লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫০ / ২০১ · ৪,৯০১–৫,০০০ / ২০,২০৭

৪,৯০১.
x2 + xy + yz - z2 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + y + z
  2. খ
    খ) x - y - z
  3. গ
    গ) x - z
  4. ঘ
    ঘ) x + z
ব্যাখ্যা

x2 + xy + yz - z2
= (x2 - z2) + xy + yz
= (x + z)(x - z) + y(x + z)
= (x + z)(x + y - z)

৪,৯০২.
p3 - 6p2 + 11p - 6 এর উৎপাদক নয় নিচের কোনটি?
  1. ক
    p - 1
  2. খ
    p + 1
  3. গ
    p - 2
  4. ঘ
    p - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p3 - 6p2 + 11p - 6 এর উৎপাদক নয় নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
p3 - 6p2 + 11p - 6
= p3 - p2 - 5p2 + 5p + 6p - 6
= p2(p - 1) - 5p(p - 1) + 6(p - 1)
= (p - 1)(p2 - 5p + 6)
= (p - 1)(p2 - 3p - 2p +6)
= (p - 1){p(p - 3) - 2(p - 3)}
= (p - 1)(p - 2)(p - 3)
৪,৯০৩.
যদি a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    28
  2. খ
    35
  3. গ
    65
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13
এখন,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 52 = 13 + 2ab
⇒ 25 = 13 + 2ab
⇒ 25 - 13 = 2ab
⇒ 12 = 2ab
⇒ ab = 6

∴ a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
⇒ a3 + b3 = (5)3 - 3(6)(5)
⇒ a3 + b3 = 125 - 90
∴ a3 + b3 = 35

৪,৯০৪.
মনে করুন রাত 11:59 মিনিটে বাইরে তুমুল ঝড় বৃষ্টি হচ্ছে। ঠিক 72 ঘণ্টা পর রৌদ্রজ্জ্বল আবহাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 50%
  2. খ
    খ) 100%
  3. গ
    গ) 0%
  4. ঘ
    ঘ) 25%
ব্যাখ্যা
রাত 11:59 মিনিটের ঠিক 72 ঘণ্টা পর রাত 11:59 মিনিটই আসবে। সুতরাং রাত্রের বেলায় রৌদ্রজ্জ্বল আবহাওয়ার সম্ভাবনা শূন্য।
৪,৯০৫.
93 × 812 ÷ 274 = 3?
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 93 × 812 ÷ 274 = 3?

সমাধান:
ধরি,
93 × 812 ÷ 274 = 3a
⇒ (32)3 × (34)2 ÷ (33)4  = 3a
⇒ 36 × 38 ÷ 312 = 3a
⇒ 36 + 8 - 12 = 3a
⇒ 32 = 3a
∴ a = 2
৪,৯০৬.
যদি nPr = 3024 এবং nCr = 126  হয়, তাহলে n এবং r এর মান কত?
  1. ক
    9, 4
  2. খ
    10, 3
  3. গ
    12, 4
  4. ঘ
    11, 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nPr = 3024 এবং nCr = 126  হয়, তাহলে n এবং r এর মান কত?

সমাধান:

∴ n = 9, r = 4
৪,৯০৭.
(81) × (√3)2x = 1 হলে, x = কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (81) × (√3)2x = 1 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
81 × (√3)2x = 1
⇒ 34 × (31/2)2x = 1
⇒ 34 × 3x = 1
⇒ 3x + 4 = 30
⇒  x + 4 = 0
⇒ x = - 4

৪,৯০৮.
x এর মান কত হলে
  1. ক
    5
  2. খ
    4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর মান কত হলে  হবে? 

সমাধান: 

বা, (√5)x + 1 = (51/3)2x - 1 
বা, 5(x + 1)/2 = 5(2x - 1)/3
বা, (x + 1)/2 = (2x - 1)/3
বা, 4x - 2 = 3x + 3
বা, 4x - 3x = 3 + 2
∴ x = 5
৪,৯০৯.
4 + 12 + 36 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 4372?
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 4372?

সমাধান:
ধরি,
4 + 12 + 36 + ..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 4372।

এখানে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 4372
⇒ a{(rn - 1)/(3 - 1)} = 4372
⇒ 4 × {(3n - 1)/2} = 4372
⇒ 2 × (3n - 1) = 4372
⇒ 3n - 1 = 2186
⇒ 3n = 2186
⇒ 3n = 2186 + 1
⇒ 3n = 2187
⇒ 3n = 37
∴ n = 7
৪,৯১০.
3x - 5y = - 9 , 5x - 3y = 1 সমীকরণদ্বয়ের (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    (1,3)
  2. খ
    (3,2)
  3. গ
    (3,3)
  4. ঘ
    (2,3)
ব্যাখ্যা
3x - 5y = - 9 ............. (1)
5x - 3y = 1 ..............(2)
 
(1)নং × 3 - (2)নং × 5⇒
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5 
- 16x = - 32
x = - 32/- 16
x = 2

(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
3 × 2 -  5y = - 9
6 - 5y = - 9
- 5y = - 9 - 6 
- 5y = - 15
y =- 15/- 5
y = 3 

