = d

এখন, 
৪র্থ পদ = a + 3d
এবং ১২তম পদ = a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 .......(1)

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারা n তম পদের যোগফল = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 15 টি পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2)  ×  (2a + 14d)
= (15/2)  ×  20 [1 নং হতে]
= 150

সুতরাং, প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল 150.

৫,৬০৩.
যদি logx(1/16)⁡ = - 2 হয়, তবে x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি logx(1/16)⁡=−2 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
logx 1/16 = 2
⇒ x - 2 = 1/16
⇒ 1/x2 = 1/16
⇒ x2 = 16
⇒ x = ± 4

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হওয়ায়, x = 4

৫,৬০৪.
যদি 8x + 4 = 64 হয়, তা হলে 2x + 1 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    13
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 8x + 4 = 64 হয়, তা হলে 2x + 1 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
8x + 4 = 64
বা, 8x = 64 - 4
বা, 8x = 60
বা, 8x/4 =60/4
বা, 2x = 15
বা, 2x + 1 = 15 + 1
∴ 2x + 1 = 16
৫,৬০৫.
x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) xz < yz
  2. খ
    খ) xz > yz
  3. গ
    গ) z/x > z/y
  4. ঘ
    ঘ) z/y > z/x
ব্যাখ্যা
যেহেতু z<0 সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। দেওয়া আছে, xz < yz [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে] z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে এটা দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < হয়েছে।
৫,৬০৬.
16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    12xy
  2. খ
    24xy
  3. গ
    48xy
  4. ঘ
    36xy
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি পূর্ণবর্গের রূপ, 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

এখানে দেওয়া রাশি,
16x2 + 9y2 = (4x)2 + (3y)2
= (4x)2 + 2 × (4x) × (3y) + (3y)2
= 16x2 + 24xy + 9y2
অর্থাৎ,
16x2 + 9y2 + 24xy = (4x + 3y)2

সুতরাং, পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য 24xy যোগ করতে হবে।

৫,৬০৭.
2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 3
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
৫,৬০৮.
(x + y)2 - z2 = 16, (y + z)2 - x2 = 25 এবং (z + x)2 - y2 = 64 হলে (x + y + z) এর মান কত?
  1. ক
    √55
  2. খ
    24
  3. গ
    √105
  4. ঘ
    37
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 - z2 = 16, (y + z)2 - x2 = 25 এবং (z + x)2 - y2 = 64 হলে (x + y + z) এর মান কত?

সমাধান:
{(x + y)2 - z2} + {(y + z)2 - x2} + {(z + x)2 - y2} = 16 + 25 + 64
⇒ {(x + y + z)(x + y - z)} + {(x + y + z)(y + z - x)} + {(x + y + z)(x + z - y)} = 105
⇒ (x + y + z)(x + y - z + y + z - x + x + z - y ) = 105
⇒ (x + y + z)(x + y + z) = 105
⇒ (x + y + z)2 = 105
∴ (x + y + z) = √105
৫,৬০৯.
n স্বাভাবিক সংখ্যা হলে (n + 1)! = ?
  1. ক
    ক) n! + 1!
  2. খ
    খ) (n + 1)n!
  3. গ
    গ) (n!)(1!)
  4. ঘ
    ঘ) (n + 1)(n - 1)!
ব্যাখ্যা
(n + 1)! = (n + 1)n!
৫,৬১০.
2x - 3y = 3 এবং x + y = 4 হলে, (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    (- 3, 1)
  2. খ
    (3, - 1)
  3. গ
    (2, 1)
  4. ঘ
    (3, 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 3y = 3 এবং x + y = 4 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x - 3y = 3............(i)
x + y = 4............(ii)

(ii) নং সমীকরণকে ৩ দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই।

2x - 3y + 3x + 3y = 3 + 12
5x = 15
x = 3

(ii) নং হতে পাই,

3 + y = 4
y = 1

∴(x, y) = (3, 1)
৫,৬১১.
কোন সমান্তর ধারার x তম পদ y এবং y তম পদ x হলে, ধারাটির (x + y) তম পদ কত?
  1. ক
    ক) xy
  2. খ
    খ) x + y
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার x তম পদ y এবং y তম পদ x হলে, ধারাটির (x + y) তম পদ কত?

সমাধান: 
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0
৫,৬১২.
যদি (1/x) + y = 4 হয়, তবে x =?
  1. ক
    (4 - y)
  2. খ
    1/(4 + y)
  3. গ
    1/(4 - y)
  4. ঘ
    1/y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (1/x) + y = 4 হয়, তবে x =?

সমাধান: 
(1/x) +y =4 
⇒ 1/x = 4 - y
⇒ x = 1/(4 - y)
৫,৬১৩.
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 হলে, n = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    - 6
  3. গ
    14
  4. ঘ
    - 14
ব্যাখ্যা
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 
বা, 5/(n - 4) + 1 = 1/2 [  nC4 ÷ nC5 = 5/(n - 4)  ]
বা, 5/(n - 4) = 1/2 - 1 
বা, 5/(n - 4) = - 1/2
বা, n - 4 = - 10
বা, n = - 10 + 4
∴ n = - 6
৫,৬১৪.
একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    462
  2. খ
    448
  3. গ
    412
  4. ঘ
    406
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
∴ খেলার শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ খেলার শেষে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ মোট করমর্দন সম্পন্ন হয় = (231 + 231) = 462
৫,৬১৫.
1/3 + 1/32 + 1/33 + ................ অনন্ত ধারার মান কত?
  1. ক
    ক) 4/3
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 3/2
ব্যাখ্যা
এখানে 
১ম পদ a = 1/3
সাধারণ অনুপাত r  = (1/32) ÷ (1/3)
                              = (1/9) × (3/1)
                              = 1/3
অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
                           = (1/3)/{1 - (1/3)}
                           = (1/3)/{(3 - 1)/3}
                           = (1/3)/(2/3)
                            = (1/3) × (3/2)
                             = 1/2
৫,৬১৬.
(a + b) ও (a2 - ab + b2) এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) a3 - b3
  2. খ
    খ) a3 + b3
  3. গ
    গ) b3 - a3
  4. ঘ
    ঘ) (a - b)3
ব্যাখ্যা
(a + b) ও (a2 - ab + b2) এর গুণফল
= (a + b)(a2 - ab + b2)
= a3 + b3
৫,৬১৭.
(22)x + 3 = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (22)x + 3 = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
(22)x + 3 = 256
⇒ 22(x + 3) = 28
⇒ 2(x + 3) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 - 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1

