বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫৫ / ২০১ · ৫,৪০১–৫,৫০০ / ২০,২০৭

৫,৪০১.

x³-7x-6 এর উৎপাদক কত?

ক
ক) (x+1)(x-2)(x-3)
খ
খ) (x-1)(x+2)(x-3)
গ
গ) (x+1)(x+2)(x-3)
ঘ
ঘ) (x-1)(x-2)(x-3)

ব্যাখ্যা

x³-7x-6
= x³+x²-x²-x-6x-6
= x²(x+1)-x(x+1)-6(x+1)
= (x+1)(x²-x-6)
= (x+1)(x+2)(x-3)

৫,৪০২.

A = {x : x ∈ R এবং x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {2, 3, 5} হলে, B - A এর মান কত?

ক
{2, 3, 5}
খ
{5}
গ
{2, 3}
ঘ
{6}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ R এবং x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {2, 3, 5} হলে, B - A এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = {x : x ∈ R এবং x2 - 5x + 6 = 0}
B = {2 , 3 , 5}

এখানে
x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 2x - 3x + 6= 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
বা, (x - 2)(x - 3) = 0
∴ x = 2, 3

A = {2, 3}
B = {2, 3, 5}

∴ B - A = {2, 3, 5} - {2, 3}
= {5}

৫,৪০৩.

- ১৫ ও - ২৫ সংখ্যা দুইটির পরিমিত ব্যবধান কত?

ক
১০
খ
৫
গ
১/৫
ঘ
২

ব্যাখ্যা

এখানে, - ১৫ > - ২৫
অতএব, পরিসর R, = - ১৫ - ( - ২৫)
= ১০
সুতরাং পরিমিত ব্যবধান, σ = R/২
= ১০/২
= ৫

৫,৪০৪.

(3 - x) + 5 = 4(x - 3) হলে x = ?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 1/3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

(3 - x) + 5 = 4(x - 3)
বা, -(x - 3) + 5 = 4(x - 3)
বা, 5(x - 3) = 5
বা, x - 3 = 1
∴ x = 4

৫,৪০৫.

প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
২, ৬, ১০, ৯, ৮, ৪, ২, ৮, ১০, ১১, ৫, ১৪

ক
৮
খ
১৬
গ
১২
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
২, ৬, ১০, ৯, ৮, ৪, ২, ৮, ১০, ১১, ৫, ১৪

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ২, ২, ৪, ৫, ৬, ৮, ৮, ৯, ১০ ১০, ১১ ১৪
মোট উপাত্তের সংখ্যা, (n) = ১২ (যা একটি জোড় সংখ্যা)

∴ মধ্যক = {(১২/২) তম পদ + {(১২/২) + ১} তম পদ}/২
= (৬ তম পদ + ৭ তম পদ)/২
= (৮ + ৮)/২
= ১৬/২
= ৮

৫,৪০৬.

5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 6) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 5
খ
খ) - 5
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 6) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি
১ম পদ = 5
সাধারণ অনুপাত r = - 5/5 = - 1

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 6) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 5{1 - (- 1)^{(2n + 6)}}/{1 - (- 1)}
= 5{1 - 1}/{1 + 1}
= 5 × 0/2
= 0/2
= 0

৫,৪০৭.

5log3 - log9 = কত?

ক
ক) log8
খ
খ) log5
গ
গ) log10
ঘ
ঘ) log27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = কত?

সমাধান:
5log3 - log9
= log3⁵ - log3²
= log(3⁵ ÷ 3²)
= log(3³)
= log27

৫,৪০৮.

log₃(log₂x) = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(log₂x) = 1 হলে, x এর মান কত হবে?

সমাধান:
log₃(log₂x) = 1
log₂x = 3¹
log₂x = 3
x = 2³
x = 8

৫,৪০৯.

ক
231
খ
221
গ
241
ঘ
251

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৪১০.

একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 9 টি হলুদ বল এবং 13 টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি হলুদ না হবার সম্ভবনা কত?

ক
ক) 12/19
খ
খ) 9/28
গ
গ) 19/28
ঘ
ঘ) 11/14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 9 টি হলুদ বল এবং 13 টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি হলুদ না হবার সম্ভবনা কত?
সমাধান :
নীল বল আছে 6টি।

হলুদ বল আছে 9টি।

সবুজ বল আছে 13টি।

হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = 9/(6+9+13) = 9/28
হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - 9/28 = 19/28

৫,৪১১.

x² +2x - 8, x³ - 4x² + 4x এবং x² + 4x এর ল.সা.গু কত?

ক
x(x + 4)(x - 2)²
খ
x(x + 4)(x - 2)
গ
x(x + 4)(x + 2)²
ঘ
x(x + 4)²(x - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² +2x - 8, x³ - 4x² + 4x এবং x² + 4x এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
x² + 2x - 8
= (x + 4)(x - 2)

x³ - 4x² + 4x
= x(x² - 4x + 4)
= x(x - 2)²

x² + 4x
= x(x + 4)

∴ ল.সা.গু = x(x + 4)(x - 2)²

৫,৪১২.

তিন ভাই বোনের বয়সের গড় ১৬ বছর। যদি পিতাসহ তিন ভাই বোনের বয়সের গড় ২৫ বছর হয়, তাহলে পিতার বয়স কত?

ক
৪৮ বছর
খ
৫০ বছর
গ
৫২ বছর
ঘ
৬০ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিন ভাই বোনের বয়সের গড় ১৬ বছর। যদি পিতাসহ তিন ভাই বোনের বয়সের গড় ২৫ বছর হয়, তাহলে পিতার বয়স কত?

সমাধান:
তিন ভাই বোনের বয়সের গড় ১৬ বছর
তিন ভাই বোনের বয়সের সমষ্টি = (১৬ × ৩) = ৪৮

পিতা সহ তাদের বয়সের সমষ্টি = (২৫ × ৪) = ১০০
পিতার বয়স = (১০০ - ৪৮) বছর
= ৫২ বছর

৫,৪১৩.

a⁴+ a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে a² + b² =?