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2,3)
৪,৯১১.
x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, x = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, xy = 2
∴ y = 2/x
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.2/x = 4
⇒ x + 4/x = 4
⇒ x2 + 4 = 4x
⇒ x2 - 4x + 4 = 0
⇒ (x - 2)2 = 0
∴ x = 2

৪,৯১২.
a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে, a4 + b4 এর মান কত?
  1. ক
    85
  2. খ
    97
  3. গ
    110
  4. ঘ
    127
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে, a4 + b4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
a2 + b2 = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি = a4 + b4
= (a2)2 + (b2)2
= (a2 + b2)2 - 2a2b2
= (a2 + b2)2 - 2(ab)2
= 132 - 2 × 62
= 169 - 72
= 97

৪,৯১৩.
x + 3y = 7
5x + 15y = 35
উপরের সমীকরণ জোটটির কয়টি সমাধান আছে?
  1. ক
    ১
  2. খ
    ২
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    কোন সমাধান নাই
ব্যাখ্যা

এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ১ / ৫ = ১ / ৫
এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ৩/ ১৫ = ১ / ৫
ধ্রুবক পদ দ্বয়ের অনুপাত = ৭ / ৩৫ = ১ / ৫
অতএব সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। কাজেই এর অসংখ্য সমাধান আছে।

৪,৯১৪.
a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)2 =?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b + ab2 = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)2 =?

সমাধান: 
2ab = 20
⇒ ab = 20/2
⇒ ab = 10

a2b + ab2 = 70
⇒ ab(a + b) = 70
⇒ 10(a + b) = 70
∴ a + b = 7

(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= 72 - 4 × 10
= 49 - 40
= 9
৪,৯১৫.
a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    30
  3. গ
    35
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 53 - 3 ⋅ 6 ⋅ 5
= 125 - 90
= 35
৪,৯১৬.
i3 + i + 1 = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    i
  4. ঘ
    - i
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  i3 + i + 1 = কত?

আমরা জানি, 
i2 = - 1
i3 = i2.i = (- 1). i = - i 

এখন 
i3 + i + 1
= - i + i + 1
= 1
৪,৯১৭.
5 + x + y + 625 + ................. গুণোত্তর ধারাটির x পদের মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 125
  4. ঘ
    ঘ) 1/25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 + x + y + 625 + ................. গুণোত্তর ধারাটির x পদের মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
৪র্থ পদ ar4 -1 = 625
বা ar3 = 625 ......... (i)

প্রথম পদ, a = 5 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar3/a = 625/5
r3 = 125
r3 = 53
∴ r = 5
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 5
২য় পদ x  = 5 × 5 = 25
৪,৯১৮.
একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে A স্টেশন থেকে B স্টেশনে পৌছালো। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগতো। দুই স্টেশনের দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 25 কি.মি.
  2. খ
    খ) 22 কি.মি.
  3. গ
    গ) 30 কি.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 35 কি.মি.
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
দুই স্টেশনের দূরত্ব = x  কি.মি.

প্রশ্নমতে 
(x/25) - (x/ 30) = 10/60
(6x - 5x)/150 = 1/6
x/150 = 1/6
x = 150/6 
x = 25
৪,৯১৯.
x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -
  1. ক
    - 3, - 4
  2. খ
    3, - 4
  3. গ
    -3, 4
  4. ঘ
    3, 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -

সমাধান:
x2 - x - 12 = 0
⇒ x2 - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x + 3)(x - 4) = 0

হয়, x + 3 = 0 
বা, x = - 3

অথবা, x - 4 = 0
বা, x = 4

∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 3, 4
৪,৯২০.
20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    280
  2. খ
    540
  3. গ
    380
  4. ঘ
    460
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
20 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 20C1 = 20

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 20 - 1 = 19  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = 19C1 = 19

∴ মোট উপায় = 20 × 19 = 380

সুতরাং, ৩৮০ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

৪,৯২১.
1 + 3 + 5 + 7 + ............... ধারাটির প্রথম 30টি পদের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    ক) 900
  2. খ
    খ) 950
  3. গ
    গ) 980
  4. ঘ
    ঘ) 990
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

প্রথম 30টি পদের সমষ্টি S = (n/2){2a+(n-1)d}
                                      = (30/2){2×1+(30 -1)×2}
                                       = 15 × (2 + 58)
                                       =15 × 60
                                       =900
৪,৯২২.
একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 27 সে.মি.
  2. খ
    খ) 28 সে.মি.
  3. গ
    গ) 25 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 24 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x2 + 3x = 810
⇒ x2 + 3x - 810 = 0
⇒ x2 + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয় 
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা 
x - 27 = 0
∴ x = 27 

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার
৪,৯২৩.
a - b = 5 এবং ab = 14 হলে, a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    - 85
  2. খ
    90
  3. গ
    335
  4. ঘ
    104
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 14 হলে, a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 5
এবং ab = 14

