বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫৬ / ২০১ · ৫,৫০১–৫,৬০০ / ২০,২০৭

৫,৫০১.

2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728?

সমাধান:
প্রগতিটির প্রথম পদ = 2,
সাধারণ অনুপাত = 3,
ধরা যাক, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728
∴ {2(3ⁿ - 1)}/(3 - 1) = 728
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ প্রগতিটির 6টি পদের সমষ্টি 728

৫,৫০২.

২, ৫, ৮, ...... ধারাটির ২১ তম পদটি কত?

ক
ক) ৬২
খ
খ) ৬৫
গ
গ) ৬০
ঘ
ঘ) ৬৩

ব্যাখ্যা

এখানে
a = ২,
d = ৫ - ২ = ৩,
∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ২ + ২০×৩
= ৬২

৫,৫০৩.

-2 < 3 - x < 8 অসমতাকে পরম মান চিহ্নের প্রকাশ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে?

ক
ক) |x| < -5
খ
খ) |x| < 6
গ
গ) |x| < 5
ঘ
ঘ) |x| < -6

ব্যাখ্যা

-2<3 - x<8
⇒ -2 -3<-x<8 - 3
⇒ - 5<-x<5
⇒ -5 <x<5
∴ |x|<5

৫,৫০৪.

7log₁₀2 + log₁₀2 + log₁₀3 = ?

ক
ক) log₁₀384
খ
খ) log₁₀768
গ
গ) log₁₀120
ঘ
ঘ) log₁₀1536

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 7log₁₀2 + log₁₀2 + log₁₀3 = ?

সমাধান :
⇒ log₁₀2⁷ + log₁₀2 + log₁₀3
⇒ log₁₀128 + log₁₀2 + log₁₀3
⇒ log₁₀(128 × 2 × 3)
⇒ log₁₀768

৫,৫০৫.

একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
তৃতীয় পদ = 20
∴ a + (3 - 1)d = 20
⇒ a + 2d = 20
⇒ a = 20 - 2d

অষ্টম পদ = 45
⇒ a + (8 - 1)d = 45
⇒ (২০ - 2d) + 7d = 45
⇒ ২০ + 5d = 45
⇒ 5d = 45 - ২০
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

৫,৫০৬.

বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

ক
১৪৪ উপায়ে
খ
২২০ উপায়ে
গ
২৭২ উপায়ে
ঘ
১৮২ উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৭ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৭C_১ = ১৭ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৭ - ১) = ১৬ জন

১৬ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭ × ১৬ = ২৭২ উপায়ে

৫,৫০৭.

a - b = 4, ab = 3 হলে, a³ - b³ = ?

ক
80
খ
85
গ
90
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 4, ab = 3 হলে, a³ - b³ = ?

সমাধান:
a - b = 4
ab = 3

আমরা জানি,
(a - b)3 = a³ - b³ - 3ab(a - b)
⇒ 4³ = a³ - b³ - 3 × 4 × 3
⇒ 64 + 36 = a³ - b³
∴ a³ - b³= 100

৫,৫০৮.

(2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

ক
(5, 5)
খ
(6, 4)
গ
(4, 5)
ঘ
(6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

সমাধান:
2x - 6 = 4
বা, 2x = 4 + 6
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
∴ x = 5

আবার,
2y - 5 = 5
বা, 2y = 5 + 5
বা, 2y = 10
বা, y = 10/2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5) ।

৫,৫০৯.

১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
২৮.৫
খ
৩২.৫
গ
৩৫.৫
ঘ
৩০.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো,
৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫, ৬০
∴ মোট সংখ্যা = ১২টি (জোড় সংখ্যক)

জোড় সংখ্যক উপাত্তের মধ্যক = {(n/২) ও (n/২) + ১} তম পদ
= {(১২/২) ও (১২/২) + ১} তম পদ
= (৬ ও ৭) তম পদ

এখানে, ৬ষ্ঠ ও ৭ম সংখ্যা হলো ৩০, ৩৫

∴ মধ্যক = (৩০ + ৩৫)/২ = ৬৫ / ২ = ৩২.৫

৫,৫১০.

যদি x + y = 8 এবং xy = 15 হয়, তবে 2x² + 2y² = কত?

ক
80
খ
74
গ
60
ঘ
68

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং xy = 15 হয়, তবে 2x² + 2y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
এবং xy = 15

আমরা জানি,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
= (8)² - 2 × 15
= 64 - 30
= 34

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= 2 × 34
= 68

৫,৫১১.

২, ৭, ৩, ১৪, ৪, ২১, ৫ ধারার অষ্টম সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ৬
খ
খ) ৭
গ
গ) ২৮
ঘ
ঘ) ২৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৭, ৩, ১৪, ৪, ২১, ৫ ধারার অষ্টম সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
এখানে দুইটি ধারা আছে।
১ম ধারা: ২, ৩, ৪, ৫
২য় ধারা: ৭, ১৪, ২১

এখানে ৭ টি পদ আছে বিধায় ধারাটির অষ্টম সংখ্যা হবে ২য় ধারার ৪র্থ পদ অর্থাৎ ৭, ১৪, ২১, ২৮…

৫,৫১২.

নিচের কোনটি 9a⁴ - 28a² + 3 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a - 4)
খ
(3a + 1)
গ
(a + 5)
ঘ
(3a - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9a⁴ - 28a² + 3 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
9a⁴ - 28a² + 3
= 9a⁴ - 27a² - a² + 3
= 9a²(a² - 3) - 1(a² - 3)
= (a² - 3)(9a² - 1)
= (a² - 3){(3a)² - 1²}
= (a² - 3)(3a + 1)(3a - 1)

৫,৫১৩.