ক
3
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴+ a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে a² + b² =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 ............... (1)
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 8
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 8
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 8
⇒ 4 × (a² - ab + b²) = 8 [ 1 নং হতে ]
⇒ (a² - ab + b²) = 8/4
∴ a² - ab + b² = 2-------- (2)

এখন, (1) + (2)
⇒ a² + ab + b² + a² - ab + b² = 4 +2
⇒ 2(a² + b²) = 6
⇒ a² + b² = 6/2
∴ a² + b² = 3

৫,৪১৪.

দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?

ক
(a + b)²
খ
(a² + b²)
গ
(a + b)(a - b)
ঘ
√(a + b) - √(a - b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?

সমাধান:
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে-
a² - b² = (a + b) (a - b)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
১। (a + b)² = a² + 2ab + b²২। (a - b)² = a² - 2ab + b²
৩। (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

৫,৪১৫.

যদি ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য ƒ(- 2) = 0 হবে?

ক
1/2
খ
2
গ
- 2
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য ƒ(- 2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ƒ(x) = x³ + kx² - 4x - 8
বা, ƒ(- 2) = (- 2)³ + k (- 2)² - 4(- 2) - 8
বা, ƒ(- 2) = - 8 + 4k + 8 - 8
∴ ƒ(- 2) = 4k - 8

যেহেতু,
ƒ(- 2) = 0
বা, 4k - 8 = 0
বা, 4k = 8
বা, k = 8 /4
∴ k = 2

৫,৪১৬.

নিচের কোনটি অসীম সেট?

ক
{১, ২, ৩, ৪, ১৭৭}
খ
{y : y ∈ N এবং y²<100<y³}
গ
{3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ----------- }
ঘ
{1, 9, 81, 243}

ব্যাখ্যা

{3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ----------- }
এটি অসীম সেট কারণ এই ধারার শেষ সংখ্যা নাই।
বাকি ধারার শেষ সংখ্যা আছে।

৫,৪১৭.

52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
1/13
খ
3/13
গ
12/13
ঘ
1/52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
52 টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে = 4 টি
উত্তোলিত তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যতা= 4/52
= 1/13

∴ উত্তোলিত তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাব্যতা= 1 - (1/13)
= 12/13

৫,৪১৮.

1 + 2 + 3 + ..... + 42 = কত?

ক
903
খ
910
গ
918
ঘ
924

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 42 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 42
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (42/2){2 · 1 + (42 - 1) · 1}
= 21(2 + 41)
= 21 × 43
= 903

৫,৪১৯.

x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ?

ক
ক) - 2xy
খ
খ) 8xy
গ
গ) 6xy
ঘ
ঘ) 2xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ?

সমাধান:
সমাধান-
= x² - 8x - 8y + y² + 16
= (- x)² + (- y)² + 4² + 2.(- x).(- y) + 2.(- y).4 + 2.(- x).4 - 2xy
= (- x - y + 4)² - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy

সুতরাং প্রদত্তরাশির সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৫,৪২০.

a² - b² - c² - 2bc + a - b - c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন?

ক
(a + b + c)(a - b - c - 1)
খ
(a - b - c)(a + b + c)
গ
(a - b - c)(a + b + c + 1)
ঘ
2(a - b - c + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² - c² - 2bc + a - b - c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন?

সমাধান:
a² - b² - c² - 2bc + a - b - c
= a² - (b² + 2bc + c²) + (a - b - c)
= a² - (b + c)² + (a - b - c)
= (a + b + c)(a - b - c) + (a - b - c)
= (a - b - c)(a + b + c + 1)

৫,৪২১.

x√(0.16) = 2 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x√(0.16) = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.16) = 2
⇒ x√(16/100) = 2
⇒ x × (4/10) = 2
⇒ x = 2 × (10/4)
⇒ x = 5
∴ x = 5

৫,৪২২.

এক প্যাকেট তাস হতে একটি তাস তোলা হলো তাসটি কালো অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 2/13
খ
খ) 5/13
গ
গ) 7/13
ঘ
ঘ) 9/13

ব্যাখ্যা

মোট তাস = 52 টি
মোট টেক্কা = 4 টি
মোট কালো টেক্কা = 2 টি
মোট কালো তাস = 26 টি
একটি তাস টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52
একটি তাস কালো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 2/52
একটি তাস কালো তাস হওয়ার সম্ভাবনা = 26/52
∴ তাসটি কালো বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 + 26/52 - 2/52
= 4 + 26 - 2/52
= 28/52
= 7/13

৫,৪২৩.

(a + 1)(a - 1)(a² + 1) = ?

ক
ক) a² - 1
খ
খ) a⁴ - 1
গ
গ) a³ - 1
ঘ
ঘ) a⁴ + 1

ব্যাখ্যা

(a + 1)(a - 1)(a² + 1)
= (a² - 1)(a² + 1)
= a⁴ - 1

৫,৪২৪.

3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
(1, ∞)
খ
(2, ∞)
গ
(-2, ∞)
ঘ
(-1, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 3 > 2x - 1
3x - 3 + 3 > 2x - 1 + 3
3x > 2x + 2
3x - 2x > 2x - 2x + 2
x > 2

অর্থাৎ x এর মান ২ থেকে বড় যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (2, ∞)

৫,৪২৫.

9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

ক
4032
খ
2016
গ
1008
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
9 জন বালক থেকে 2 জন বালক বেছে নেওয়া যায় = ⁹C₂ = 36 উপায়ে
8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = ⁸C₂ = 28 উপায়ে

9 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা বেছে নেওয়া যায় = 36 × 28 = 1008 উপায়ে

৫,৪২৬.

'Courage' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

ক
৫০৪০
খ
১৪৪
গ
২১০
ঘ
২৮৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'Courage' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
Courage শব্দটিতে ৭ টি অক্ষর যার মধ্যে চারটি স্বরবর্ণ (o, u, a, e) আছে।

প্রথমে o স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে u স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে a স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
প্রথমে e স্বরবর্ণ রেখে বাকি ৬টি অক্ষরকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০

∴ স্বরবর্ণ প্রথমে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হয় = ৪ × ৭২০ = ২৮৮০

৫,৪২৭.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 5/2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

log₅5√5
= log₅(5.5^½)
= log₅5^3/2
= 3/2 log₅5
= 3/2 × 1
= 3/2

৫,৪২৮.