অতএব, x = 1

৫,৬১৮.
ঘণ্টায় ২ কি. মি. গতি বৃদ্ধি করায় ৩৬ কি. মি. পথ অতিক্রম করতে ৩ ঘণ্টা সময় কম লাগে। বৃদ্ধির পূর্বে গতি কত কি.মি. ছিল?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৪
  3. গ
    ৬
  4. ঘ
    ৮
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঘণ্টায় ২ কি. মি. গতি বৃদ্ধি করায় ৩৬ কি. মি. পথ অতিক্রম করতে ৩ ঘণ্টা সময় কম লাগে। বৃদ্ধির পূর্বে গতি কত কি.মি. ছিল?

সমাধান:
 বৃদ্ধির পূর্বে গতিবেগ ছিল = ক কি.মি.

প্রশ্নমতে
৩৬/ক - ৩৬/ (ক + ২) = ৩
বা, ৩৬{(১/ক) - ১/(ক + ২)} = ৩
বা, (ক + ২  - ক)/ক(ক + ২) = ৩/৩৬
বা, ২/ক২ + ২ক = ১/১২
বা, ক২ + ২ক = ২৪
বা, ক২ + ২ক - ২৪ = ০
বা, ক২ + ৬ক - ৪ক - ২৪ = ০
বা, ক(ক + ৬) - ৪(ক + ৬) = ০
∴ (ক + ৬)(ক - ৪) = ০

হয়
ক + ৬ = ০
ক = - ৬

অথবা
ক - ৪ = ০
ক = ৪

 বৃদ্ধির পূর্বে গতিবেগ ছিল = ৪ কি.মি./ঘণ্টা
৫,৬১৯.
19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কততম পদ (- 5)?
  1. ক
    7
  2. খ
    13
  3. গ
    25
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 5)? 

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 19
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 19
= - 2

এখন,
n তম পদ = - 5

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n 
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে] 
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ (- 5).
৫,৬২০.
|a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 3, n = 8
  2. খ
    m = 4, n = 18
  3. গ
    m = 7, n = 25
  4. ঘ
    m = 2, n = 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?

সমাধান:
|a - 2| < 3
⇒ -3 < a - 2 < 3
⇒-3 + 2 < a - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < a < 5
⇒ -3 < 3a < 15
⇒ -3 + 5 < 3a + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3a + 5 < 20
যেখানে, m < 3a + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
৫,৬২১.
a4 + (1/a4) = 23 হলে a - (1/a) = ?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) √5
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- a4 + (1/a4) = 23 হলে a - (1/a) = ?

সমাধান-
দেওয়া আছে,
a4 + (1/a4)= 23
⇒ (a2)2 + 2.a2.(1/a2) + (1/a2)2 = 23 + 2
⇒ (a2 + 1/a2)2 = 25
⇒ a2 + 1/a2 = 5 [বর্গমূল করে]
⇒ (a - 1/a)2 + 2.a.(1/a) = 5
⇒ (a - 1/a)2 = 3
⇒ a - 1/a = √3   [বর্গমূল করে]
৫,৬২২.
বালক ও বালিকার একটি দলে নিম্নরুপে খেলা হচ্ছে। প্রথম বালক ৫ জন বালিকার সঙ্গে খেলছে, দ্বিতীয় বালক ৬ জন বালিকার সঙ্গে খেলছে। এভাবে শেষ বালক সবকটি বালিকার সঙ্গে খেলছে। যদি b বালকের সংখ্যা এবং g বালিকার সংখ্যা প্রকাশ করে , তবে b এর মান কত?
  1. ক
    ক) b=g
  2. খ
    খ) b=g5
  3. গ
    গ) b=g-4
  4. ঘ
    ঘ) b=g-5
ব্যাখ্যা
বালকের সংখ্যা = b
বালিকার সংখ্যা = g

১ম বালক 5 জন বালিকার সাথে খেলে।
২য় বালক 6 জন  বালিকার সাথে খেলে।
------------------
অতএব, বালক ও বালিকার সংখ্যার পার্থক্য হলো  4

সুতরাং, সমীকরণ হবে b = g - 4
৫,৬২৩.
যদি log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?
  1. ক
    11/7
  2. খ
    8/7
  3. গ
    5/8
  4. ঘ
    2/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1
⇒ log5{(x + 1) × 3} = log5(2x - 1) + log5 51 [logaM + logaN = loga(MN) এবং 1 = log55]
⇒ log5(3x + 3) = log5{5(2x - 1)}
⇒ log5(3x + 3) = log5(10x - 5)
⇒ 3x + 3 = 10x - 5
⇒ 3x - 10x = - 5 - 3
⇒ - 7x = - 8
∴ x = 8/7

৫,৬২৪.
a এর মান কত হলে (9-12x+ax2) রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

একটি সমীকরণ এর নিশ্চায়কের মান শূন্য হলে, ইহা পূর্ণবর্গ হয়।
এখানে নিশ্চয়াক,
b² - 4ac = 0
বা, (-12)² - 4.a.9 = 0
বা, 36a = 144
বা, a = 4