যদি ⁵p_r = 60 এবং⁵c_r = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁵p_r = 60 এবং⁵c_r = 10 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿp_r= n!/(n-r)!

এবং
ⁿc_r= n!/(n-r)!r!
⇒ ⁿc_r = {n!/(n-r)!} × (1/r!)
⇒ ⁿc_r =ⁿp_r × (1/r!)
⇒ ⁿp_r = ⁿc_r × r!
⇒ ⁵p_r= ⁵c_r × r!
⇒ 60 = 10 × r!
⇒ 6 = r!
⇒ r! = 3!
⇒ r = 3

৫,৫১৪.

BOOK শব্দের বর্ণগুলোকে মোট কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৮
গ
গ) ১৪
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

BOOK শব্দটিতে মোট 4 টি বর্ণ আছে যার মধ্যে O আছে 2 টি।
সুতরাং, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 4!/2! = 12

৫,৫১৫.

a² - b² = 8 এবং ab = 3 হলে, a² + b² = কত?

ক
9
খ
13
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² = 8 এবং ab = 3 হলে, a² + b² = কত?

সমাধান:
(a² + b²)² = (a² - b²)² + 4a²b²
= 8² + (4 × 9)
= 64 + 36
= 100

a² + b² = √100 = 10

৫,৫১৬.

ক
25
খ
5
গ
9/5
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₃[log₂(log₅a)] = 0
⇒ log₂(log₅a) = 3⁰ [log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₂(log₅a) = 1
⇒ log₅a = 2¹
⇒ log₅a = 2
⇒ a = 5²
⇒ a = 25
∴ a = 25

৫,৫১৭.

9a² + 30a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
4
খ
9
গ
16
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² + 30a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9a² + 30a
= (3a)² + 2 ⋅ 3a ⋅ 5 + 5² - 5²
= (3a + 5)² - 5²
= (3a + 5)² - 25

∴ 25 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

৫,৫১৮.

(1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?

ক
1
খ
1/2
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?

সমাধান:
(1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?)
= log₁₂₀ 4 + log₁₂₀ 5 + log₁₂₀ 6
= log₁₂₀ (4 × 5 × 6)
= log₁₂₀ 120
= 1

৫,৫১৯.

3 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রীকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক
ক) 5760
খ
খ) 4320
গ
গ) 2880
ঘ
ঘ) 2160

ব্যাখ্যা

3 জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে বলে 3 জনকে 1 জন ধরতে হবে। তাহলে 1 ছাত্র জন ও 5 জন ছাত্রী মিলে মোট 6 জন হবে।
সুতরাং একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6!×3! (যেহেতু 3 জন ছাত্রের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3!)
= 720 × 6
= 4320

৫,৫২০.

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৫২১.

x ≤ (4 + x/3) রাশি এর সমাধান কি হবে?

ক
ক) x < 6
খ
খ) x ≥ 6
গ
গ) x ≤ 6
ঘ
ঘ) x ≤ 8

ব্যাখ্যা

x ≤ (4 + x/3)
⇒ x - x/3 ≤ 4 + x/3 - x/3
⇒ (3x - x)/3 ≤ 4
⇒ 2x/3 × 3/2 ≤ 4 × 3/2
⇒ x ≤ 6

৫,৫২২.

কোনটি অভেদ?

ক
x+y = 3
খ
x²- 5x - 6 = 0
গ
4x + 5 = 4
ঘ
(x+y)² = x²+ 2xy + y²

ব্যাখ্যা

সকল বীজগনিতীয় সূত্রই অভেদ।

৫,৫২৩.

ⁿc_r +ⁿc_{r + 1} = ?

ক
^{n + 1}c_r
খ
ⁿc_{r + 1}
গ
^{n + 1}c_{r + 1}
ঘ
^{n - 1}c_r

ব্যাখ্যা

অনুসিদ্ধান্ত অনুসারে-
ⁿC_r +ⁿC_{r + 1} = ^{n + 1}C_r
এখন,
r এর স্থলে r + 1 বসিয়ে পাই
ⁿC_{r + 1} +ⁿC_{r +2} = ^{n + 1}C_{r + 1}

৫,৫২৪.

২, ৪ এবং ৬৪ এর জ্যামিতিক গড় কত?

ক
৪
খ
৮
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৪ এবং ৬৪ এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ ২, ৪ এবং ৬৪ এর জ্যামিতিক গড় = (২ × ৪ × ৬৪)^১/৩
= (২^১× ২^২ × ২^৬)^১/৩
=(২^৯)^১/৩
= ২^৩
= ৮

৫,৫২৫.

log₆ 6√6 = কত?

ক
1/2
খ
1
গ
3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₆ 6√6 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log₆ 6√6 = a
⇒ 6^a= 6√6
⇒ 6^a = 6¹ × 6^(1/2)
⇒ 6a = 6^{{1 + (1/2)}}
⇒ a = 1 + (1/2)
∴ a = 3/2

৫,৫২৬.