1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির নবম পদ কত?

ক
38
খ
42
গ
45
ঘ
51

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির নবম পদ কত?

সমাধান:
অনুক্রমটির,
১ম পদ = 1
২য় পদ = 1 + 2 = 3
৩য় পদ = 3 + 3 = 6
৪র্থ পদ = 6 + 4 = 10
৫ম পদ = 10 + 5 = 15
৬ষ্ঠ পদ = 15 + 6 = 21
৭ম পদ = 21 + 7 = 28
৮ম পদ = 28 + 8 = 36
৯ম পদ = 36 + 9 = 45

৫,৪২৯.

একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে A স্টেশন থেকে B স্টেশনে পৌছালো। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগতো। দুই স্টেশনের দূরত্ব কত?

ক
45 কি.মি.
খ
20 কি.মি.
গ
25 কি.মি.
ঘ
30 কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে A স্টেশন থেকে B স্টেশনে পৌছালো। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগতো। দুই স্টেশনের দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনেকরি,
দুই স্টেশনের দূরত্ব = x কি.মি.

প্রশ্নমতে
(x/25) - (x/ 30) = 10/60
(6x - 5x)/150 = 1/6
x/150 = 1/6
x = 150/6
x = 25

৫,৪৩০.

x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে x³ + 1/x³ = কত?

ক
ক) √5
খ
খ) 3√5
গ
গ) 2√5
ঘ
ঘ) 5√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে x³ + 1/x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + 1² = 5x²
⇒ (x² + 1)² = (√5x)²
⇒ x² + 1 = √5x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √5
∴ x + 1/x = √5

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . 1/x . (x + 1/x)
= (√5)³ - 3 . √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

৫,৪৩১.

x² - 7x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, 6) ∪ (2, + ∞)
খ
(- ∞, - 2) U (5, + ∞)
গ
(- ∞, 3) ∪ (4, + ∞)
ঘ
(- ∞, - 4) U (- 3, + ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 7x + 12 > 0
⇒ x² - 4x - 3x + 12 > 0
⇒ x(x - 4) - 3(x - 4) > 0
⇒ (x - 4)(x - 3) > 0

দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

ক্ষেত্র ১: উভয়ই ধনাত্মক হলে,
x - 4 > 0 এবং x - 3 > 0
⇒ x > 4 এবং x > 3
∴ x > 4

ক্ষেত্র ২: উভয়ই ঋণাত্মক হলে,
x - 4 < 0 এবং x - 3 < 0
⇒ x < 4 এবং x < 3
∴ x < 3

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো: x < 3 অথবা x > 4
ব্যবধিতে প্রকাশ করলে: (- ∞, 3) ∪ (4, + ∞)

৫,৪৩২.

3 - 6 + 12 - 24 + ......ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

ক
129
খ
- 127
গ
189
ঘ
- 157

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ......ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2

আমরা জানি,
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r) ; [| r | < 1]
প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি S₇ = 3 [1 - ( - 2)⁷]/[1 - (- 2)]
= 3(1 + 128)/3
= (3 × 129)/3
= 129

সুতরাং, প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি 129

৫,৪৩৩.

x - {x - x - (x - 1)} + 1 এর মান কত?

ক
2x - 1
খ
2x + 1
গ
2x
ঘ
x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - {x - x - (x - 1)} + 1 এর মান কত?

সমাধান:
x - {x - x - (x - 1)} + 1
= x - {x - x - x + 1)} + 1
= x - {- x + 1} + 1
= x + x - 1 + 1
= 2x - 1 + 1
= 2X

৫,৪৩৪.

9p² + 14p এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
49/9
খ
14/9
গ
7/3
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9p² + 14p এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9p² + 14p
(3p)² + 2 . 3p (7/3) + (7/3)² - (7/3)²
{3p + (7/3)}² - 49/9

49/9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে

৫,৪৩৫.

log₂(log₅625) এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
- 1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(log₅625) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(log₅625)
= log₂(log₅5⁴)
= log₂(4log₅5)
= log₂4
= log₂2²
= 2 log₂2
= 2

৫,৪৩৬.

'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
5040
খ
2520
গ
40320
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
'MEDICAL' শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে। এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
∴ 'MEDICAL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 7! = 5040

৫,৪৩৭.

LIVEMCQ শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যার প্রথমে I এবং শেষে L থাকবে?

ক
ক) 120
খ
খ) 720
গ
গ) 5040
ঘ
ঘ) None of them

ব্যাখ্যা

LIVEMCQ শব্দটি সাজানো যাবে যার প্রথমে I এবং শেষে L থাকবে = 5! = 120 প্রকারে.

৫,৪৩৮.

1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

ক
1225
খ
1125
গ
1325
ঘ
1425

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারার শেষ সংখ্যা, n = 49

আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S_n = n (n + 1)/2
= 49 × (49 + 1)/2
= (49 × 50)/2
= 49 × 25
= 1225

৫,৪৩৯.

সমাধান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান কত?

সমাধান:

৫,৪৪০.

- 10x + 3x² + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
বাস্তব ও অসমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
মূলদ ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 10x + 3x² + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
3x² - 10x + 6 = 0 সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 3, b = - 10, c = 6

আমরা জানি,
নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 10)² - 4 × 3 × 6
= 100 - 72
= 28 > 0

যেহেতু, b² - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৫,৪৪১.

5/(m + 1) = 4/(m - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5/(m + 1) = 4/(m - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
5/(m + 1) = 4/(m - 2)
বা, 5m - 10 = 4m + 4
বা, 5m - 4m = 4 + 10
∴ m = 14

৫,৪৪২.

1³ + 2³ + 3³ + ............. + 15³ = কত?