৫,৬২৫.
x + y + 4 = x - y - 12 = 0 হয়, তবে 3x + y = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 5
  3. গ
    20
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + 4 = x - y - 12 = 0 হয়, তবে 3x + y = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
x + y + 4 = x - y - 12 = 0
​
​এখন,
x + y + 4 = 0 ........... (1)​​
​x - y - 12 = 0 ............ (2)
​
​(1) + (2) করে পাই,
​x + y + 4 + ​x - y - 12 = 0
​⇒ 2x = 8
⇒ ​x = 8/2 = 4
∴ ​x = 4
​x এর মান (1)​​ নং এ বসিয়ে পাই,
4 + y + 4 = 0
∴ ​​y = - 8
​
​প্রদত্ত রাশি,
​3x + y = 3(4) + (- 8)
​= 12 - 8
​= 4

৫,৬২৬.
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৫,৬২৭.
10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?
  1. ক
    42
  2. খ
    56
  3. গ
    84
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 8C5 
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56
৫,৬২৮.
একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?
  1. ক
    270
  2. খ
    288
  3. গ
    306
  4. ঘ
    328
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া আছে 
সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36

এখন 
5ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
13তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 12d

যোগফল = a + 4d + a + 12d
= 2a + 16d = 36

প্রথম 17টি পদের যোগফল,
S17 = (17/2) {2a + (17 - 1)d}
=(17/2)(2a + 16d)
= (17/2) × 36
= 17 × 18
= 306

৫,৬২৯.
72 + 66 + 60 + …… + (- 6) = ?
  1. ক
    600
  2. খ
    525
  3. গ
    462
  4. ঘ
    405
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 + 66 + 60 + …… + (- 6) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 72
সাধারণ অন্তর, d = 66 - 72 = - 6

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 6
⇒ 72 + (n - 1)(- 6) = - 6
⇒ 72 - 6n + 6 = - 6
⇒ 78 - 6n = - 6
⇒ 6n = 78 + 6
⇒ 6n = 84
⇒ n = 84/6
∴ n = 14

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (14/2){2a + (n - 1)d}
= (14/2){(2 × 72) + (14 - 1)(- 6)}
= 7{144 + 13 × (- 6)}
= 7(144 - 78)
= 7 × 66
= 462
৫,৬৩০.
y = (5x/2) + 4 এবং 15x - 2 = 40 হলে, y = ?
  1. ক
    6
  2. খ
    9
  3. গ
    11
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y = (5x/2) + 4 এবং 15x - 2 = 40 হলে, y = ?

সমাধান:
15x - 2 =40
⇒ 15x = 42
⇒ x = 42/15

এখন,
y = [{5(42/15)}/2] + 4
= (14/2) +4
= 7 + 4
= 11
৫,৬৩১.
100.23x - 8 = 52 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 100.23x - 8 = 52 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
100.23x - 8 = 52 
বা, 100.23x - 8 = 25
বা, 23x - 8 = 25/100
বা, 23x - 8 =1/4
বা, 23x - 8 =1/22
বা, 23x - 8 =2- 2
বা, 3x - 8 = - 2
বা, 3x = 8 - 2 
বা, 3x = 6
     x = 2
৫,৬৩২.
একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৩৪০
  2. খ
    খ) ৩৪১
  3. গ
    গ) ৩৪২
  4. ঘ
    ঘ) ৩৪৪
ব্যাখ্যা
If the number is x then
৩৮১ - x = x - ৩০১
or, ২x = ৩৮১ + ৩০১
or, x = ৩৪১
৫,৬৩৩.
64x³ - 8y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 4)(x + 10)
  2. খ
    খ) (2x - 1)(4x - 2xy + y)
  3. গ
    গ) 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)
  4. ঘ
    ঘ) 8(2x - y)(4x² - 2xy + y²)
ব্যাখ্যা

64x³ - 8y³
= 8(8x³ - y³)
= 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)

৫,৬৩৪.
যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    18
  3. গ
    36
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 45

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 92 = 45 + 2ab
⇒ 81 = 45 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 45 = 36
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

৫,৬৩৫.
1 - 1 + 1 - 1 + ... ধারাটির 2n পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

যেহেতু ধারাটির জোড় সংখ্যা পদ সংবলিত এবং পদগুলোর অর্ধেক ধনাত্মক এবং অর্ধেক ঋণাত্মক
∴ যোগফল = 0.

৫,৬৩৬.
f(x) = x3 + mx2 - 6x - 9; m এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + mx2 - 6x - 9; m এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

সমাধান:
f(3) = 33 + m32 - (6 × 3) - 9 = 0
⇒ 27 + 9m2 - 18 - 9 = 0
⇒ 9m2 = 0
⇒ m2 = 0 
∴ m = 0
৫,৬৩৭.
(১২৫/৬৪)-২/৩ এর মান কত?
  1. ক
    ক) ১২৫/৬৪
  2. খ
    খ) ৬৪/১২৫
  3. গ
    গ) ১৬/২৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৫/১৬
ব্যাখ্যা
(১২৫/৬৪)-২/৩
= {(৫/৪)৩}-২/৩
= (৫/৪)-২
= (৪/৫)২
= ১৬/২৫
৫,৬৩৮.
(3x + 4y, 11) = (13, 4x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    (3, 2)
  2. খ
    (4, 3)
  3. গ
    (2, 1)
  4. ঘ
    (3, 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x + 4y, 11) = (13, 4x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 13 ..........(i)
4x - y = 11 ........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
3x + 4y + 16x - 4y = 13 + 44
19x = 57
x = 3

x এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই,
(4 × 3) - y = 11
⇒ 12 - y = 11
⇒ - y = 11 - 12
⇒ - y = - 1
∴ y = 1
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 1)
৫,৬৩৯.
∛[∛{(pm)3}] = কত?
  1. ক
    ক) pm/9
  2. খ
    খ) pm/6
  3. গ
    গ) pm/3
  4. ঘ
    ঘ) p3m
ব্যাখ্যা
∛[∛{(pm)3}]
= ∛{(pm)3}1/3
= ∛(pm)
= (pm)1/3
= pm/3
৫,৬৪০.
১ থেকে ৩৫ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ১৮
  2. খ
    ১৬
  3. গ
    ১৫
  4. ঘ
    ১৫.৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৩৫ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান: 
১ থেকে ৩৫ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩
এখানে
n  = ১১

∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
= (১১ + ১)/২ তম পদ
= ৬তম পদ 
= ১৮
৫,৬৪১.