4a²- 12ab + 9b²- 4c²এর উৎপাদকগুলো হলো-

ক
(2a - 3b - 2c)(2a - 3b + 2c)
খ
(3a - 3b - 2c)(3a - 3b + 2c)
গ
(4a - 3b - c)(2a - 3b + 2c)
ঘ
(4a - 3b - 2c)(a - 3b + 2c)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4a²- 12ab + 9b²- 4c²এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
4a²- 12ab + 9b²- 4c²
=(2a)²- 2 · 2a · 3b + (3b)²- (2c)²
=(2a - 3b)²- (2c)²
=(2a - 3b - 2c)(2a - 3b + 2c)

৫,৫২৭.

log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) =log₁₀(x + 5) + 1 হলে, x এর মান কত?

ক
4
খ
1
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) =log₁₀(x + 5) + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀{5(5x + 1)} = log₁₀(x+5)
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
∴ x = 3

৫,৫২৮.

x⁴ - x² + 1= 0 হয়, তবে x³ + 1/ x³ =?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, X⁴ + 1 = x²
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x) = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
বা, (x + 1/x) = √3
এখন, x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3 = 0

৫,৫২৯.

m² + 8m + 15 এর উৎপাদক -

ক
ক) (m + 5)(m - 3)
খ
খ) (m + 5)(m + 3)
গ
গ) (m - 5)(m + 3)
ঘ
ঘ) (m - 5)(m - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m² + 8m + 15 এর উৎপাদক -

সমাধান:
m² + 8m + 15
= m² + 5m + 3m + 15
= m (m + 5) +3 (m + 5)
= (m + 5) (m + 3)

৫,৫৩০.

যদি (x + y)² = 16 এবং xy = 4 হয়, তবে x² + y² = কত?

ক
10
খ
12
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x + y)² = 16 এবং xy = 4 হয়, তবে x² + y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + y)² = 16 এবং xy = 4

আমরা জানি,
x² + y² = (x + y)² - 2xy = 16 - (2 × 4) = 16 - 8 = 8

৫,৫৩১.

12 × 27^x = 2² × 9^{x + 4} হলে, x এর মান কত?

ক
- 2
খ
3
গ
9
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 × 27^x = 2² × 9^{x + 4} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
12 . 27^x = 2² . 9^{x + 4}
⇒ 2² × 3 × (3³)^x = 2² × (3²)^{x + 4}
⇒ 3 × 3^3x = 3^{2x + 8}
⇒ 3^{3x + 1} = 3^{2x + 8}
⇒ 3x + 1 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 - 1
∴ x = 7

৫,৫৩২.

a + (1/a) = √3 হলে, 8(a² + 1/a²) এর মান বের করুন।

ক
8
খ
8√3
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (1/a) = √3 হলে, 8(a² + 1/a²) এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 1/a = √3
আমরা জানি, (a² + 1/a²) = (a + 1/a)² - 2a(1/a)

∴ 8(a² + 1/a²) = 8{(a + 1/a)² - 2a(1/a)}
= 8{(√3)² - 2}
= 8(3 - 2)
= 8 × 1
= 8

৫,৫৩৩.

3 + 6 + 9 + ......... ধারাটির কততম পদ 36?

ক
10 তম পদ
খ
11 তম পদ
গ
12 তম পদ
ঘ
13 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ......... ধারাটির কততম পদ 36?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (6 - 3) = 3

মনে করি,
n তম পদ = 36

∴ a + (n - 1) d = 36
⇒ 3 + (n - 1)3 = 36
⇒ 3 + 3n - 3 = 36
⇒ 3n = 36
⇒ n = 36/3
⇒ n = 12

সুতরাং, ধারাটির 12 তম পদ হবে 36।

৫,৫৩৪.

x² - 5x + 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
বাস্তব, সমান ও মুলদ
খ
অবাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব ও সমান
ঘ
বাস্তব, মুলদ ও অসমান

ব্যাখ্যা

b² - 4ac
= (-5)² - 4 × 1 × 6
= 1
যেহেতু, নিশ্চায়ক পূর্ণবর্গ ও ধনাত্মক সংখ্যা তাই মুলদ্বয় বাস্তব, মুলদ ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

৫,৫৩৫.

'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
28 গুণ
খ
42 গুণ
গ
48 গুণ
ঘ
52 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8 টি যার মধ্যে, N আছে 2 টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি।
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2! × 2!)
= 5040

আবার,
HOUSE শব্দে মোট বর্ণ আছে = 5 টি যার সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ HOUSE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

∴ 'INTERNET' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'HOUSE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 5040/120
= 42 গুণ ।

৫,৫৩৬.

'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকে?

ক
360
খ
720
গ
180
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'DRIVER' শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকে?

সমাধান:
স্বরবর্ণ “IE” কে একটি বর্ণ ধরে

D, R, V, R, এবং IE ৫টি বর্ণ যেখানে R আছে 2 বার

৫টি সাজানোর উপায় = 5!/2! = 60
২টি স্বরবর্ণ সাজানোর উপায় 2! = 2

মোট সাজানোর উপায় = 60 × 2 = 120

৫,৫৩৭.

একটি হলরুমে প্রতি সারিতে ৬টি চেয়ারে ৬ জন করে বসালে ৪টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
150 জন
খ
90 জন
গ
120 জন
ঘ
180 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি হলরুমে প্রতি সারিতে ৬টি চেয়ারে ৬ জন করে বসালে ৪টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। হলে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট ছাত্র সংখ্যা S এবং সারি সংখ্যা R

প্রশ্ন অনুসারে,
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৪টি সারি খালি থাকে। অর্থাৎ
S = 6(R - 4)........(১)

আবার,
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১০ জন দাঁড়িয়ে থাকে। অর্থাৎ
S = 5R + 10
⇒ 6(R - 4) = 5R + 10 [১ নং হতে]
⇒ 6R - 24 = 5R + 10
⇒ 6R - 5R = 10 + 24
∴ R = 34

R এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
S = 6(34 - 4) = 6 × 30
∴ S = 180

সুতরাং মোট ছাত্র সংখ্যা = 180 জন

৫,৫৩৮.