ক
ক) 1440
খ
খ) 14400
গ
গ) 10400
ঘ
ঘ) 10044

ব্যাখ্যা

আমরা জানি
1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ ={n(n + 1)/2}²
1³ + 2³ + 3³ + ............. + 15³ ={15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (120)²
= 14400

৫,৪৪৩.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ - 48 এবং সাধারণ অনুপাত - 1/4 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
192
খ
1/2
গ
- 1/2
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ - 48 এবং সাধারণ অনুপাত - 1/4 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^n-1

দেওয়া আছে,
সাধারণ অনুপাত r = - 1/4
অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ ar^{(2 - 1)} = - 48

প্রশ্নমতে,
ar^{(2 - 1)} = - 48
⇒ ar = - 48
⇒ a × (- 1/4) = - 48
⇒ - (a/4) = - 48
⇒ (a/4) = 48
∴ a = 192

৫,৪৪৪.

4a⁴ - 27a² - 81 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (a + 3)(a + 3)(6a² + 9)
খ
খ) (a + 3)(a - 3)(5a² + 9)
গ
গ) (a + 3)(a - 3)(4a² + 9)
ঘ
ঘ) (a - 3)(a - 3)(4a² + 9)

ব্যাখ্যা

4a⁴ - 27a² - 81
4a⁴ - 36a² + 9a² - 81
4a²(a² - 9) + 9(a² - 9)
= (a² - 9) (4a² + 9)
= (a² - 3²) (4a² + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a² + 9)

৫,৪৪৫.

64 + 32 + 16 + 8 + ...... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/2
খ
3
গ
1
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ...... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে
প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ =arⁿ⁻¹
সপ্তম পদ = 64 × (1/2)⁷⁻¹
= 64×(1/2)⁶
= 64 × (1/64)
= 1

∴ গুণোত্তর ধারা সপ্তম পদ = 1

৫,৪৪৬.

a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 5
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 5
a - b = 3

আমরা জানি
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = 5² - 3²
বা, 4ab = 25 - 9
বা, 4ab = 16
বা, ab = 16/4
ab = 4

৫,৪৪৭.

(1/3)(a + a^-1) = 1 হলে (a³ + a^-3) এর মান কত?

ক
12
খ
16
গ
18
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3)(a + a^-1) = 1 হলে (a³ + a^-3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/3)(a + a^-1) = 1
বা, a + a^-1 = 3
∴ a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a³ + a^-3
= a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a (a + 1/a)
= (3)³ - 3 . 3
= 27 - 9
= 18

৫,৪৪৮.

P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = P ∩ Q হলে, R × Q = ?

ক
{(3, 3), (3, 4)}
খ
{(3, 4), (4, 4)}
গ
{ }
ঘ
{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

ব্যাখ্যা

P = {1, 2, 3},
Q = {3, 4} এবং

এখন, R
= P ∩ Q
= {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}

R × Q
= {3} × {3, 4}
= {(3, 3), (3, 4)}

৫,৪৪৯.

xy = 6 এবং xy² = 12 হলে x = ?

ক
1/2
খ
4
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xy = 6 এবং xy² = 12 হলে x = ?

সমাধান:
xy = 6 ....... (1)
xy² = 12 ....... (2)

(2) নং ÷ (1) নং ⇒
xy²/xy = 12/6
∴ y = 2

এখন,
xy = 6
⇒ x = 6/y
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

৫,৪৫০.

চারজন মহিলা ও ছয়জন পুরুষের মধ্য হতে চার সদস্য বিশিষ্ট একটি উপকমিটি কত প্রকারে গঠন করা যাবে, যাতে একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত হবে?

ক
ক) ১২৬
খ
খ) ২০৮
গ
গ) ৮৪
ঘ
ঘ) ৪২

ব্যাখ্যা

একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভূক্ত হবে
∴ পুরুষ = ৬-১ = ৫
∴ কমিটি গঠনের সম্ভাব্য উপায়গুলো নিম্নরূপঃ (প্রতিবার ১জন বিয়োগ, কারণ আগে থেকে একজন নির্দিষ্ট থাকবে।)

উপায় | পুরুষ(৫) | মহিলা(৪)
i) | ৪-১=৩ | ০
ii) | ৩-১=২ | ১
iii) | ২-১=১ | ২
iv) | ১-১=০ | ৩

∴ কমিটি গঠনের উপায় = (^৫C_৩×^৪C_০)+(^৫C_২×^৪C_১)+(^৫C_১×^৪C_২)+(^৫C_০×^৪C_৩) = ১০+৪০+৩০+৪ = ৮৪।

৫,৪৫১.

একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
3/10
খ
5/7
গ
7/5
ঘ
7/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলিতে মোট বল আছে = (5 + 10 + 20)টি = 35টি
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 10/35 = 2/7

বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/7)
= (7 - 2)/7
= 5/7

৫,৪৫২.

2pq - p² - q² + r² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-

ক
r - p - q
খ
r + p + q
গ
r - p + q
ঘ
- r + p - q

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2pq - p² - q² + r² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-

সমাধান:
2pq - p² - q² + r²
= r² - (p² - 2pq + q²)
= r² - (p - q)²
= (r + p - q) (r - p + q)

৫,৪৫৩.

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

ক
ক) 2 > x > - 5
খ
খ) - 2 < x < 5
গ
গ) 2 < x < 5
ঘ
ঘ) x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

সমাধান:
(x - 2)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 2 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 2 > 0
∴ x > 2

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 2 < x < 5

৫,৪৫৪.

৪, ৬, ৭, এবং ক এর গড় মান ৬.৫ হলে ক এর মান কত?

ক
ক) ৮
খ
খ) ৯
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭, এবং ক এর গড় মান ৬.৫ হলে ক এর মান কত?

সমাধান:
(৪ + ৬ + ৭ + ক)/৪ = ৬.৫
(১৭ + ক )/৪ = ৬.৫
১৭ + ক = ২৬
ক = ২৬ - ১৭
ক = ৯

৫,৪৫৫.

।x - 8। > 6 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
x > 14 অথবা x < 2
খ
x > 8 অথবা x < 7
গ
x > 4 অথবা x < 3
ঘ
x > 3 অথবা x < 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।x - 8। > 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
(x - 8) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
x - 8 > 6
x - 8 + 8 > 6 + 8
x > 14

আবার
(x - 8) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
- (x - 8) > 6
- x + 8 > 6
- x + 8 - 8 > 6 - 8
- x > - 2
(- x)(- 1) < (- 1)(- 2)
x < 2

৫,৪৫৬.

a + b = √13 এবং a - b = √11 হলে 8ab(a² + b²) এর মান কত?