  1. ক
    10
  2. খ
    20
  3. গ
    18
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৬৪২.
কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ ও 18 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় কত হবে?
  1. ক
    ক) 0 < x < 6
  2. খ
    খ) 5 < x < 6
  3. গ
    গ) 1 < x < 5
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 3
ব্যাখ্যা
মনে করি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 18
বা, 5x - 2x < 2x + 18 - 2x 
বা, 3x < 18
      x < 6

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 6
৫,৬৪৩.
যদি (25)2x + 3 = 53x + 6 হয় তবে x = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (25)2x + 3 = 53x + 6 হয় তবে x = কত?

সমাধান:
(25)2x + 3 = 53x + 6
বা, (52)2x + 3 = 53x + 6
বা, 54x + 6 = 53x + 6
বা, 4x + 6 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 - 6
∴ x = 0
৫,৬৪৪.
(m/n)x - 3 = (n/m)x - 5 হলে, x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
(m/n)x - 3 = (n/m)x - 5 
(m/n)x - 3 = (m/n)- (x - 5)
x - 3 = - (x - 5)
x - 3 = 5 - x
x + x = 5 + 3
2x = 8 
x = 4

x2 = 42 = 16
৫,৬৪৫.
যদি (x - 4) (a + x) = x2 - 16 হয়, তবে a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) -5
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - 4) (a + x) = x2 - 16 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
 (x - 4) (a + x) = x2 - 16
⇒ ax - 4a + x2 - 4x = x2 - 16
⇒ ax - 4a - 4x + 16 = 0
⇒ a (x - 4) - 4 (x - 4) = 0
⇒ (x - 4) (a - 4) = 0
∴ (x - 4) = 0,             
⇒ x = 4

a - 4 = 0
⇒ a = 4
৫,৬৪৬.
p√3 + p√3 এর বর্গ কত?
  1. ক
    p + 8p2
  2. খ
    12p2 + 1
  3. গ
    12p2
  4. ঘ
    12P
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p√3 + p√3 এর বর্গ কত?

সমাধান:

p√3 + p√3
= 2p√3

এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√3)2
= (2√3p)2
= 12p2
∴ p√3 + p√3 এর বর্গ =  12p2

৫,৬৪৭.
একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 25 এবং ষষ্ঠ পদ 1/25 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 1/5
  3. গ
    গ) - 1/5
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 25 এবং ষষ্ঠ পদ 1/25 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar2 - 1 = ar = 25 ........ (1)
ষষ্ঠ পদ = ar6 - 1 = ar5 = 1/25 ....... (2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
r4 = (1/5)4
∴ r = 1/5

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5
৫,৬৪৮.
1 থেকে 10 পর্যন্ত সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    ক) 385
  2. খ
    খ) 358
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 355
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, 
12 + 22 + 32 + 42 + ........... + n2 = (1/6){n(n + 1)(2n + 1)} 

12 + 22 + 32 + 42 + ........... + 102 = (1/6){10(10 + 1)(2 × 10 + 1)}
                                       = (10 × 11 × 21)/6
                                        = 385
৫,৬৪৯.
(2-1 - 3-1)-2 = ?
  1. ক
    -6
  2. খ
    6
  3. গ
    36
  4. ঘ
    -36
ব্যাখ্যা

2-1 - 3-1
= 1/2 - 1/3
= (3 - 2) /6
= 1/6
∴ (2-1 - 3-1)-2
= (1/6)-2
= (6-1)-2
= 62
= 36

৫,৬৫০.
4x4 + 1 এর উৎপাদক -
  1. ক
    ক) 2x2 + 1
  2. খ
    খ) 2x2 - 1
  3. গ
    গ) 2x2 + 2x + 1
  4. ঘ
    ঘ) 2x2 + 2x - 1
ব্যাখ্যা

4x4 + 1
= (2x2)2 + 1
= (2x2 + 1)2 - 2.2x2.1
= (2x2 + 1)2 - (2x)2
= (2x2 + 2x + 1) (2x2 - 2x + 1)

৫,৬৫১.
যদি √x = √3 - √5 হয়, x2 - 16x + 6 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    - 4
  3. গ
    2
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি √x = √3 - √5 হয়, x2 - 16x + 6 এর মান কত?