মোট ৫০টি ৫০ টাকার ও ২০ টাকার নোটে মোট ১৭৫০ টাকা হলে, মোট টাকার মধ্যে ২০ টাকার নোটের পরিমাণ কত টাকা?

ক
৪০০ টাকা
খ
৪৫০ টাকা
গ
৫০০ টাকা
ঘ
৬০০ টাকা
ঙ
৭৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মোট ৫০টি ৫০ টাকার ও ২০ টাকার নোটে মোট ১৭৫০ টাকা হলে, মোট টাকার মধ্যে ২০ টাকার নোটের পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
২০ টাকার নোটের সংখ্যা = ক টি

∴ ৫০ টাকার নোট = (৫০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৫০(৫০ - ক) = ১৭৫০
⇒ ২০ক + ২৫০০ - ৫০ক = ১৭৫০
⇒ ২৫০০ - ৩০ক = ১৭৫০
⇒ ২৫০০ - ১৭৫০ = ৩০ক
⇒ ২৫০০ - ১৭৫০ = ৩০ক
⇒ ৭৫০ = ৩০ক
⇒ ৭৫০ / ৩০ = ক
∴ ক = ২৫
অর্থাৎ ২০ টাকার নোটের সংখ্যা = ২৫ টি

∴ মোট টাকার মধ্যে ২০ টাকার নোটে টাকার পরিমাণ = (২৫ × ২০) টাকা
= ৫০০ টাকা

৫,৫৩৯.

a²+1/a² = 51 হলে, a−1/a এর মান কত?

ক
ক) ±3
খ
খ) ±5
গ
গ) ±7
ঘ
ঘ) ±9

ব্যাখ্যা

a²+1/a² = 51
বা, (a-1/a)²+2a.1/a = 51
বা, (a-1/a)² = 51 - 2 = 49
বা, (a-1/a) = ± 7

৫,৫৪০.

যদি 2^{a - 6} = 1/64 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 6} = 1/64 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
2^{a - 6} = 1/64
⇒ 2^{a - 6} = 1/2⁶
⇒ 2^{a - 6} = 2^{- 6}
⇒ a - 6 = - 6
∴ a = 0

৫,৫৪১.

4x² - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 9
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 4x² - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান :
4x² - 20x
= (2x)² - 2.2x.5 + 5² - 5²
= (2x - 5)² - 25
∴ 4x² - 20x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৫,৫৪২.

ক
ক)
খ
খ)
গ
গ)
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৫৪৩.

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

ক
ক) - 2 < x < 5
খ
খ) 2 < x < 10
গ
গ) 2 > x > 5
ঘ
ঘ) 2 < x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

সমাধান:
(x - 2)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 2 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 2 > 0
∴ x > 2

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 2 < x < 5

৫,৫৪৪.

একটি অফিসে ১০ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা কর্মচারী আছেন। এদের মধ্য থেকে ৭ সদস্যের একটি প্রজেক্ট টিম কতভাবে গঠন করা যায়, যেখানে অন্তত ৩ জন মহিলা কর্মচারী থাকবেন?

ক
২৭৩২
খ
২৭৪৫
গ
২৭৫৩
ঘ
২৭৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অফিসে ১০ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা কর্মচারী আছেন। এদের মধ্য থেকে ৭ সদস্যের একটি প্রজেক্ট টিম কতভাবে গঠন করা যায়, যেখানে অন্তত ৩ জন মহিলা কর্মচারী থাকবেন?

সমাধান:
৪ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা = ^১০C_৪ × ^৫C_৩ = ২১০ × ১০ = ২১০০
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা = ^১০C_৩ × ^৫C_৪ = ১২০ × ৫ = ৬০০
২ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলা = ^১০C_২ × ^৫C_৫ = ৪৫ × ১ = ৪৫

সুতরাং, মোট উপায় = (২১০০ + ৬০০ + ৪৫)
= ২৭৪৫

৫,৫৪৫.

|2p - 3| ≤ 1 হলে,p এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2p - 3| ≤ 1 হলে,p এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|2p - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2p - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2p - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2p ≤ 4
⇒ 1 ≤ p ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ p এর সর্বনিম্ন মান 1.

৫,৫৪৬.

a + b = 9m এবং ab = 18m² হলে a - b এর মান কত?

ক
3m
খ
-3m
গ
±3m
ঘ
6m

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 9m এবং ab = 18m² হলে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9m
ab = 18m²

আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
⇒ (a - b)² = (9m)² - 4. 18m²
⇒ (a - b)² = 81m² - 72m²
⇒ (a - b)² = 9m²
⇒ (a - b) = ±√(9m²)
⇒ a - b = ± 3m

৫,৫৪৭.

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y) হলে, (x, y) = কত?

ক
ক) (2, 1)
খ
খ) (1, 1)
গ
গ) (1, 3)
ঘ
ঘ) (2, 3)

ব্যাখ্যা

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y)
5x - 4y = 6 ……….(i)
x + 2y = 4 ………..(ii)
(ii) নং থেকে পাই,
x = 4 - 2y …………(iii)
(i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
5(4 - 2y) - 4y = 6
বা, 20 - 10y - 4y = 6
বা, -14y = -14
বা, y = 1
y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 4-2 =2
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

৫,৫৪৮.