ক
ক) 42
খ
খ) 44
গ
গ) 46
ঘ
ঘ) 48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = √13 এবং a - b = √11 হলে 8ab(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = √13
a - b = √11

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a²+ b²)
= 4ab.2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
={(√13)² - (√11)²}{(√13)² + (√11)²}
= (13 - 11)(13 + 11)
= 2 × 24
= 48

৫,৪৫৭.

5x + 3y - 21 = 0 এবং 2x - y - 4 = 0 হলে, y এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x + 3y - 21 = 0 এবং 2x - y - 4 = 0 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3y - 21 = 0 ......... (1)
2x - y - 4 = 0
⇒ y = (2x - 4) .............. (2)

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
5x + 3(2x - 4) - 21 = 0
⇒ 5x + 6x - 12 - 21 = 0
⇒ 11 - 33 = 0
⇒ 11x = 33
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং এ বসাই,
y =(2 × 3) - 4
⇒ y = 6 - 4
⇒ y = 2

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (3, 2)

৫,৪৫৮.

520 মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

ক
58 টি
খ
54 টি
গ
56 টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 520 মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

সমাধান:
এক পাশের পিলারের সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/অন্তর} + 1
= {(520 - 0)/20} + 1
= 26 + 1
= 27 টি

এখানে পিলারের প্রস্থ ০.৫ মিটার উল্লেখ থাকায় পিলারের প্রস্থকে প্রতি ২০মিটারের সাথে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি প্রস্থ উল্লেখ না থাকত তাহলে পিলারের প্রস্থ উপেক্ষা করা যেত।
১ম পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য ০.৫ মিটার, ২য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হয়, ০.৫ + ২০ + ০.৫ = ২১ মিটার, ৩য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হবে ২১ + ২০ + ০.৫ = ৪১.৫ মিটার। অর্থাৎ, প্রতিটি পিলারের জন্য দৈর্ঘ্য: ২০.৫(n - ১) + ০.৫ [এখানে n হলো পিলারের ক্রম]
২৬ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৬ - ১) + ০.৫ = ৫১৩ মিটার
২৭ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৭ - ১) + ০.৫ = ৫৩৩.৫ মিটার
কিন্তু রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার হওয়ায় ২৭ তম পিলার লাগানোর সুযোগ নেই। অর্থাৎ, ৫২০ মিটার রাস্তায় ২০ মিটার অন্তর ০.৫ মিটার প্রস্থের ২৬টি পিলার লাগানো যায়। উভয় পাশে লাগানো যাবে ২৬ + ২৬ = ৫২টি।

তাই সঠিক উত্তর হবে কোনটিই নয়।

৫,৪৫৯.

5, 9, 4, 1 অঙ্কগুলো দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

ক
ক) 10
খ
খ) 24
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

5, 9, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 9 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
আবার, প্রথম স্থানে 9 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6
সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6+6) = 12.

৫,৪৬০.

দুটি সংখ্যার গুণফল ৪৫ এবং ভাগফল ৫ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৮
গ
গ) ২০
ঘ
ঘ) ২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৪৫ এবং ভাগফল ৫ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

xy = ৪৫
x/y = ৫

সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই,
xy × (x/y) = ৪৫ × ৫
⇒ x² = ২২৫
∴ x = ১৫

বড় সংখ্যাটি ১৫
ছোট সংখ্যাটি = ৪৫/১৫
= ৩

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ১৫ + ৩
= ১৮

৫,৪৬১.

১২টি বিন্দু দিয়ে কত উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে?

ক
২৮০
খ
৫৬০
গ
১১০
ঘ
২২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২টি বিন্দু দিয়ে কত উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে?

সমাধান:
ত্রিভুজ গঠন করতে বিন্দু প্রয়োজন ৩ টি।

অর্থাৎ, ¹²C₃ = 12!/(3!)(9!) = 220 উপায়ে ত্রিভুজ গঠন করা যবে।

৫,৪৬২.

100 + 110 + 120 + 130 +........ এই ধারার 18 তম পদ কত?

ক
200
খ
270
গ
220
ঘ
250

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100 + 110 + 120 + 130 +........ এই ধারার 18 তম পদ কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 100
সাধারণ অন্তর, d = 110 - 100 = 10

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18 তম পদ = 100 + (18 - 1) × 10
= 100 + (17× 10)
= 100 + 170
= 270
∴ 18 তম পদ = 270

৫,৪৬৩.

ক
10/3
খ
5/3
গ
11/3
ঘ
12/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৪৬৪.

মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

ক
13 টি
খ
14 টি
গ
15 টি
ঘ
16 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
∴ 1 টি কলমের দাম= 240/x টাকা

আবার,
1 টি কলম বেশি পেলে 1 টি কলমের দাম হত = 240/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
(240/x) - {240/(x + 1) = 1
⇒ (240x + 240 - 240x)/{x(x + 1)} = 1
⇒ x² + x = 240
⇒ x² + 16x - 15x - 240 = 0
⇒ x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
⇒ (x - 15)(x + 16) = ০
হয় x - 15 = ০ অথবা x + 16 = ০
∴ x = 15 অথবা x = - 16 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ সে 15 টি কলম কিনেছিলো।

৫,৪৬৫.

x + y = 2, x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = ?

ক
8
খ
9
গ
16
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 2, x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2
x² + y² = 4

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 2² = 4 + 2xy
⇒ 4 = 4 + 2xy
⇒ 2xy = 4 - 4
⇒ 2xy = 0
⇒ xy = 0/2
∴ xy = 0

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8

৫,৪৬৬.

3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে -

ক
(- 2, 1)
খ
(1/2, 1)
গ
(2, 1)
ঘ
(1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 7y = 10 এবং 4x - y = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 7y = 10 ........(1)
4x - y = 3 .........(2)

(1) নং কে 1 এবং (2) নং কে 7 দ্বারা গুণ করে পাই,
28x - 7y = 21 .........(3)

এখন, (1) + (3) করে পাই,
31x = 31
∴ x = 1
(2) নং x এ মান বসিয়ে পাই,
4 × 1 - y = 3
∴ y = 1

∴ (x, y) = (1, 1)

৫,৪৬৭.