প্রদত্ত রাশি = a3 - b3
= (a - b)3 + 3ab(a - b)
= 53 + 3 · 14 · 5
= 125 + 210
= 335
৪,৯২৪.
x4-5x³+7x²-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, a এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
ধরি, f(x) = x4-5x³+7x²-a
যেহেতু (x-2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x-2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।
এখন f(x) = x4-5x³+7x²-a
∴ f(2) = 24-5.2³+7.2²-a
= 4-a
শর্তমতে, f(2) = 0
বা, 4-a = 0
∴ a = 4.
৪,৯২৫.
nP4 = 14 × n - 2P3 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    8 এবং 9
  2. খ
    7 এবং 8
  3. গ
    5 এবং 6
  4. ঘ
    7 এবং 4
ব্যাখ্যা
nP4 = 14 × n - 2P3 
n!/(n - 4)! = 14 × (n - 2)! /(n - 2 - 3)!
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)! /(n - 4)! =14 × {(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)! /(n - 5)!}
n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = 14 × (n - 2)(n - 3)(n - 4)
n(n - 1) = 14 ×(n - 4)
n2 - n = 14n - 56
n2 - n  - 14n + 56 = 0
n2 - 15n + 56 = 0
n2 - 8n - 7n + 56 = 0 
n(n - 8) - 7 (n - 8) = 0
(n - 8)(n - 7) = 0 
n = 7, 8
৪,৯২৬.
logx5 + logx25 + logx125 + logx625 = 10 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/5
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    5
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logx5 + logx25 + logx125 + logx625 = 10 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
logx5 + logx25 + logx125 + logx625 = 10
⇒ logx(5 × 25 × 125 × 625) = 10
⇒ logx(51 × 52 × 53 × 54) = 10
⇒ logx(510) = 10
⇒ 10 logx5 = 10
⇒ logx5 = 1
∴ x = 5
৪,৯২৭.
দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল 400 এবং তাদের সমষ্টি 41, তাদের পার্থক্যের বর্গমূল কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল 400 এবং তাদের সমষ্টি 41, তাদের পার্থক্যের বর্গমূল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y.

প্রশ্নমতে,
x + y = 41
এবং xy = 400
⇒ y = 400/x

এখন,
x + 400/x = 41
⇒ (x2 + 400)/x = 41
⇒ x2 + 400 = 41x
⇒ x2 - 41x + 400 = 0
⇒ x2 - 25x - 16x + 400 = 0
⇒ x(x - 25) - 16(x - 25) = 0
⇒ (x - 25) (x - 16) = 0

অর্থাৎ সংখ্যা দুটি হবে 25 এবং 16
তাদের পার্থক্যের বর্গমূল = √(25 - 16) = √9 = 3
৪,৯২৮.
√(x + 3) = √x + √3 হলে x = ?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 3
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √(x + 3) = √x + √3 হলে x = ?

সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
⇒ x + 3 = x + 3 + 2√(3x)
⇒ 2√(3x) = 0
⇒ √(3x) = 0
⇒ 3x = 0
∴ x = 0
৪,৯২৯.
5√5 × 53 ÷ 5- 3/2 = 5a + 2 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5√5 × 53 ÷ 5- 3/2 = 5a + 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
5√5 × 53 ÷ 5- 3/2 = 5a + 2
বা, (51 × 51/2× 53)/5- 3/2 = 5a + 2
বা, 51 + (1/2) + 3 + (3/2) = 5a + 2
বা, 5(2 + 1 + 6 + 3)/2 = 5a + 2
বা, 5(12/2) = 5a + 2
বা, 56 = 5a + 2
বা, a + 2 = 6
বা, a = 6 - 2
∴ a = 4
৪,৯৩০.
একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে বসলে 8 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?
  1. ক
    24
  2. খ
    26
  3. গ
    28
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে বসলে 8 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = x টি

১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3(x - 6) জন = 3x - 18 জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 2x +8 জন

∴ 3x - 18 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 + 18
⇒ x = 26
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 26 টি।
৪,৯৩১.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 1। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 121। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 34 
  2. খ
    খ) 76 
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 65 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 1। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 121। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
একক স্থানীয় অংক = x 
দশক স্থানীয় অংক = x + 1

সংখ্যাটি = 10(x + 1) + x
= 10x + 10 + x
= 11x + 10

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় = 10x + x + 1 
= 11x + 1

প্রশ্নমতে,
11x + 10 + 11x + 1 = 121 
22x + 11 = 121 
22x = 121 - 11
22x = 110
x = 110/22
x = 5

সংখ্যাটি = 11 × 5  + 10
= 55 + 10 
 = 65 
৪,৯৩২.
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারন অনুপাত কত?
  1. ক
    -1/2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    -1/4
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
n তম পদ = arn-1
দ্বিতীয় পদ = -48
ar = -48 ..........(1)
৫ম পদ = 3/4
ar4 = 3/4 ..........(2)
(2) ÷ (1) ⇒
r3 = -1/64
∴ r = -1/4
৪,৯৩৩.
loga√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
loga√216 = 3/2
⇒ a(3/2) = √216
⇒ (a3/2)2 = (√216)2
⇒ a3 = 216
⇒ a3 = 63
∴ a = 6
৪,৯৩৪.
x3 + 2x2y - xy + y2 - 5 এর পদসংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    7টি
  2. খ
    5টি 
  3. গ
    3টি
  4. ঘ
    6টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + 2x2y - xy + y2 - 5 এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
দেওয়া বহুপদী, 
x3 + 2x2y - xy + y2 - 5
প্রতিটি পদ আলাদা করে দেখি, 
x3, 2x2y, - xy, y2, - 5