3x² - x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
ক) বাস্তব ও অসমান
খ
খ) বাস্তব ও সমান
গ
গ) অবাস্তব ও অসমান
ঘ
ঘ) পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x² - x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 3x² - x + 5 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = - 1, c = 5

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 1)² - 4 . 3 . 5
= 1 - 60
= - 59 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 তাই মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হয়।

b² - 4ac < 0 হলে, মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হয়।
b² - 4ac > 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
b² - 4ac = 0 হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হয়।

৫,৫৪৯.

যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-

ক
x < 1/7
খ
x < 9/7
গ
x < 2/7
ঘ
x < 5/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-

সমাধান:
3x + y = 7,
∴ y = 7 - 3x

Now substitute in the inequality:
2x + 3y > 12
⇒ 2x + 3(7 - 3x) > 12
⇒ 2x + 21 - 9x > 12
⇒ -7x + 21 > 12
⇒ -7x > 12 - 21
⇒ -7x > -9
∴ x < 9/7

৫,৫৫০.

একটি গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে। এর মধ্যে ৪০ জন হিন্দি বলতে পারেন, ৩০ জন হিন্দি ও ইংরেজি উভয়ই বলতে পারেন এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় বলতে পারেন। ইংরেজি বলতে কতজন পারেন?

ক
৬০ জন
খ
২৫ জন
গ
৫০ জন
ঘ
৩০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে। এর মধ্যে ৪০ জন হিন্দি বলতে পারেন, ৩০ জন হিন্দি ও ইংরেজি উভয়ই বলতে পারেন এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় বলতে পারেন। ইংরেজি বলতে কতজন পারেন?

সমাধান:
গ্রুপে ৬০ জন ব্যক্তি আছে
হিন্দি ও ইংরেজি উভয় ভাষায় বলতে পারেন = ৩০ জন

শুধু হিন্দিতে বলতে পারেন = ৪০ - ৩০ = ১০ জন

∴ শুধু ইংরেজিতে বলতে পারেন = ৬০ - (৩০ + ১০) = ২০ জন

∴ ইংরেজি বলতে পারেন = ৩০ + ২০ = ৫০ জন

৫,৫৫১.

2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির 11 তম পদ কত?

ক
1020
খ
2048
গ
1035
ঘ
2052

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির 11 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ 10 তম পদ = 2 × 2^{11 - 1}= 2 × 2¹⁰
= 2 × 1024
= 2048

৫,৫৫২.

9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
ক) 6
খ
খ) 12
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9, 8, 2, 5 এই চারটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে 8000 থেকে বড় কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
8000 থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই 8, 9 থাকতে হবে।
প্রথম ঘরে এই দুই সংখ্যার যেকোনো একটি রাখ যাবে ²p₁ = 2 উপায়ে।
বাকি 3 ঘর সাজানো যাবে 3! = 6 ভাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 2 = 12 উপায়ে যাতে সংখ্যাটি 8000 হতে বড় হয়।

৫,৫৫৩.

x এর মান কত হলে 2(3x + 5) = - (x - 31) হবে?

ক
- 4
খ
2
গ
- 3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2(3x + 5) = - (x - 31) হবে?

সমাধান:
2(3x + 5) = - (x - 31)
বা, 6x + 10 = - x + 31
বা, 6x + x = 31 - 10
বা, 7x = 21
বা, x = 21/7
∴ x = 3

৫,৫৫৪.

একটি থলেতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৩
খ
৩/৪
গ
৭/১৯
ঘ
৮/২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = (৮ + ৭ + ৬) = ২১

বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২১

৫,৫৫৫.

50⁷ × 20⁷ সংখ্যাটি 10⁸ এর 10^x গুণ হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 13
খ
খ) 14
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^(x+8)
বা, (1000)⁷ = 10^(x+8)
বা, (10³)⁷ = 10^(x+8)
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

৫,৫৫৬.

৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
০
খ
৩/৪
গ
৪/৫
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা আছে ১০টি
আবার,
বিজোড় সংখ্যা আছে ৩১, ৩৩, ৩৫, ৩৭, ৩৯ = ৫টি
এবং ৭ এর গুণিতক আছে ৩৫ = ১টি

∴ অনুকূল সংখ্যা = ৫ + ১ − ১ = ৫টি ;[ উভয় অংশ ৩৫ আছে]

∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/১০ = ১/২

৫,৫৫৭.

যদি a + a^{- 1} = √7 হয়, তাহলে a² + a^{- 2} এর মান কত হবে?

ক
3
খ
5
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + a^{- 1} = √7 হয়, তাহলে a² + a^{- 2} এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a^{- 1} = √7
⇒ a + (1/a) = √7

প্রদত্ত রাশি = a² + a^{- 2}
= a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√7)² - 2
= (7 - 2)
= 5

৫,৫৫৮.

কোন শর্তে a^x = b^x হলে, a = b হবে?

ক
ক) a > 0, b < 0, x ≠ 1
খ
খ) a < 0, b > 0, x ≠ 1
গ
গ) a > 0, b > 0, x = 0
ঘ
ঘ) a > 0, b > 0, x ≠ 0

ব্যাখ্যা

a > 0, b > 0, x ≠ 0 শর্তে,
a^x = b^x হলে, a = b হবে।

৫,৫৫৯.

কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 3 হলে ভগ্নাংশটি = কত?

ক
ক) 4/7
খ
খ) 5/6
গ
গ) 11/14
ঘ
ঘ) 2/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 3 হলে ভগ্নাংশটি = কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 11...........(1)
y - x = 3 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 14
y = 7

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 7 =11
x = 11 - 7
x = 4
ভগ্নাংশটি = x/y = 4/7

৫,৫৬০.

a³ - a² কে a - 2 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

ক
- 6
খ
2
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - a² কে a - 2 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:

৫,৫৬১.

6x² - 5x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয় নির্ণয় করুন?

ক
4/3, (- 1/2)
খ
(- 4/3), (- 1/2)
গ
4/3, 1/2
ঘ
3/4, - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 5x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয় নির্ণয় করুন?

সমাধান:
6x² - 5x - 4 = 0
⇒ 6x² - 8x + 3x - 4 = 0
⇒ 2x(3x - 4) + 1(3x - 4) = 0
⇒ (3x - 4)(2x + 1) = 0
⇒ 3x - 4 = 0 অথবা 2x + 1 = 0
∴ x = 4/3 অথবা x = - 1/2

৫,৫৬২.

52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/13
খ
4/13
গ
8/13
ঘ
2/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস = 52 টি
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (4 + 4)/52
= 2/13

৫,৫৬৩.

9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
ক) 6xy
খ
খ) 12xy
গ
গ) 24xy
ঘ
ঘ) 144xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি,
a যোগ করতে হবে
9x² + 16y² + a
= (3x)² + (4y)²+ 2.3x.4y
= (3x)² + (4y)² + 24xy
∴ a = 24xy

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৫,৫৬৪.

'FASHION' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
ক) 720
খ
খ) 360
গ
গ) 180
ঘ
ঘ) 340

ব্যাখ্যা

'FASHION' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3!
=120 × 6
= 720

৫,৫৬৫.

m² - n² + 4n - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
m - 2n + 1
খ
m + n - 2
গ
m + n + 2
ঘ
m - n - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m² - n² + 4n - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
m² - n² + 4n - 4
= m² - (n² - 4n + 4)
= m² - {(n)² - 2. n. 2 + (2)²}
= m² - (n - 2)²
= {m + (n - 2)} {m - (n - 2)}
= (m + n - 2) (m - n + 2)

৫,৫৬৬.

৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

ক
৩!৮!৪!৪!
খ
৩!৮!
গ
৪!৪!
ঘ
৮!৪!৪!

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

সমাধান:
৩টি জাতি জাতিগতভাবে বসতে পারে ৩! উপায়ে।
৮ জন বাংলাদেশি নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৮! উপায়ে
৪ জন আমেরিকান নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে
৪ জন ইংরেজ নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় ৩!৮!৪!৪!

৫,৫৬৭.

সমাধান করুনঃ x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

ক
ক) (x, y) = (4, 2)
খ
খ) (x, y) = (6, 3)
গ
গ) (x, y) = (2, 1)
ঘ
ঘ) (x, y) = (8, 4)

ব্যাখ্যা

x^y = y^x
or, x = y^x/y
or, 2y = y² [ x = 2y]
অতএব, y = 2
অতএব, x = 4

৫,৫৬৮.

x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) 4xy
খ
খ) 8xy
গ
গ) 6xy
ঘ
ঘ) 2xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (- 4)² + 2xy + 2y(- 4) + 2(- 4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy

∴ 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

৫,৫৬৯.

3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

ক
8
খ
12
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
3 + 6 + 12 + 24 + …
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 3 × (2ⁿ - 1)/(2 - 1) ; [এখানে a = 3, r = 2]
= 3 × (2ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3 × (2ⁿ - 1) = 765
⇒ 2ⁿ - 1 = 765/3
⇒ 2ⁿ - 1 = 255
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

৫,৫৭০.

দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
5/6
খ
1/6
গ
3/10
ঘ
5/36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6
= 36

লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার অনুকূল ঘটনা
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
= 6 টি

একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

৫,৫৭১.

f(x) = (x² + 2x + 5)/(x - 2) হলে x ≠ ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = (x² + 2x + 5)/(x - 2) হলে x ≠ ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = (x² + 2x + 5)/(x-2)

x = 0 হলে,
f(0) = {0² + (2 × 0) + 5}/(0 - 2)
= - 5/2

x = 1 হলে,
f(1) = {1² + (2 × 1) + 5}/(1 - 2)
= - 8

x = 3 হলে,
f(3) = {3² + (2 × 3) + 5}/(3 - 2)
= 20

অন্যদিকে,
x = 2 হলে,
f(2) = {2² + (2 × 2) + 5}/(2 - 2)
= 13/0
= অসংজ্ঞায়িত মান [ যেহেতু, শুন্য দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না।]

সুতরাং, x ≠ 2

৫,৫৭২.

a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

ক
(a + b - 3c)(a - b + 3c)
খ
(a + b + 3c)(a - b - 3c)
গ
(a - b + 3c)(a - b - 3c)
ঘ
(a + b - 3c)(a + b + 3c)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2 . b . 3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c)(a - b + 3c)

৫,৫৭৩.

সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি -

ক
সসীম সেট
খ
অসীম সেট
গ
ফাঁকা সেট
ঘ
সার্বিক সেট

ব্যাখ্যা

সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

৫,৫৭৪.