A,B,C,D বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা -

ক
ক) 6
খ
খ) 12
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

4 টি বর্ণ নিয়ে মোট সাজানোর উপায় = 4!

৫,৪৬৮.

সামির পকেটে ৭টি লাল, ৫টি সবুজ এবং ৪টি নীল মার্বেল আছে। সামি পকেট থেকে কমপক্ষে কতটি মার্বেল বের করলে প্রত্যেক রঙের অন্তত একটি মার্বেল থাকবে?

ক
৭টি
খ
১১টি
গ
১৩টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামির পকেটে ৭টি লাল, ৫টি সবুজ এবং ৪টি নীল মার্বেল আছে। সামি পকেট থেকে কমপক্ষে কতটি মার্বেল বের করলে প্রত্যেক রঙের অন্তত একটি মার্বেল থাকবে?

সমাধান:
মোট মার্বেলের সংখ্যা = ৭ + ৫ + ৪ = ১৬টি
সবথেকে কম মার্বেল আছে ৪টি নীল মার্বেল।

∴ সবথেকে কম রঙের মার্বেল থেকে ১টি এবং বাকি সবগুলো মার্বেল অর্থাৎ ৭ + ৫ + ১ = ১৩টি মার্বেল নেওয়া হলে প্রত্যেক রঙের অন্তত একটি মার্বেল থাকবে।

৫,৪৬৯.

4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক
ক) 210
খ
খ) 304
গ
গ) 84
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

যেহেতু ১ জন পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে তাই ৫+৪ =৯ জন থেকে ৩ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে = ⁹c₃= 84

৫,৪৭০.

APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যখন P গুলো একত্রে থাকবে না?

ক
24
খ
36
গ
48
ঘ
60

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: APPLE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যখন P গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 5টি, যেখানে P আছে ২ বার এবং বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
∴ APPLE শব্দটিকে সাজানো যায় 5!/2! = 60 উপায়ে।

P দুটি নিজেদের মধ্যে 2!/2! = 1 উপায়ে সাজে।

এখন P দুটিকে ১টি অক্ষর বিবেচনা করে মোট অক্ষর হয় 4টি
এই 4 টি অক্ষরকে সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে
∴ P দুটিকে একত্রে রেখে সাজানো যায় 24 × 1 = 24 উপায়ে

∴ P দুটি একত্রে থাকবে না = (60 - 24) = 36 উপায়ে

৫,৪৭১.

কোনো একটি অফিসে জরিপ করে দেখা গেল 5 জন প্রথম আলো, 3 জন ভোরের কাগজ, 7 জন জনকণ্ঠ, 6 জন যুগান্তর পত্রিকা পড়ে। এদের মধ্য হতে একজনকে দৈবভাবে নির্বাচন করলে তিনি যুগান্তর পত্রিকা পড়েন এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/7
খ
2/7
গ
5/7
ঘ
5/21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি অফিসে জরিপ করে দেখা গেল 5 জন প্রথম আলো, 3 জন ভোরের কাগজ, 7 জন জনকণ্ঠ, 6 জন যুগান্তর পত্রিকা পড়ে। এদের মধ্য হতে একজনকে দৈবভাবে নির্বাচন করলে তিনি যুগান্তর পত্রিকা পড়েন এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে পত্রিকা পড়েন মোট = (5 + 3 + 7 + 6) = 21 জন।
যুগান্তর পত্রিকা পড়েন = 6 জন

∴ ঐ ব্যক্তির যুগান্তর পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = 6/21
= 2/7

৫,৪৭২.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 10 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের ছয় গুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্ক দ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 4/95
খ
খ) 85/3
গ
গ) 90/4
ঘ
ঘ) 95/4

ব্যাখ্যা

মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যার দশম স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y।
১ম শর্ত, x + y + 10 = 6x ........(1)
∴ y = 5x - 10 ...........(2)
২য় শর্ত, 10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y + x - 10x - y + 9 = 0
⇒ 9(5x - 10) - 9x + 9 = 0
⇒ 45x -90 - 9x + 9 = 0
⇒ 36x = 81
⇒ x = 81/36 = 9/4
(2) নং থেকে y = 5/4
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = (10 × 9/4) + 5/4 = 95/4

৫,৪৭৩.

যদি একটি সেট A এর উপসেট সংখ্যা ৮টি হয়, তাহলে সেট A তে কয়টি উপাদান আছে?

ক
৩
খ
৮
গ
৪
ঘ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি সেট A এর উপসেট সংখ্যা ৮টি হয়, তাহলে সেট A তে কয়টি উপাদান আছে?

সমাধান:
- কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয়।
- শূন্য সেট বা ফাঁকা সেটকে সকল সেটের উপসেট বলা হয়।
- যেকোনো সেটের উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ

দেওয়া আছে
A এর উপসেট সংখ্যা ৮

এখানে
২ⁿ = ৮
২ⁿ = ২^৩n = ৩

সেট A তে ৩টি উপাদান আছে।

৫,৪৭৪.

একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 9টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে?

ক
ক) 18
খ
খ) 36
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 42

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 9টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে?

সমাধান:
প্রতিটি খেলার জন্য 9টি দল থেকে 2টি দল নির্বাচন করতে হবে

মোট খেলার সংখ্যা = ⁹C₂ = 36

৫,৪৭৫.

(log₅√5 ÷ log₅5) × 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log₅√5/log₅5) × 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(log₅√5/log₅5) × 2
= (log₅5^1/2/log₅5) × 2
= (1/2) × (log₅5/log₅5) × 2
= (1/2) × 2
= 1

৫,৪৭৬.

p + q = 5 এবং pq = 6 হলে, p³ + q³ এর মান কত?

ক
35
খ
45
গ
55
ঘ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = 5 এবং pq = 6 হলে, p³ + q³ এর মান কত?

সমাধান:
p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q)
= 5³ - 3 . 6 . 5
= 125 - 90
= 35

৫,৪৭৭.

2^x + 2^{2 - x} = 5 হলে, x = কত?