সুতরাং, এখানে 5টি পদ আছে। 

৪,৯৩৫.
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log264
= log226
= 6 log22  [logaa = 1]
= 6
৪,৯৩৬.
দৈবভাবে একটি দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা বাছাই করা হলে সেটি 18 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    2/45
  2. খ
    4/15
  3. গ
    1/45
  4. ঘ
    1/18
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দৈবভাবে একটি দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা বাছাই করা হলে সেটি 18 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে = 99 - 10 + 1 = 90 টি

18 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো- 18, 36, 54, 72, 90 অর্থাৎ 5 টি

∴ সম্ভাবনা = 5/90 = 1/18

৪,৯৩৭.
১০০ থেকে ১৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 
  1. ক
    ক) ১/২০
  2. খ
    খ) ১/২৫
  3. গ
    গ) ১/৫০
  4. ঘ
    ঘ) ১/১০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ থেকে ১৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
১০০ থেকে ১৯৯ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ১০০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬}
মোট ৫টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ৫/১০০
= ১/২০ 
৪,৯৩৮.
40 টি টিকিটে 1 থেকে 40 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেয়া আছে। টিকিট গুলো ভালোভাবে মিশিয়ে একটি টিকিট দৈব ভাবে নেয়া হলো।টিকিটের নম্বর 32 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/5
  2. খ
    খ) 3/10
  3. গ
    গ) 5/8
  4. ঘ
    ঘ) 4/5
ব্যাখ্যা

1 থেকে 40 এর মধ্যে 32 এর চেয়ে বড় সংখ্যা হলো {33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40} মোট 8 টি
∴টিকিটের নম্বর 32 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = 8/40 = 1/5

৪,৯৩৯.
একজন চেয়ারম্যান, দুইজন ভাইস চেয়ারম্যান ও 16 জনের অন্যান্য সদস্য নিয়ে কোনো একটি পরিষদ গঠিত। একজন চেয়ারম্যান ও কেবল একজন ভাইস চেয়ারম্যানকে সর্বদা অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 জনের কতগুলি বিভিন্ন কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 1020
  2. খ
    খ) 1060
  3. গ
    গ) 1080
  4. ঘ
    ঘ) 1120
ব্যাখ্যা

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যায়-
1 জন চেয়ারম্যান 2 জন ভাইস চে. 16 জন সদস্য
1 ------------ 1 ------------ 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটির সংখ্যা = 1C1 × 2C1 × 16C3
= 1 × 2 × 560
= 1120

৪,৯৪০.
  1. ক
    3/7
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

৪,৯৪১.
নিচের কোনটি (a2 - 9a + 20) এবং (a2 - 6a + 8) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    (a + 5)
  2. খ
    (a - 4)
  3. গ
    (a - 3)
  4. ঘ
    (a + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a2 - 9a + 20) এবং (a2 - 6a + 8) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
a2 - 9a + 20
= a2 - 4a - 5a + 20
= a(a - 4) - 5(a - 4)
= (a - 4)(a - 5)

এবং
a2 - 6a + 8
= a2 - 4a - 2a + 8
= a(a - 4) - 2(a - 4)
= (a - 4)(a - 2)

অর্থাৎ, (a - 4) উভয়ের একটি সাধারণ উৎপাদক।
৪,৯৪২.
1/√2, 1, √2, --- --- --- ধারাটির  কোন পদ 16 হবে?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
1/√2, 1, √2, --- --- --- ধারাটির  কোন পদ 16 হবে?
সাধারণ অনুপাত = 1/(1/√2) = √2
n তম পদ 16 হলে, 
arn - 1 = 16 [ যেখানে a = প্রথম পদ ও r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ (1/√2)(√2)n - 1 = 16
⇒ (√2)n - 1 = 16√2
                   = 2 × 2 × 2 × 2 × √2
                   = 24 × √2
                   = (√2)8 × √2
                   = (√2)9
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 10
--------------------------------------------------------------
shortcut:
সাধারণ অনুপাত √2 হওয়ায়, 
1/√2, 1, √2, --- --- ---
২য় পদ = 1 এর জন্য
৪র্থ পদ = 2 
ষষ্ঠ পদ = 4 
অষ্টম পদ = 8
দশম পদ = 16
৪,৯৪৩.
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-
  1. ক
    b2 < 4ac
  2. খ
    b2 > 4ac
  3. গ
    b2 - 4ac একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-

সমাধান: 
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের b2 – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,

• b2 – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b2 - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b2 – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b2 – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

৪,৯৪৪.
1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82 = ?
  1. ক
    240
  2. খ
    548
  3. গ
    648
  4. ঘ
    638
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82 = ?