সমাধান:
√x = √3 - √5
⇒ (√x)2 = (√3 - √5)2
⇒ x = (√3)2 + (√5)2 - 2.√3.√5
⇒ x = 3 + 5 - 2√15
⇒ x  - 8 =  - 2√15
⇒ (x - 8)2 = (- 2√15)2
⇒ x2 - 2.x.8 + 82 = 4 × 15
⇒ x2 - 16x + 64 = 60
⇒ x2 - 16x + 64 - 60 = 0
⇒ x2 - 16x + 4 = 0
⇒ x2 - 16x + 4 + 2 = 0 + 2
∴ x2 - 16x + 6 = 2
৫,৬৫২.
2x + √2 = 3x  - 4 - 3√2 এ x এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 4(2 + √2)
  2. খ
    খ) - 4(1 + √2)
  3. গ
    গ) 4(1 + √2)
  4. ঘ
    ঘ) 4(1 - √2)
ব্যাখ্যা
2x + √2 = 3x  - 4 - 3√2 
2x - 3x = - 4 - 3√2 - √2
- x = - 4 - 4√2
- x = - 4(1 + √2)
x = 4(1 + √2)
৫,৬৫৩.
১ - ২০ পর্যন্ত নাম্বার লেখা টিকেট গুলোকে একটি বাক্সে রেখে দৈব চয়নে একটি নেয়া হলো। টিকেটটি ৩ বা ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ০.৪৫
  2. খ
    খ) ০.৪
  3. গ
    গ) ০.২৫
  4. ঘ
    ঘ) ০.৫
ব্যাখ্যা
মোট নমুনা বিন্দু = ২০
৩ বা ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ৫, ১০ ,২০} = ৯টি
∴ সম্ভাবনা = ৯/২০ = ০.৪৫।
৫,৬৫৪.
১২৮ + ৬৪ + ৩২ +....... ধারাটির কোন পদ ১?
  1. ক
    ৮ম
  2. খ
    ৯ম
  3. গ
    ৭ম
  4. ঘ
    ১০ম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২৮ + ৬৪ + ৩২ +....... ধারাটির কোন পদ ১?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
ধরি, n তম পদ = 1
∴ arn-1 = 1
or, 128 × (1/2)n-1 = 1
or, (1/2)n-1 = 1/128
or, (1/2)n-1 = (1/2)7
or, n - 1 = 7
∴ n = 8
৫,৬৫৫.
ax2 + (ab - 1)x - b এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x + b)(ax - 1)
  2. খ
    (x - a)(ax - b)
  3. গ
    (x - b)(bx - a)
  4. ঘ
    (x + a)(bx - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ax2 + (ab - 1)x - b এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
ax2 + (ab - 1)x - b
= ax2 + abx - x - b
= ‍ax(x + b) - 1(x + b)
= (x + b)(ax - 1)
৫,৬৫৬.
x2 - 4, x2 + 4x + 4 , x3 - 8 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু কত?
  1. ক
    (x + 2)2(x3 - 8)
  2. খ
    (x - 2)2(x3 - 8)
  3. গ
    (x2 - 2)(x3 - 8)
  4. ঘ
    (x2 + 2)(x3 - 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 4, x2 + 4x + 4 , x3 - 8 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x2 - 4 
= x2 - 22
= (x + 2)(x - 2)

২য় রাশি = x2 + 4x + 4
= x2 + 2.x.2 + 22 
= (x + 2)2
= (x + 2)(x + 2)

৩য় রাশি = x3 - 8 
= x3 - 23
= (x - 2) (x2 + 2.x + 22)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)

নির্ণেয় ল. সা. গু = (x + 2)(x + 2)(x - 2)(x2 + 2x + 4)
= (x + 2)2(x3 - 8)
৫,৬৫৭.
a + b = 6  এবং ab = 8  হলে  (a - b)2 = ?
  1. ক
    4
  2. খ
    11
  3. গ
    9
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6  এবং ab = 8  হলে  (a - b)2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 6 এবং ab = 8

আমরা জানি, 
 ‍( a - b)2 =  ( a + b)2 -  4ab
বা,  = ( 6)2 -  4 × 8
বা,  = 36 - 32
বা, ( a - b)2 = 4

∴ ( a - b)2 = 4
৫,৬৫৮.
যদি y = 5x + 4 এবং 5x + 8 = 40 হয় তবে y =?
  1. ক
    35
  2. খ
    36
  3. গ
    34
  4. ঘ
    33
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি y = 5x + 4 এবং 5x + 8 = 40 হয় তবে y =?

সমাধান:
এখানে, 
5x + 8 = 40
⇒ 5x = 40 - 8 
⇒ 5x = 32 
∴ x = 32/5

আবার,
 y = 5x + 4
= 5(32/5) + 4 
= 32 + 4
= 36
৫,৬৫৯.
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    {a ∈ R: a ≥ - 1}
  2. খ
    {a ∈ R: a ≤ 2}
  3. গ
    {a ∈ R: a ≤ 1}
  4. ঘ
    {a ∈ R: a ≥ 1}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a)
বা, 8 - 4a ≥ 10 - 6a
বা, 8 - 4a + 6a ≥ 10 - 6a + 6a
বা, 8 + 2a ≥ 10
বা, 8 + 2a - 8 ≥ 10 - 8
বা, 2a ≥ 2
∴ a ≥ 1

∴ সমাধান সেট = {a ∈ R: a ≥ 1}

৫,৬৬০.
'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    8
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ENGLAND শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে N = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার, PANAMA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4 = 120

∴ ENGLAND শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PANAMA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

৫,৬৬১.
A ={x : x, 6 এর গুণনীয়কসমূহ} হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
A = {x : x, 6 এর গুণনীয়কসমূহ}
    = {1, 2, 3, 6}

A এর উপাদান সংখ্যা n=4

P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2n 
                                      = 24
                                      = 16
৫,৬৬২.
। 4x - 2। < 10 হলে, নিচের কোন অসমতাটি সঠিক?
  1. ক
    - 2 < x < 2
  2. খ
    - 1 < x < 3
  3. গ
    - 2 < x < - 3
  4. ঘ
    - 2 < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: । 4x - 2। < 10 হলে  নিচের কোন অসমতাটি সঠিক?