ক
ক) (1 , 0)
খ
খ) (0 , 2)
গ
গ) (2 , 1)
ঘ
ঘ) (3 , 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^x + 2^{2 - x} = 5 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^x + 2^{2 - x}= 5
⇒ 2^x + (2²/2^x )= 5
⇒ a + (4/a) = 5 [ ধরি 2^x= a ]
⇒ a² + 4 = 5a
⇒ a² - 5a + 4 = 0
⇒ a² - 4a - a + 4 = 0
⇒ a(a - 4) -1(a - 4) = 0
∴ (a - 1) (a - 4) = 0

এখন,
a - 1 = 0
⇒ a = 1
⇒ 2^x = 1
⇒ 2^x = 2⁰
∴ x = 0

আবার,
a - 4 = 0
⇒ a = 4
⇒ 2^x = 4
⇒ 2^x = 2²
∴ x = 2

∴ x = (0 , 2)

৫,৪৭৮.

যদি (x - 7)(a + x) = x² - 49 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
7
খ
- 7
গ
49
ঘ
- 49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - 7)(a + x) = x² - 49 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 7)(a + x) = x² - 49
⇒ (x - 7)(a + x) = (x - 7)(x + 7)
⇒ a + x = x + 7
∴ a = 7

৫,৪৭৯.

∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(5, ∞)
খ
(- ∞, 5) ∪ (2 , ∞)
গ
(- ∞,- 7) ∪ (3, ∞)
ঘ
(3, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
∣x + 2∣ > 5
x + 2 কে ধনাত্মক ধরে,
x + 2 > 5
⇒ x > 5 - 2
⇒ x > 3

আবার,
x + 2 কে ঋণাত্মক ধরে,
- (x + 2) > 5
⇒ x + 2 < - 5
⇒ x < - 5 - 2
⇒ x < - 7

অসমতার সমাধান = x < - 7 অথবা x > 3
অর্থাৎ x এর মান - ∞ থেকে - 7 পর্যন্ত অথবা 3 থেকে ∞ পর্যন্ত

সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট =
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)

৫,৪৮০.

একটি ঝুড়িতে ৪টি লাল, ৭টি সবুজ এবং ৯টি নীল বেলুন আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বেলুন তুললে সেটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩/৫
খ
৭/১২
গ
২/৫
ঘ
৪/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৪টি লাল, ৭টি সবুজ এবং ৯টি নীল বেলুন আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বেলুন তুললে সেটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ঝুড়িতে মোট বেলুনের সংখ্যা = (৪ + ৭ + ৯) = ২০ টি

লাল বেলুনের সংখ্যা = ৪ টি
বেলুনটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = লাল বেলুনের সংখ্যা/মোট বেলুনের সংখ্যা
= ৪/২০
= ১/৫

আমরা জানি, কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল ১ হয়।

সুতরাং, বেলুনটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - লাল হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - ৪/২০
= (২০ - ৪)/২০
= ১৬/২০ = ৪/৫

অতএব, বেলুনটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫।

৫,৪৮১.

যদি g(x) = 7 - 3x এবং g(2m) = g(m + 2) হয়, তবে g(m) = ?

ক
1
খ
- 2
গ
4
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি g(x) = 7 - 3x এবং g(2m) = g(m + 2) হয়, তবে g(m) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(2m) = g(m + 2)
এবং g(x) = 7 - 3x

∴ g(2m) = 7 - 3(2m)
= 7 - 6m

∴ g(m + 2) = 7 - 3(m + 2)
= 7 - 3m - 6
= 1 - 3m

প্রশ্নমতে,
7 - 6m = 1 - 3m
⇒ 6m - 3m = 7 - 1
⇒ 3m = 6
⇒ m = 6/3
⇒ m = 2

∴ g(m) = 7 - 3(2)
= 7 - 6
= 1

৫,৪৮২.

27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 27 × 27 × 27 = 3^x
⇒ 3³ × 3³ × 3³ = 3^x
⇒ 3^{(3 + 3 + 3)} = 3^x
⇒ 3⁹ = 3^x
∴ x = 9

৫,৪৮৩.

15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

ক
1365
খ
1260
গ
1450
ঘ
1600

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15 টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজ গঠন করতে 4টি বিন্দুর প্রয়োজন হয়।
এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা, n = 15
∴ ১৫ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা = ¹⁵C₄= 15!/{4! × (15 - 4)!}
= 15!/(4! × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 11!)
= (15 × 14 × 13 × 12)/(4 × 3 × 2 × 1)
= (15 × 14 × 13 × 12)/24
= 32760/24
= 1365

৫,৪৮৪.

2x + 5y = 7 এবং xy = 5, তাহলে (5/x) + (2/y) = ?

ক
1/5
খ
2/5
গ
7/3
ঘ
7/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 5y = 7 এবং xy = 5, তাহলে (5/x) + (2/y) = ?

সমাধান:
(1/xy)(2x + 5y) = (1/5) × 7
⇒ (1/xy × 2x) + (1/xy × 5y) = 7/5
⇒ 2/y + 5/x = 7/5
⇒ 5/x + 2/y = 7/5

৫,৪৮৫.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
(6, 5)
খ
(5, 7)
গ
(7, 4)
ঘ
(7, 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61 ..........(¡)
x² - y² = 11 ..........(¡¡)
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6

(¡) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5) ।

৫,৪৮৬.

১ + ৫ + ৯ + ...... + ৪৯ ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

ক
১৩
খ
১৪
গ
১৫
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ...... + ৪৯ ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ = ১
শেষ পদ = ৪৯
সাধারন অন্তর = ৫ - ১ = ৪

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারন অন্তর } + ১
= {(৪৯ - ১)/৪} + ১
= ১২ + ১
= ১৩

৫,৪৮৭.

x + 2y = 8, 2x + y = 7 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
ক) 8, 0
খ
খ) 6, 1
গ
গ) 3, 3
ঘ
ঘ) 2, 3

ব্যাখ্যা

এখানে
x + 2y = 8............. (1)
2x + y = 7.............(2)

(2)নং × 2 - (1)নং ⇒
4x + 2y - x - 2y = 14 - 8
3x = 6
x= 2

(1)নং সমীকরণ থেকে পাই
2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

৫,৪৮৮.

উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে কি বলে?

ক
গড় ব্যবধান
খ
পরিসর
গ
পরিমিত ব্যবধান
ঘ
শ্রেণী ব্যবধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে কি বলে?

সমাধান:
- উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে পরিসর বলে।
- শ্রেণী ব্যবধান বলতে তথ্যের সেটকে বিভিন্ন শ্রেণীতে ভাগ করার সময় প্রতিটি শ্রেণীর সীমার মধ্যবর্তী পার্থক্যকে বোঝায়।
- একটি শ্রেণী বা গ্রুপের নিম্ন সীমা এবং উচ্চ সীমার মধ্যকার পার্থক্যকে পরিমিতি ব্যবধান বলে।

৫,৪৮৯.

5x + 8y = 32
30x + 48y = 160
সমীকরণ জোটটির কয়টি সমাধান আছে?

ক
1টি
খ
2টি
গ
অসংখ্য
ঘ
কোন সমাধান নেই

ব্যাখ্যা

x এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত = 5/30 = 1/6
y এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত = 8/48 = 1/6
ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত = 32/160 = 1/5
যেহেতু 1/6 = 1/6 ≠ 1/5
সুতরাং, সমীকরণ জোটটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
অতএব, সমীকরণটির কোন সমাধান নাই।

৫,৪৯০.

p - q = r হলে, p³ - q³ - r³= কত?

ক
ক) 3pq
খ
খ) 3qr
গ
গ) 3pr
ঘ
ঘ) 3pqr

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p - q = r হলে, p³ - q³ - r³= কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - q = r

p³ - q³ -r³
= (p -q)³ + 3pq(p - q) - r³
= r³ + 3pqr - r³
= 3pqr

৫,৪৯১.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
8
খ
6
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 64 এবং সপ্তম পদটি 512 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

চতুর্থ পদ = 64
∴ ar^{4 - 1} = 64
⇒ ar³ = 64 ......(1)

সপ্তম পদ = 512
∴ ar⁶ = 512 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী,
ar⁶/ar³ = 512/64
⇒ r^{6 - 3} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2³ = 64
⇒ a = 64/8
⇒ a = 8

∴ প্রথম পদ হলো 8

৫,৪৯২.

যদি x + 1/x = 2 হয়, তবে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তবে x³ + (1/x)³এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

আমরা জানি,
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2)³ - 3 × 2
= 8 - 6
= 2

৫,৪৯৩.

4 + 12 + 36 + …………গুণোত্তর ধারাটির সাতটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 4374
খ
খ) 4372
গ
গ) 3210
ঘ
ঘ) 2347

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = a(rⁿ - 1)/(r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি s₇ = 4(3⁷ - 1)/(3 - 1)
s₇ = 4372

৫,৪৯৪.

15x²y⁴ কে 4x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে?

ক
15x³y⁷
খ
70x⁴y⁷
গ
80x⁴y⁷
ঘ
60x⁴y⁷

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15x²y⁴ কে 4x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে?

সমাধান:
15x²y⁴ × 4x²y³
= (15 × 4) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (15 × 4) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 60x⁴y⁷ [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x⁴y⁷

৫,৪৯৫.

পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 11 < x < - 3

ক
।x - 5। < 1
খ
।x + 2। < 1
গ
।x - 6। < 2
ঘ
।x + 7। < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 11 < x < - 3

সমাধান:
- 11 < x < - 3
∴ গড় = {(- 11) + (- 3)}/2
= - 14/2
= - 7

∴ - 11 + 7 < x + 7 < - 3 + 7
⇒ - 4 < x + 7 < 4
⇒ ।x + 7। < 4

৫,৪৯৬.

যদি a³- b³ = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক
54
খ
45
গ
47
ঘ
51

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a³- b³ = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ - b³ = 513 এবং
a - b = 3

আমরা জানি,
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
বা, 3³ = 513 - 3ab(3)
বা, 27 = 513 - 9ab
বা, 9ab = 513 - 27
বা, 9ab = 486
বা, ab = 486/9
∴ ab = 54

৫,৪৯৭.

যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে 5^x = কত?

ক
1
খ
5
গ
1/5
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে 5^x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}

⇒ (5²)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}

⇒ 5^{4x + 6} = 5^{3x + 6}

∴ 4x + 6 = 3x + 6

⇒ 4x - 3x = 6 - 6

∴ x = 0

∴ 5^x = 5⁰ = 1

৫,৪৯৮.

17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

ক
65
খ
- 95
গ
- 105
ঘ
45

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3
n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 7
⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7
⇒ 17 - 3n + 3 = - 7
⇒ 20 - 3n = - 7
⇒ 3n = 20 + 7
⇒ 3n = 27
⇒ n = 27/3
⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}
= (9/2){34 - 24}
= (9/2)(10)
= (9/2) × 10
= 45

৫,৪৯৯.

x³ - 6x² + 12x - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

ক
(x + 3)(x² - 3x)
খ
(x - 3)(x² + 3x)
গ
(x + 3)(x² + 3x - 3)
ঘ
(x - 3)(x² - 3x + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 12x - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 6x² + 12x - 9
= x³ - 3 ⋅ x² ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 2² - 2³ - 1
= (x - 2)³ - 1
= (x - 2)³ - 1³
= (x - 2 - 1){(x - 2)² + (x - 2) ⋅ 1 + 1²)}
= (x - 3){x² - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2² + x - 2 + 1)
= (x - 3){x² - 4x + 4 + x - 2 + 1)
= (x - 3)(x² - 3x + 3)

৫,৫০০.

{2^{n + 4} - 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3}) এর মান কত?

ক
7/8
খ
5/8
গ
3/8
ঘ
2/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {2^{n + 4} - 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3}) এর মান কত?

সমাধান:
{2^{n + 4}- 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3})
= (2^{n + 4} - 2^{n + 1})/2^{n + 4}
= (2^{n + 4}/2^{n + 4}) - (2^{n + 1}/2^{n + 4})
= 1 - 2^{(n + 1) - (n + 4)}
= 1 - 2^{- 3}
= 1 - 1/8
= 7/8