1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3280/2187
খ
364/243
গ
6560/6561
ঘ
1093/729

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 < 1
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n= {a.(1 - rⁿ)}/(1 - r) ; যখন r < 1

∴ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি
S₈ = 1{1 - (1/3)⁸} / {(1 - (1/3)}
= {1 - (1/6561) / (2/3)
= (6560/6561) × (3/2)
= 3280/2187

৫,৫৭৫.

a - {a - (a - 1)} =?

ক
a
খ
a - 1
গ
1
ঘ
a + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - {a - (a - 1)} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= a - {a - (a - 1)}
= a - {a - a + 1}
= a - {1}
= a - 1

৫,৫৭৬.

একটি স্কুলের ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার মধ্যে ৪/৭ অংশ ছাত্র এবং বাকি অংশ ছাত্রী। যদি ছাত্রদের সংখ্যা ছাত্রীদের সংখ্যা অপেক্ষা ৬০ জন বেশি হয়, তবে ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
১৬০ জন
খ
১৮০ জন
গ
১৭৫ জন
ঘ
২১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার মধ্যে ৪/৭ অংশ ছাত্র এবং বাকি অংশ ছাত্রী। যদি ছাত্রদের সংখ্যা ছাত্রীদের সংখ্যা অপেক্ষা ৬০ জন বেশি হয়, তবে ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি, ছাত্র ছাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক/৭ জন
∴ ছাত্রী সংখ্যা = ক - (৪ক/৭) = ৩ক/৭ জন

প্রশ্নমতে,
⇒ (৪ক/৭) - (৩ক/৭) = ৬০
⇒ ক/৭ = ৬০
∴ ক = ৪২০

∴ ছাত্রী সংখ্যা = (৩ × ৪২০)/৭ = ১৮০ জন

৫,৫৭৭.

FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

ক
2480
খ
2520
গ
2420
ঘ
2540

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
FREEDOM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি
এখানে,
E আছে 2 টি
বাকি বর্ণগুলো আছে 1 টি করে

বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

৫,৫৭৮.

2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(2x - 3) (x + 1)
খ
(2x + 3) (x - 1)
গ
(2x - 3) (x - 1)
ঘ
(2x + 3) (x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2x² - x - 3
= 2x² - 3x + 2x - 3
= x (2x - 3) + 1 (2x - 3)
= (2x - 3) (x + 1)

৫,৫৭৯.

৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
২০
খ
২৫
গ
২৮
ঘ
৩৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো = ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১০ + ১৫ + ২০ + ২৫ + ৩০ = ১০০
∴ নির্ণেয় গড় = ১০০/৫ = ২০

৫,৫৮০.

একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ২/৯
খ
খ) ৪/৯
গ
গ) ২/৩
ঘ
ঘ) ১/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪
লাল বল আছে = ২ক টি
হলুদ বল আছে = ৩ক টি
সবুজ বল আছে = ৪ক টি

মোট বল = (২ক + ৩ক + ৪ক) = ৯ক টি

হলুদ বল হওয়ার সম্ভাবনা = ৩ক/৯ক = ১/৩

৫,৫৮১.

(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

সমাধান:
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
বা, (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{- (x - 3)}
বা, x - 1 = - (x - 3)
বা, x - 1 = - x + 3
বা, x + x = 3 + 1
বা, 2x = 4
বা, x = 4/2
∴ x = 2

৫,৫৮২.

P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∩ B) এর মান কত?

ক
2/3
খ
5/6
গ
1/4
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3) × (3/4)
= 1/4

৫,৫৮৩.

3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

ক
10
খ
- 10
গ
12
ঘ
- 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

সমাধান:
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 3(y - 2) = 4(y + 1)
⇒ 3y - 6 = 4y + 4
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
⇒ y = - 10

৫,৫৮৪.

x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2 .............. (1)
xy = 24

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= (2)² + 4 . 24
= 4 + 96
= 100
(x + y)² = 10²
∴ x + y = 10 ................. (2)

(1) + (2)
x + y = 10
x - y = 2
2x = 12
∴ x = 6

৫,৫৮৫.

1 থেকে 30 পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো 2, 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
অর্থাৎ 1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 10 টি
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নয় = (30 - 10) টি
= 20 টি

∴ মৌলিক সংখ্যা না হবার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 20/30
= 2/3

৫,৫৮৬.

গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করতে হলে প্রথমে কোনটি প্রয়োজন?

ক
শ্রেণি সংখ্যা
খ
পরিসর
গ
গণসংখ্যা
ঘ
শ্রেণি ব্যবধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করতে হলে প্রথমে কোনটি প্রয়োজন?

সমাধান:

৫,৫৮৭.

25a² - (3a + 4b)² = কত?

ক
(5a + 3b)(5a - 4b)
খ
(8a + 4b)(5a - 4b)
গ
(8a + 4b)(2a - 4b)
ঘ
(8a + 4b)(2a - 2b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25a² - (3a + 4b)² = কত?

সমাধান:
25a² - (3a + 4b)²
= (5a)² - (3a + 4b)²
= {5a + (3a + 4b)} {5a - (3a + 4b)}
= (5a + 3a + 4b)(5a - 3a - 4b)
= (8a + 4b)(2a - 4b)

৫,৫৮৮.

x² + y² = 13 এবং xy = 6 হলে (x + y)² এর মান কত?