সমাধান:
|4x - 2| < 10

(4x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x - 2) < 10 
4x - 2 + 2 < 10 + 2
4x < 12
 x < 3

আবার,
(4x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x - 2) > - 10
4x - 2 + 2 > - 10 + 2
4x > - 8
x > - 2

অসমতাটির সমাধান - 2 < x < 3
৫,৬৬৩.
a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    9
  2. খ
    49
  3. গ
    69
  4. ঘ
    89
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= (7)2 - 4 × 10
= 49 - 40
= 9  । 
৫,৬৬৪.
তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?
  1. ক
    ৪৫ উপায়ে
  2. খ
    ৩০ উপায়ে
  3. গ
    ৬০ উপায়ে
  4. ঘ
    ১৫ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভদ্রলোক (পুরুষ) = ৩ জন
ভদ্রমহিলা (মহিলা) = ৩ জন
মোট প্রার্থী = ৬ জন
ভোট দিতে হবে = ২ জন প্রার্থীকে

মোট উপায় = ৬C২ 
= ৬!/২!(৬ - ২)!
= (৬ × ৫ × ৪!) /(২ × ৪!) 
= ১৫ 

অর্থাৎ, একজন ভোটার ১৫ উপায়ে ভোট দিতে পারবে। 

৫,৬৬৫.
4x2 + 12x + 8 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 + 12x + 8 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
4x2 + 12x + 8
= 4x2 + 2 · 2x · 3 + 8
= (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 - 1
= (2x + 3)2 - 1

অর্থাৎ, 4x2 + 12x + 8 এর সাথে ন্যূনতম 1 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
৫,৬৬৬.
2a2 - 6a - 20 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) 2(a + 5)(a - 2)
  2. খ
    খ) 2(a - 3)(a + 4)
  3. গ
    গ) 2(a + 5)(a - 4)
  4. ঘ
    ঘ) 2(a - 5)(a + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a2 - 6a - 20 এর উৎপাদক গুলো হলো- 

সমাধান: 
2a2 - 6a - 20
= 2a2 - 10a + 4a - 20
= 2a(a - 5) + 4(a - 5)
= (a - 5)(2a + 4)
= 2(a - 5)(a + 2)
৫,৬৬৭.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক 5। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির 5 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    35
  3. গ
    45
  4. ঘ
    55
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক 5। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির 5 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক 5

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ সংখ্যাটি = 10x + 5

প্রশ্নমতে,
x + 5 = (10x + 5)/5
⇒ 5(x + 5) = 10x + 5
⇒ 5x + 25 = 10x + 5
⇒ 10x - 5x = 25 - 5
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5 
⇒ x = 4

∴ সংখ্যাটি = (10 × 4) + 5 = 45

৫,৬৬৮.
৩, ৭, ১৫, ৩১, ৬৩, -------- ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ১২৩
  2. খ
    খ) ১২৫
  3. গ
    গ) ১২৭
  4. ঘ
    ঘ) ১২৯
ব্যাখ্যা

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭

৫,৬৬৯.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x²+x -6
  1. ক
    (x + 3)(x - 2)
  2. খ
    (x + 6)(x - 1)
  3. গ
    (x - 3)(x + 2)
  4. ঘ
    (x - 6)(x + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = x2 + x - 6
মিডিলটার্ম করে পাই = x2 + 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3) 
= (x - 2)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(x - 2)

৫,৬৭০.
27x + 7 = 92x + 9 হলে x এর মান কত ?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 27x + 7 = 92x + 9 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
27x + 7 = 92x + 9
⇒ (33)x + 7 = (32)2x + 9
⇒ 33x + 21 = 34x +18
⇒ 3x + 21 = 4x + 18
⇒ 3x - 4x = 18 - 21
⇒ - x = - 3
∴ x = 3
৫,৬৭১.
(2, 3) এবং (4, 9) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2, 3) এবং (4, 9) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 

সমাধান:
বিন্দু দুইটি  (x1, y1) = (2, 3)
 এবং (x2, y2) = (4, 9)

আমরা জানি, 
সরলরেখার ঢাল m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (9 - 3)/(4 - 2)
= 6/2
= 3

৫,৬৭২.
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, P(B) এর উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    64
  3. গ
    32
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে, P(B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11}
∴ B = {2, 3, 5, 7, 11}
B এর উপাদান সংখ্যা = 5

আমরা জানি,
n কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2n

এখানে,
B এর উপাদান সংখ্যা = 5
P(B) এর উপাদান সংখ্যা = 2n
= 25
= 32

∴ P(B) এর উপাদান সংখ্যা = 32
৫,৬৭৩.
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৩ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ৫/১১
  2. খ
    খ) ৪/১১
  3. গ
    গ) ৬/১১
  4. ঘ
    ঘ) ৮/১২১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৩ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক = ৩০, ৩৩, ৩৬,৩৯ 
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১১ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৩ এর গুণিতক = ২ + ৪ = ৬টি
মৌলিক অথবা ৩ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১১
৫,৬৭৪.
যদি x2 + px + 4 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় তবে p এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) √6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + px + 4 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয়ের মান সমান হবে যদি- 
p2 - 4 × 1 × 4 = 0
⇒ p2 - 16 = 0
⇒ p2 = √16
∴ p = 4
৫,৬৭৫.
এক প্যাকেট তাস হতে ৩ টি তাস দৈবভাবে নেওয়া হলো কমপক্ষে ১ টি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ১২০১/৫৫২৫
  2. খ
    খ) ৭২/৫৫২৫
  3. গ
    গ) ৪/২২১০০
  4. ঘ
    ঘ) ২৮৮/২২১০০
ব্যাখ্যা

৩ টি তাস দৈবভাবে নেওয়া হলো কমপক্ষে ১ টি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = P(১ টি রাজা ও ২টি অন্য তাস) + P(২টি রাজা ও ১ টা অন্য তাস) + P(৩টি রাজা)
=(৪C১×৪৮C২)/৫২C৩ + (৪C২×৪৮C১)/৫২C৩ + ৪C৩/৫২C৩
= ১২০১/৫৫২৫