সমাধান :
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2, এবং
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি =n(n+1)(2n+1)/2

এখানে, n = 8

প্রদত্ত রাশি, 
1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + 4 + 42 + 5 + 52 + 6 + 62 + 7 + 72 + 8 + 82
= (1 + 2 + ..... + 8) + (12 + 22 + ..... + 82)
= {8(8 + 1)/2} + [{8(8 + 1){(2 × 8) +1}/6]
= {(8 × 9)/2} + {(8 × 9 × 17)/6}
= 36 +204
= 240
৪,৯৪৫.
৮C৬ = কত?
  1. ক
    ৪৮
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ২/১৪
  4. ঘ
    ২৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮C৬ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCr = n!/{(n - r)! × r!}

∴ ৮C৬ = ৮!/{(৮ - ৬)! × ৬!} = ৮!/(২! × ৬!) = (৮ × ৭)/২! = ৪ × ৭ = ২৮
৪,৯৪৬.
যে কোন সেট A, B, C এর জন্য নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    A ∼ A
  2. খ
    A ∼ B হলে, B ∼ A
  3. গ
    A ∼ B এবং B ∼ C হলে, A ∼ C
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
৪,৯৪৭.
x = 5 এবং y = 2 হলে 16x2 - 56xy + 49y2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 49
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 2 হলে 16x2 - 56xy + 49y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5
y = 2

এখন,
16x2 + 56xy + 49y2
= (4x)2 - 2 . 4x . 7y + (7y)2
= (4x - 7y)2
= (4 . 5 - 7 . 2)2
= (20 - 14)2
= 62
= 36
৪,৯৪৮.
x-2 - 0.0001 = 0 হলে, √x এর মান কত ?
  1. ক
    100
  2. খ
    110
  3. গ
    10
  4. ঘ
    1
  5. ঙ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x-2 - 0.0001 = 0 হলে, √x এর মান কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x-2 - 0.0001 = 0
⇒ x-2  = 0.0001
⇒ 1 / x2  = 1/10000
⇒  x2  = 10000
⇒  x  =  √10000
⇒ x = 100
⇒ √x = √100
⇒ √x = √(10)2
∴ √x = 10
৪,৯৪৯.
যদি 17x = 4913 হয়, তাহলে 22x - 1 এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 17x = 4913 হয়, তাহলে 22x - 1 এর মান কত?

সমাধান:
17x = 4913
⇒ 17x = 173
∴ x = 3

22x - 1
= 22 × 3 - 1
= 26 - 1
= 25
= 32
৪,৯৫০.
x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে x3 + y3 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, 22 = 4 + 2xy
বা, 4 = 4 + 2xy
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 23 - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

৪,৯৫১.
৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ....... এর পরবর্তী সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ১৬৯
  2. খ
    খ) ২২৫
  3. গ
    গ) ২৫৬
  4. ঘ
    ঘ) ২৭২
ব্যাখ্যা

ধারাটি হচ্ছে = ৩২ = ৯, ৬২ = ৩৬, ৯২ = ৮১, ১২২ = ১৪৪
∴ এর পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১৫২ = ২২৫

৪,৯৫২.
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, জোড় অথবা চার দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত? 
  1. ক
    ক) ১/২
  2. খ
    খ) ২/৩
  3. গ
    গ) ১/৩
  4. ঘ
    ঘ) ১/৬
ব্যাখ্যা
ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হলো {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
এদের মধ্যে জোড় সংখ্যা {২, ৪, ৬} এবং ৪ দ্বারা বিভাজ্য {৪}
∴ জোড় সংখ্যা অথবা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা {২, ৪, ৬}
∴ সম্ভাবনা = ৩/৬ = ১/২
৪,৯৫৩.
log3√x = -1 হলে, x = ?
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 1/9
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 2/9
ব্যাখ্যা

log3√x = -1 
বা, √x = 3-1
বা, √x = 1/3
∴ x = 1/9

৪,৯৫৪.
a + b + c = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 24 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    6
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 24 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 8
a2 + b2 + c2 = 24

∴ প্রদত্ত রাশি = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + bc + ca)
= 2(a2 + b2 + c2) - {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}
= (2 × 24) - {(8)2 - 24}
= (2 × 24) - (64 - 24)
= 48 - 40
= 8
৪,৯৫৫.
2 - 2 + 2 - 2 +.. ধারাটির 2n + 2 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    -1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)2n+2}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

৪,৯৫৬.
।7 - 2x। < 11 অসমতাটির সমাধান কত? 
  1. ক
    ক) 2 < x < 11
  2. খ
    খ) - 9 < x < 2
  3. গ
    গ) 2 < x < 9
  4. ঘ
    ঘ) - 2 < x < 9
ব্যাখ্যা
।7 - 2x। < 11 
- 11  < 7 - 2x < 11
- 11 - 7 < 7 - 2x - 7< 11 - 7 
- 18 < - 2x < 4
-18/2 < - 2x/2 < 4/2 
- 9 < - x < 2
- 9( - 1) > (- x)(- 1) > 2 (- 1)
9 > x > - 2
- 2 < x < 9
৪,৯৫৭.
'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  
  1. ক
    100
  2. খ
    120
  3. গ
    105
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  

সমাধান:
'AUTHORIZED' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 5টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 5টি 

5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 5C3
= 10

5টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 5C2 
  = 10

বাছাইয়ের মোট উপায় = 10 × 10 
= 100
৪,৯৫৮.
8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ক) 6005
  2. খ
    খ) 5040
  3. গ
    গ) 2520
  4. ঘ
    ঘ) 40320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
 8জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে ( n - 1)! উপায়ে।
= (8 - 1)! 
= 7!
= 5040
৪,৯৫৯.
3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36?
  1. ক
    13 তম
  2. খ
    12 তম
  3. গ
    11 তম
  4. ঘ
    10 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36?

