বীজগণিত

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x + 2| < 5 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
|3x + 2| < 5
⇒ - 5 < 3x + 2 < 5
⇒ - 5 - 2 < 3x + 2 - 2 < 5 - 2
⇒ - 7 < 3x < 3
⇒ - 7/3 < 3x/3 < 3/3
⇒ - 7/3 < x < 1

5¹² + 5¹³ = 5¹² + 5¹².5¹ = 5¹²(1 + 5) = 6.(5¹²)

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং প্রথম 49 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = 49(49+1)/2
= 49 × 50/2
= 49 × 25
= 1225
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

^{প্রশ্ন:} a^a√a = (a√a)^a হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
a^a√a = (a√a)^a
⇒ (a^a)^√a = (a.a^1/2)^a
⇒ (a^a)^√a = {a^{1 + (1/2)}}^a
⇒ (a^a)^√a = (a^3/2)^a
⇒ (a^a)^√a = (a^a)^3/2
⇒ √a = 3/2
⇒ (√a)² = (3/2)² 
∴ a = 9/4

প্রশ্ন: Z = {x ∈ N : x ≤ 4} হলে, P(Z) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 এর সমান বা ছোট।
Z = {1, 2, 3, 4}
∴ Z সেটে উপাদান সংখ্যা = 4

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(Z) = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 2 বার।
3 আছে 3 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 3 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (3 বার),
∴ 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 3

প্রথম রাশি, a + b = (a + b),
দ্বিতীয় রাশি, a² - b² = (a + b)(a - b),
তৃতীয় রাশি, a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

∴ ল.সা.গু = (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)
= (a - b)(a³ + b³)

১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = 5 - 1 = 4
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 1 + (n-1) × 4
⇒ 89 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 92
⇒ n = 23
সমষ্টি S_n = n/2 {2a + (n-1)d}
= 23/2 {2×1 + (23 -1) × 4}
= 23/2 × 90
= 1035

প্রশ্ন: (p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(p + 10)(p + 12) - 63
= p² + 12p + 10p + 120 - 63
= p² + 22p + 57
= p² + 19p + 3p + 57
= p(p + 19) + 3(p + 19)
= (p + 19)(p + 3)

a²-ab+b²
= a²+2ab+b² - 3ab
= (a+b)² - 3ab
= 3² - 3*1
= 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16 

∴ একটি সংখ্যা = 16 
এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4
= 20

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.

5টি আঙ্গুলে 7টি আংটি পরানো যেতে পারে = 5⁷ উপায়ে = 78125

দেওয়া আছে, a³ = 343
বা, a³ = 7³
বা, a = 7

প্রশ্ন: x² - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

 সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 8x + 16 = 0
এখানে, a = 1, b = - 8 এবং c = 16

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 8)² - 4 × 1 × 16
= 64 - 64
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
- যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
- যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

এখানে, x - y = m + n + 9
এবং     x + y = m - n - 3
'+' করে,   2x = 2m + 6
বা, x = m + 3
∴ x - m = 3

এখানে a = 27 এবং
r =9/ 27 = 1/3,
সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1}
= 27×(1/3) ^{5 - 1}
= 27 × (1/3)⁴ 
= 27/81
= 1/3

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀10 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5 × (5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

ধরি, প্রকৃত দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
(x + 20)/14 = x/10
14x = 10x + 200
4x = 200
x = 50

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি, n তম পদ = 383
∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 2n - 2 = 382
⇒ 2n = 384
∴ n = 192

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = x² - 7x + 12
এবং f(x) = 0

এখন,
x² - 7x + 12 = 0 
⇒ x² - 3x - 4x + 12 = 0
= x(x - 3) - 4(x - 3) = 0
= (x - 3)(x - 4) = 0

অর্থাৎ, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অথবা, (x - 4) = 0
∴ x = 4

⇒ x = 3, 4

প্রশ্ন: 7 থেকে 28 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
7 থেকে 28 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো,
7, 11, 13, 17, 19, 23
মোট মৌলিক সংখ্যা = 6

7 থেকে 28 পর্যন্ত মোট সংখ্যা, 
= 28 - 7 + 1
= 22

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 6/22 
= 3/11

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 3/11 

• আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোর মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক।
• যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।
• সেক্ষেত্রে ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = (১১+১)/২ = ৬ তম পদের মান।
• সুতরাং উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ৮।

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ................ ধারাটির 15-তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

সমান্তর ধারার n তম পদের সূত্র: 
a_n = a + (n - 1)d
a₁₅ = a + (15 - 1)d
= 1 + (15 - 1) × 4
= 1 + 14 × 4
= 1 + 56  
= 57 

∴ ধারাটির 15-তম পদ 57.