ক
ক) 19
খ
খ) 22
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 27

ব্যাখ্যা

(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 13 + 2 × 6
= 25

৫,৫৮৯.

x² - 3x - 40 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কত?

ক
ক) (- 8, 5)
খ
খ) (8,- 5)
গ
গ) (- 8,- 5)
ঘ
ঘ) (8,5)

ব্যাখ্যা

x² - 3x - 40= 0
x² - 8x + 5x - 40= 0
x(x - 8) + 5(x - 8) = 0
(x - 8) (x + 5) = 0

হয় অথবা
x - 8 = 0 x + 5 = 0
x = 8 x = - 5

৫,৫৯০.

৮, ২৫, ১৭, ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

ক
গড় < মধ্যক
খ
গড় = মধ্যক
গ
গড় > মধ্যক
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮, ২৫, ১৭, ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রম অনুসারে সাজালে পাওয়া যায় - ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে
n = ১১
মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

গড় = (৫ + ৮ + ৯ + ১১ + ১২ + ১৫ + ১৭ + ২০ + ২১ + ২৩ + ২৫)/১১
= ১৬৬/১১
= ১৫.০৯০৯

∴ গড় > মধ্যক

৫,৫৯১.

x = 10 হলে নিচের কোনটির মান সর্বনিম্ন?

ক
2 - x
খ
x/2
গ
2/x
ঘ
(2 - x)²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 10 হলে নিচের কোনটির মান সর্বনিম্ন?

সমাধান:
উক্ত অপশন অনুযায়ী,
(ক) 2 - x = 2 - 10 = - 8 (ক্ষুদ্রতম)
(খ) x/2 = 10/2 = 5 (বৃহত্তম)
(গ) 2/x = 2/10 = 0.5 (বৃহত্তম) এবং
(ঘ) (2 - x)2 = (2 - 10)2 = (- 8)2 = 64 (বৃহত্তম)

∴ 2 - x এর মান সর্বনিম্ন।

৫,৫৯২.

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়জন?

ক
৯৯ জন
খ
৯৮ জন
গ
৯৭ জন
ঘ
৯৬ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়জন?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬
= ৯৬ জন

৫,৫৯৩.

x³ + 3x² + 3x + 2 এর উৎপাদকে গুলো নিচের কোনটি?

ক
ক) (x - 2)(x² + x + 1)
খ
খ) (x + 1)(x² - x + 1)
গ
গ) (x - 1)(x² - x - 1)
ঘ
ঘ) (x + 2)(x² + x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ + 3x² + 3x + 2 এর উৎপাদকে গুলো নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
f(- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 2
= - 8 + 12 - 6 + 2
= 14 - 14
= 0
∴ x + 2, f(x) এর একটি উৎপাদক।

f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
= x³ + 2x² + x² + 2x + x + 2
= x²(x + 2)+ x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x² + x + 1)

৫,৫৯৪.

যদি a + b = 4 এবং ab = 3 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

ক
67
খ
54
গ
44
ঘ
29

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 4 এবং ab = 3 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 4
এবং ab = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (4)³ - 3.3.4 + 4 (4² - 4.3) [মান বসিয়ে]
=64 - 36 + 4. (16 - 12)
= 64 - 36 + 4 × 4
= 64 - 36 + 16
= 44

:. নির্ণেয় মান 44

৫,৫৯৫.

x = √3 + √2 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
3√2
খ
18√3
গ
12√3
ঘ
৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³+ 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
1/x = (√3 - √2)/ (3 - 2)
1/x = (√3 - √2)

এখন,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x))³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√3 + √2 + √3 - √2)³ - 3(√3 + √2 + √3 - √2)
= (2√3)³ - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3

৫,৫৯৬.

a² - b² = 45 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

ক
40
খ
45
গ
54
ঘ
60

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² = 45 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 45
⇒ (a + b)(a - b) = 45
⇒ (a + b) · 3 = 45
⇒ (a + b) = 45/3
∴ a + b = 15

প্রদত্ত রাশি, ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (15²- 3²)/4
= (225 - 9)/4
= 54

৫,৫৯৭.

2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে y এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 5 …….(i)
x - y = 1 …….(ii)

(ii) হতে পাই,
x = 1 + y …….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(1 + y) + y = 5
বা, 2 + 2y + y = 5
বা, 2 + 3y = 5
বা, 3y = 5 - 2
বা, 3y = 3
বা, y = 3/3
∴ y = 1

৫,৫৯৮.

যদি 8/x = 4 এবং 2/y = 8 হয়, তবে x + y = কত?

ক
7/4
খ
1/4
গ
9/4
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
8/x = 4
4x = 8
x = 8/4
x = 2

2/y = 8
8y = 2
y = 2/8
y = 1/4

x + y = 2 + (1/4)
= (8 + 1)/4
= 9/4

৫,৫৯৯.

৫২ খানা তাসের মধ্য হতে ১ টি তাস দৈবভাবে উঠানো হলো, তাসটি লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ২/৫২
খ
খ) ১/২৬
গ
গ) ক ও খ
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

লাল টেক্কা ২ টা
মোট তাস ৫২ টা
∴ লালা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৫২ = ১/২৬

৫,৬০০.

x এর মান কত হলে (x - 3)/3 এর মান শূন্য হবে?

ক
0
খ
3
গ
.3
ঘ
√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (x - 3)/3 এর মান শূন্য হবে?

সমাধান:
এখন
(x - 3)/3 = 0
x - 3 = 0
x = 3