সমাধান: 
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

ধরি, ধারার n তম পদ = 36
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12
৪,৯৬০.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    ক) a + 1
  2. খ
    খ) a - 1
  3. গ
    গ) a + 2
  4. ঘ
    ঘ) a - 3
ব্যাখ্যা

a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

৪,৯৬১.
8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    324 উপায়ে
  2. খ
    720 উপায়ে
  3. গ
    5040 উপায়ে
  4. ঘ
    40320 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে
৪,৯৬২.
কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?
  1. ক
    ক) ২৭
  2. খ
    খ) ১৬
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
৮ক - ২ক = ৭২
৬ক = ৭২
ক = ১২
৪,৯৬৩.
যদি log2[log3(log2x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    128
  3. গ
    12
  4. ঘ
    512
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log2[log3(log2x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log2[log3(log2x)] = 1
⇒ log3(log2x) = 21 = 2
⇒ log2x = 32 = 9
⇒ x = 29 = 512
∴ x = 512

৪,৯৬৪.
একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    7/6
  2. খ
    5/4
  3. গ
    9/8
  4. ঘ
    11/10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 1

প্রশ্নানুসারে,
 x + x +1 = 13
বা, 2x + 1 = 13
বা, 2x = 12
∴ x = 6

ভগ্নাংশটি =(6 + 1)/6 = 7/6
৪,৯৬৫.
loga√2 = 1/6 হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga√2 = 1/6 হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
loga√2 = 1/6
বা, a1/6 = √2
বা, a1/6 = 21/2
বা, a1/6 = {(2)3}1/(3×2)
বা, a1/6 = {(2)3}1/6
বা, a1/6 = 81/6
∴ a = 8
৪,৯৬৬.
B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?
  1. ক
    {2, 6 }
  2. খ
    {2, 4}
  3. গ
    {4, 6}
  4. ঘ
    {Ø}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x ∈ N :  2 < x ≤ 6}
= {3, 4, 5, 6}

এবং C = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (B ∩ C) = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4, 6}

∴ নির্ণেয় সেট = (4, 6}

৪,৯৬৭.
3p + 3 = 81 হলে, 10p - 3 = কত?
  1. ক
    1/10
  2. খ
    1/100
  3. গ
    1/1000
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3p + 3 = 81 হলে, 10p - 3 = কত?

সমাধান:
3p + 3 = 81
বা, 3p + 3 = 34
বা, p + 3 = 4
বা, p = 4 - 3
∴ p = 1

তাহলে,
10p - 3 = 101 - 3 = 10- 2 = 1/102 = 1/100

৪,৯৬৮.
P সংখ্যক সংখ্যার গড় a এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b। সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 
  1. ক
    ক) P(a + b)/(P + Q)
  2. খ
    খ) (Pa + Qb)/(P + Q)
  3. গ
    গ) (Pa + Qb)/PQ
  4. ঘ
    ঘ) (P + Q)/(Pa + Qb)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় a এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b। সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় a 
P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Pa

Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b
Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Qb 

নির্ণেয় গড় = (Pa + Qb )/(P + Q)
৪,৯৬৯.
5x + 2y - 3 = 0 এবং 15x + 6y - 11 = 0 সমীকরণ দুইটির কয়টি সমাধান আছে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) অসংখ্য
  4. ঘ
    ঘ) কোন সমাধান নাই
ব্যাখ্যা
5x + 2y - 3 = 0 --------- (1)
15x + 6y - 11 = 0 ------ (2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা গুণ করে,
15x + 6y - 9 = 0 ------ (3)

সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে,
(15x + 6y - 11) - (15x + 6y - 9) = 0 
বা, - 11 + 9 = 0 যা কোন সমাধান নয়।
----------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে, 
দুইটি সমীকরণের a1 /  a2 = b1 / b2 ≠ c1 / c2 হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির কোনো সমাধান থাকে না।
যেখানে, 
a1 = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a2 =  দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b1 = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b2 = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c1 = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c2 = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
------------------------------------------------------------------------------------------------------

বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান না থাকায় সমীকরণ দুইটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট।
৪,৯৭০.
5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
 5x - 4y = 6.................(1)
x + 2y = 4.................(2)

(1) × 1 + (2)  × 2
5x - 4y + 2x + 4y  = 6 + 8 
7x = 14
x = 2
৪,৯৭১.
লটারি প্রতিযোগিতায় ২৫টি লটারিতে পুরস্কার রয়েছে, কিন্তু ১৫টি লটারি খালি রয়েছে। যদি দৈবভাবে একটি লটারি টানা হয় তবে পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ৫/৮
  2. খ
    খ) ১/৮
  3. গ
    গ) ১/৪
  4. ঘ
    ঘ) ৩/৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: লটারি প্রতিযোগিতায় ২৫টি লটারিতে পুরস্কার রয়েছে, কিন্তু ১৫টি লটারি খালি রয়েছে। যদি দৈবভাবে একটি লটারি টানা হয় তবে পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
পুরস্কার আছে = ২৫ টি
খালি লটারি = ১৫ টি
মোট লটারি = ২৫ + ১৫ = ৪০ টি

পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = ২৫/৪০ = ৫/৮

∴ পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৮) = ৩/৮
৪,৯৭২.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে A ∩ B = কত?
  1. ক
    {3, 5, 7}
  2. খ
    {3, 5, 7, 9}
  3. গ
    {1, 5, 7, 9}
  4. ঘ
    {1, 3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে A ∩ B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

এখন,
A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {3, 5, 7, 9}
৪,৯৭৩.
যদি (- 8)2n = 28 + 2n হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3/2
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (- 8)2n = 28 + 2n হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
 (- 8)2n = 28 + 2n 
বা, {(- 8)2}n = 28 + 2n
বা, (64)n = 28 + 2n 
বা, (26)n = 28 + 2n 
বা, 26n = 28 + 2n 
বা, 6n = 8 + 2n 
বা, 6n - 2n = 8 
বা, 4n = 8 
বা, n = 8/4 
∴ n = 2 
৪,৯৭৪.
একটি ধাতব মুদ্রার টানা পাঁচ বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ক) 1/16
  2. খ
    খ) 1/8
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/32
ব্যাখ্যা
একটি ধাতব মুদ্রার দুইটি অংশ আছে একটি হেড ও অপরটি টেইল।
একটি ধাতব মুদ্রার একবার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2
একটি ধাতব মুদ্রার টানা দুই বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 = 1/4
একটি ধাতব মুদ্রার টানা তিন বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
একটি ধাতব মুদ্রার টানা পাঁচ বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/32
৪,৯৭৫.
নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্নয় করুন: ২৩, ১১, ২৫, ১৫, ২১, ১২, ২৭, ১৮, ২২, ২৯
  1. ক
    ক) ২২.৫
  2. খ
    খ) ২০
  3. গ
    গ) ২১.৫
  4. ঘ
    ঘ) ২২
ব্যাখ্যা

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক = {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২ = ২১.৫

৪,৯৭৬.
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?
  1. ক
    গড় > মধ্যক
  2. খ
    গড় < মধ্যক
  3. গ
    গড় = মধ্যক
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রম অনুসারে সাজালে পাওয়া যায় - ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে
n = ১১
মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

গড় = (৫ + ৮ + ৯ + ১১ + ১২ + ১৫ + ১৭ + ২০ + ২১ + ২৩ + ২৫)/১১
= ১৬৬/১১
= ১৫.০৯০৯

∴ গড় > মধ্যক
৪,৯৭৭.
একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৩ 
  2. খ
    ৩/৪ 
  3. গ
    ৭/১৯ 
  4. ঘ
    ৮/২১ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট বল = ৮ + ৭ + ৬ = ২১টি
লাল নয় এবং সবুজও নয় 
অর্থাৎ, শুধু নীল বল। 
∴ নীল বলের সংখ্যা = ৭টি

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

∴ P(নীল বল) = ৭/২১ = ১/৩ ​

৪,৯৭৮.
পিংকি ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও গণিত দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, গনিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    7/20
  2. খ
    13/20
  3. গ
    3/10
  4. ঘ
    7/10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিংকি ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও গণিত দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, গনিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/5
P(E ∩ S) = 1/4
P(E ∪ S) = 7/10
P(S) = ?

আমরা জানি ,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 7/10 = (3/5) + P(S) - (1/4)
⇒ (7/10) - (3/5) + (1/4) = P(S)
⇒ (14 - 12 + 5)/20 = P(S)
∴ P(S) = 7/20
৪,৯৭৯.
a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3 হয়, তাহলে m3 + 2p3 = কত?
  1. ক
    3mn
  2. খ
    0
  3. গ
    mn
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3 হয়, তাহলে m3 + 2p3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = m
a2 + b2 = n

এখন,
m3 + 2p3
= (a + b)3 + 2(a3 + b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 2a3 + 2b3
= 3a3 + 3a2b + 3ab2 + 3b3
= 3(a3 + a2b + ab2 + b3)
= 3{a2(a + b) + b2(a + b)}
= 3(a + b)(a2+b2)
= 3 ⋅ m ⋅ n
= 3mn
৪,৯৮০.
একটি বাক্সে ১০টি লাল, ১৫টি নীল, এবং ৫টি হলুদ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল বাছাই করলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ৫/৬
  2. খ
    ২/৩
  3. গ
    ১/২
  4. ঘ
    ৩/৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০টি লাল, ১৫টি নীল, এবং ৫টি হলুদ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল বাছাই করলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?


সমাধান:
বাক্সে মোট মার্বেল সংখ্যা = ১০টি লাল + ১৫টি নীল + ৫টি হলুদ = ৩০টি

মার্বেলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = হলুদ মার্বেলের সংখ্যা/মোট মার্বেলের সংখ্যা
= ৫/৩০
= ১/৬

∴ মার্বেলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৬)
= (৬ - ১)/৬
= ৫/৬
৪,৯৮১.
যদি x < y এবং p < q হয়, তবে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    p + x = q + y
  2. খ
    p + x > q + y
  3. গ
    px = qy
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x < y এবং p < q হয়, তবে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে,
x < y .........(1)
p <q .........(2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
⇒ x + p < y + q
⇒ p + x < q + y