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, 25 ............. সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা নীচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া সংখ্যা সিরিজ: 1, 4, 9, 16, 25, ...

প্রতিটি সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:
1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5² 
তাই পরবর্তী সংখ্যা = 6² = 36

∴পরবর্তী সংখ্যা হলো 36

প্রশ্ন: A এবং B দুটি ঘটনা যেখানে P(A) = 3/8, P(B) = 1/2 এবং P(A ∩ B) = 1/4 হয়, তবে  P(A̅ ∩ B̅) = ?

সমাধান:
P(A) = 3/8
P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি, 
P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

∴ P(A ∪ B) = (3/8) + (1/2) - (1/4)
⇒ P(A ∪ B) = (3 + 4 - 2)/8
⇒ P(A ∪ B) = 5/8

∴ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - (5/8)
⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (8 - 5)/8 = 3/8

-7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23

পঞ্চম পদ, a + (5 - 1)d = - 15
Therefore, a + 4d = - 15
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি
= 9/2{2a + (9 - 1)d}
= 9/2(2a + 8d)
= 9(a + 4d)
= 9*(- 15)
= - 135

প্রশ্ন: (x² - 8x + 15) ও (x² - 10x + 21) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম উৎপাদক, 
x² - 8x + 15
= x² - 5x - 3x + 15
= x(x - 5) - 3(x - 5)
= (x - 5)(x - 3)

দ্বিতীয় বহুপদী,
x² - 10x + 21
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক: (x - 3)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(4x/5) - (2x/3) = 12
বা, (12x - 10x)/15 = 12
বা, 12x - 10x = 180
বা, 2x = 180
বা, x = 180/2
∴ x = 90

∴ সংখ্যাটি = 90  ।

প্রশ্ন: যদি 5^{x - 2} = 1/125 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{x - 2} = 1/125
⇒ 5^{x - 2} = 5 ^{- 3}
⇒ x - 2 = - 3
⇒ x = - 3 + 2
⇒ x = - 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: log₃(1/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^-3
= - 3 log₃3
= - 3 × 1
= - 3

প্রশ্ন: a - b = 3, ab = 4 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
a - b = 3
ab = 4

আমরা জানি
(a - b)² = a² + b² - 2ab
3² = a² + b² - 2 × 4
9 + 8 =  a² + b²
 a² + b² = 17

প্রশ্ন: 28 + 25 + 22 + ...... - 23 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 28
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 28 = - 3 
এবং শেষ পদ, l = - 23

আমরা জানি,
ধারার n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d
28 + (n - 1)(- 3) = - 23
⇒ 28 - 3(n - 1) = - 23
⇒ - 3(n - 1) = - 23 - 28 
⇒ - 3(n - 1) = - 51
⇒ 3(n - 1) = 51
⇒ n - 1 = 17
∴ n = 18

ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (18/2) × (28 + (- 23))
= 9 × (28 - 23)
= 9 × 5
= 45

প্রশ্ন: যদি |x + ৩| ≤ ৮ হয়, তবে x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + ৩ | ≤ ৮
বা, - ৮ ≤ x + ৩ ≤ ৮
বা, - ৮ - ৩ ≤ x + ৩ - ৩ ≤ ৮ - ৩
বা, - ১১ ≤ x ≤ ৫
এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - ১১
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = ৫

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, P ∪ Q = কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, P ∪ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

বহুভুজের কৌণিক বিন্দু = n
3টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা = ⁿc₃
= n!/3!(n - 3)!
=n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!/6(n - 3)!
= n(n -1)(n - 2)/6

3^x+3^x+3^x
= 3.3^x
= 3^x.3
= 3^x+1