৫,৬৭৬.
নিচের কোনটি (p2 - p - 12) এবং (p2 - 6p + 8) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    (p - 3)
  2. খ
    (p - 4)
  3. গ
    (p + 4)
  4. ঘ
    (p + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p2 - p - 12) এবং (p2 - 6p + 8) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান: 
p2 - p - 12
= p2 - 4p + 3p - 12
= p(p - 4) + 3(p - 4)
= (p - 4)(p + 3)

p2 - 6p + 8
= p2 - 4p - 2p + 8
= p(p - 4) - 2(p - 4)
= (p - 4)(p - 2)

অর্থাৎ, (p - 4) উভয়ের একটি সাধারণ উৎপাদক।
৫,৬৭৭.
একজন লোকের ঢাকা হতে ভৈরব বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ভৈরব থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ভৈরবে বাসে যাওয়ার এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১০/৩৬
  2. খ
    ১৫/৫৬
  3. গ
    ২৫/৫৬
  4. ঘ
    ১/৫৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন লোকের ঢাকা হতে ভৈরব বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ভৈরব থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ভৈরবে বাসে যাওয়ার এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ঢাকা হতে ভৈরব বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
ঢাকা হতে ভৈরব বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা (১ - ৫/৭) = ২/৭

ভৈরব থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮
ভৈরব থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভবনা (১- ৫/৮) = ৩/৮

∴ ভৈরব বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (৫/৭) × (৩/৮)
= ১৫/৫৬
৫,৬৭৮.
(x/3) - (x/5) = 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/3) - (x/5) = 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(x/3) - (x/5) = 2
⇒ (5x - 3x)/15 = 2
⇒ 2x/15 = 2
⇒ 2x = 30
∴ x = 15
৫,৬৭৯.
xy(x + y) = 1 হলে = কত?
  1. ক
    ক) - 3
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xy(x + y) = 1 হলে = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 xy(x + y) = 1
⇒ x + y = 1/xy

এখন,
x3 + y3 - 1/x3y3
= x3 + y3 - (x + y)3
= x3 + y3 - {x3 + y3 + 3xy (x + y)}
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy (x + y)
= - 3 . 1
= - 3
৫,৬৮০.
একটি বাক্সে ১০ টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশী টানলে প্রতিবার ২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা-
  1. ক
    ১/২
  2. খ
    ৭/৯
  3. গ
    ৩/৪
  4. ঘ
    ৬/৫
ব্যাখ্যা

 প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০ টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশী টানলে প্রতিবার ২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা-
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​নীল মার্বেল = ১০
লাল মার্বেল = ১৫

∴ মোট মার্বেল = ১০ + ১৫ = ২৫
​
​∴ মোট ২৫টি মার্বেল থেকে ২টি তোলার উপায় = ২৫C২ = ২৫!/২!(২৫ - ২)!
​= (২৫ × ২৪ × ২৩!)/(২ × ২৩!)
​= ৩০০

​আবার,
​একই রংয়ের নীল জোড়া পাওয়া উপায় = ১০C২ = ৪৫
​একই রংয়ের লাল জোড়া পাওয়া উপায় = ১৫C২ = ১০৫
​
​∴ মোট একই রংয়ের জোড়া = ৪৫ + ১০৫ = ১৫০
​
​∴ ​P(২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা) = ১৫০/৩০০ = ১/২

৫,৬৮১.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x2 + x + 1
  2. খ
    খ) x2 + x - 1
  3. গ
    গ) x2 - x - 1
  4. ঘ
    ঘ) x2 + x + 2
ব্যাখ্যা

x4 + x2 + 1
= (x2)2 + 2.x2.1 + 1 - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 + x)(x2 + 1 - x)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1)

৫,৬৮২.
প্রশ্ন:
  1. ক
    102
  2. খ
    82
  3. গ
    52
  4. ঘ
    76
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৫,৬৮৩.
2x2−5xy+2y2 এর একটি উৎপাদক হবে-
  1. ক
    ক) 2y-x
  2. খ
    খ) x-2y
  3. গ
    গ) 2(x-y)
  4. ঘ
    ঘ) x-3y
ব্যাখ্যা

2x2−5xy+2y2
=2x2−4xy-xy+2y2
=2x(x-2y) - y(x-2y)
=(x-2y)(2x-y)

৫,৬৮৪.
যদি x = √10 + 3 হয়, তাহলে x3 - 1/x3 =?
  1. ক
    334
  2. খ
    216
  3. গ
    234
  4. ঘ
    254
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = √10 + 3 হয়, তাহলে x3 - 1/x3 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = √10 + 3
1/x = 1/(√10 + 3)
= (√10 - 3)/{(√10 + 3)(√10 - 3)}
= (√10 - 3)/(10 - 9)
= √10 - 3

∴ x - 1/x = √10 + 3 - √10 + 3 = 6

x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.(1/x)(x - 1/x)
= (6)3 + 3 × 6
= 216 + 18
= 234
৫,৬৮৫.
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    1/5
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৫,৬৮৬.
7x - 7y = 14 রেখাটির ঢাল কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্ৰশ্ন: 7x - 7y = 14 রেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
    7x - 7y = 14 
বা, 7(x - y) = 14 
বা, x - y = 2
বা, x - 2 = y
    y = x - 2 

y = x - 2 কে y = mx + c এর সহিত তুলনা করে পাই,
ঢাল m = 1
৫,৬৮৭.
5 + 8 + 11 + 14 + ................ ধারাটির 38 তম পদ কত? 
  1. ক
    116
  2. খ
    161
  3. গ
    111
  4. ঘ
    119
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ................ ধারাটির 38 তম পদ কত? 
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার  n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 38 তম পদ = {5 + (38 - 1) × 3}
= 5 + 37 × 3
= 5 + 111
= 116
৫,৬৮৮.
১৫ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নিদিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ফুটবল দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ৯০০১
  2. খ
    ১০১০
  3. গ
    ১০০১
  4. ঘ
    ১১০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নিদিষ্ট একজন অধিনায়কসহ ১১ জনের একটি ফুটবল দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু একজন নির্দিষ্ট খেলোয়াড়কে অধিনায়ক হিসেবে বাছাই করতে হবে, তাই অধিনায়কের জন্য ১টি উপায় আছে।
অধিনায়ক বাদে অবশিষ্ট খেলোয়াড় সংখ্যা = ১৫ - ১ = ১৪ জন
দলে অবশিষ্ট খেলোয়াড় সংখ্যা = ১১ - ১ = ১০ জন
তাই ১৪ জন থেকে ১০ জন বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
১৪C১০ = ১৪!/(১৪ - ১০)! × ১০!
= ১৪!/(১০! × ৪!)
= (১৪ × ১৩ × ১২ × ১১ × ১০!)/(১০! × ৪ × ৩ × ২ × ১)
= ৭ × ১৩ × ১১
= ১০০১
∴ ১০০১ বাছাই করা যাবে
৫,৬৮৯.
।2p - 9। < 11 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    2 < p < 7
  2. খ
    - 1 < p < 10
  3. গ
    - 3 < p < 20
  4. ঘ
    2 > p < - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2p - 9। < 11 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
(2p - 9) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2p - 9) < 11
2p - 9 < 11
⇒ 2p < 11 + 9
⇒ 2p < 20
⇒ p < 20/2
∴ p < 10

(2p - 9) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2p - 9) < 11
- (2p - 9) < 11
⇒ 2p - 9 > - 11
⇒ 2p > 9 - 11
⇒ 2p > - 2
∴ p > - 1

অসমতাটির সমাধান: - 1 < p < 10
৫,৬৯০.
|7x - 2| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 9/7 ≥ x > 13/7
  2. খ
    - 9/7 < x ≤ 13/7
  3. গ
    - 9/7 ≤ x < 13/7
  4. ঘ
    - 9/7 ≤ x ≤ 13/7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |7x - 2| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|7x - 2| ≤ 11
বা, - 11 ≤ 7x - 2 ≤ 11
বা, - 11 + 2 ≤ 7x - 2 + 2 ≤ 11 + 2
বা, - 9 ≤ 7x ≤ 13
বা, - 9/7 ≤ x ≤ 13/7
৫,৬৯১.
যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x2 + y2 = কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    26
  3. গ
    40
  4. ঘ
    46
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x2 + y2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
(x - y)2 = 42
(x - y)2 = 16
এবং xy = 5

আমরা জানি,
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy
= 16 + (2 × 5)
= 26

৫,৬৯২.
x3 - 2x2, x2 - 4, xy - 2y এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    x(x - 2)
  3. গ
    (x - 2)
  4. ঘ
    (x - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 2x2, x2 - 4, xy - 2y এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x3 - 2x2
= x2(x - 2)

২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2)(x - 2)

৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. (x - 2).

৫,৬৯৩.
একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হলে HEAD পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    0.05
  2. খ
    0.25
  3. গ
    0.50
  4. ঘ
    0.75
ব্যাখ্যা
একটি মুদ্রা টস করলে হয় হেড আসবে নয়তো বা টেইল আসবে।
নির্ণেয় HEAD পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2 = 0.50
৫,৬৯৪.
x + 2y = 5 এবং 2x - y = 0 হলে y = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

x + 2y = 5 .......(1) এবং 2x - y = 0
∴ y = 2x .........(2)
(1) নং থেকে পাই,
x + 2y = 5
বা, x + 2.2x = 5
বা, 5x = 5
∴ x = 1
(2) নং থেকে পাই,
∴ y = 2.1 = 2

৫,৬৯৫.
2p2 - 5pq + 2q2 এর একটি উৎপাদক হবে-
  1. ক
    p + 2q
  2. খ
    2p - q
  3. গ
    p + q
  4. ঘ
    pq
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2p2 - 5pq + 2q2 এর একটি উৎপাদক হবে-

সমাধান:
2p2 - 5pq + 2q2 
= 2p2 - 4pq - pq + 2q2
= 2p(p - 2q) - q(p - 2q)
= (p - 2q)(2p - q)
৫,৬৯৬.
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে? 
  1. ক
    ২৪টি
  2. খ
    ৩২টি
  3. গ
    ৪টি
  4. ঘ
    ১২টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার পথ আছে = ৪টি 
এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার পথ আছে = ৩টি 

∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২টি

সুতরাং, বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট ১২টি ভিন্ন পথ আছে।

৫,৬৯৭.
5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 80 তম পদ কত? 
  1. ক
    240
  2. খ
    241
  3. গ
    242
  4. ঘ
    243
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 80 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 80

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 80 তম পদ = 5 + {(80 - 1) × (3)}
= 5 + (79 × 3)
= 5 + 237
= 242

৫,৬৯৮.
128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    10
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = arn - 1 

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 1/2
⇒ 128 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/256
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 
⇒ n = 9
৫,৬৯৯.
সরল করুনঃ (12)-1/2 × ∛54
  1. ক
    ক) √3/∛4
  2. খ
    খ) √4/∜3
  3. গ
    গ) 2/∛4
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা

(12)-1/2 × ∛54
(2²×3)-1/2 × (3³×2)1/3
(2-1×3-1/2 ) × (3×21/3 )
(2-1+1/3) ×(31-1/2)
(2-2/3 ) × (31/2)
√3/∛4

৫,৭০০.
x2 + 2px + p2 - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 
  1. ক
    (x + 2p + 2)(x + 2p - 2)
  2. খ
    (x + p + 2)(x + p - 2)
  3. গ
    (x + p + 4)(x + p - 4)
  4. ঘ
    (x + p)2 - 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 2px + p2 - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 + 2px + p2 - 4
= (x2 + 2px + p2) - 4
= (x + p)2 - 4
= (x + p)2 - 22
= (x + p + 2)(x + p - 2)