∴ অপশনের কোনটিই সঠিক নয়। 
৪,৯৮২.
নিচের কোনটি 1 - a2 - 2ab - b2 এর উৎপাদক ?
  1. ক
    (1 + a + b)(1 - a - b)
  2. খ
    (1 + a - b)(1 - a + b)
  3. গ
    (a + b)(a - b)
  4. ঘ
    (1 - a)(1 - b)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - a2 - 2ab - b2 এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - a2 - 2ab - b2
= 1 - (a + b)2
= (1)2 - (a + b)2
= {1 + (a + b)} {1 - (a + b)}
= (1 + a + b) (1 - a - b)

৪,৯৮৩.
কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?
  1. ক
    ৪৫০ জন 
  2. খ
    ৫০০ জন 
  3. গ
    ৬০০ জন 
  4. ঘ
    ৭২০ জন 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%
শুধু গণিতে ফেল = (৩৫ - ১৫)% = ২০%
শুধু পদার্থবিজ্ঞানে ফেল = (২৫ - ১৫)% = ১০%
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = {১০০ - (২০ + ১০ + ১৫)}%
= ৫৫%

প্রশ্নমতে,
৫৫% = ২৭৫ জন
বা, ১% = ২৭৫/৫৫ জন 
বা, ১০০% = (২৭৫ × ১০০)/৫৫ জন 
= ৫০০ জন

৪,৯৮৪.
x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    9
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান: 
(x - y)2
= (x + y)2 - 4xy
= 72 - (4 × 10)
= 49 - 40 
= 9
৪,৯৮৫.
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    4/9
  2. খ
    1/6
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
20 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি

∴ সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

৪,৯৮৬.
logx (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    - 2
  2. খ
    2
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    2√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logx (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
logx (1/8) = - 3
⇒ x- 3 = 1/8
⇒ x- 3 = 1/23
⇒ x- 3 = 2- 3
⇒ x = 2
৪,৯৮৭.
একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/5
  2. খ
    7/15
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    7/10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানঃ
মোট বল = 5 + 7 + 3 = 15

নীল অথবা লাল না অর্থাৎ সাদা বল আছে = 3 টি
নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভবনা অর্থাৎ সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/15 = 1/5
৪,৯৮৮.
একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ১২ টি
  2. খ
    ২৫ টি
  3. গ
    ২২ টি
  4. ঘ
    ১৫ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ৬C২
 = ৬!/{২! × (৬ - ২)!} 
= ৬!/(২! × ৪!) 
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) 
= ১৫ টি 

৪,৯৮৯.
p = √6 + √5 হলে, {p3 + (1/p3)} - 5√6 এর মান কত?
  1. ক
    39√5
  2. খ
    37√6
  3. গ
    41√6
  4. ঘ
    43√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p = √6 + √5 হলে, {p3 + (1/p3)} - 5√6 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/p = √6 - √5

এখন,
p + (1/p) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6
∴ p3 + (1/p3) = {p + (1/p)}3 - 3 × p × (1/p){p + (1/p)} - 5√6
= {(2√6)3 - 3 × 2√6} - 5√6
= (48√6 - 6√6) - 5√6
= 42√6 - 5√6
= 37√6
৪,৯৯০.
যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a3+ b3 + 4(a – b)2 এর মান কত?
  1. ক
    580
  2. খ
    790
  3. গ
    820
  4. ঘ
    488
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a3+ b3 + 4(a – b)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 8
 এবং ab = 7

∴ প্রদত্ত রাশি = a3 + b3 + 4(a – b)2
= (a + b)3 – 3ab (a + b) + 4{(a + b)2 - 4ab}
= (8)3 – 3.8.7 + 4 (82 – 4.7) [মান বসিয়ে]
=512 - 168 + 4. (64 - 28)
= 512 - 168 + 4 × 36
= 512 - 168 + 144
= 488 

:. নির্ণেয় মান 488

৪,৯৯১.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    7/9
  3. গ
    5/7
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]

প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)2 - x2 = 32
⇒ x2 + 4x + 4 - x2 = 32 
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ ভগ্নাংশটি = 7/9​

৪,৯৯২.
একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?
  1. ক
    ৫০
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৭০
  4. ঘ
    ৮০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?

সমাধান: 
মনে করি,
শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা = ক জন 
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক/৪) + ৩ 

আবার,
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক - ৬)/৩ 
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং,
(ক/৪) + ৩ = (ক - ৬)/৩
⇒ (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
⇒ ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩৬ + ২৪
⇒ ক = ৬০

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

৪,৯৯৩.
a+b = 2, ab = 1 হলে a ও b এর মান?
  1. ক
    ক) 0, 2
  2. খ
    খ) 1, 1
  3. গ
    গ) -1, 3
  4. ঘ
    ঘ) -3, -4
ব্যাখ্যা

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1

সুতরাং, a=1, b=1.

৪,৯৯৪.
সরল করুনঃ {(x1/a)(a²-b²)/(a-b)}a/(a+b)
  1. ক
    ক) x+1
  2. খ
    খ) x-1
  3. গ
    গ) x
  4. ঘ
    ঘ) x²
ব্যাখ্যা

{(x1/a)(a²-b²)/(a-b)}a/(a+b)
{(x1/a)(a+b)(a-b)/(a-b)}a/(a+b)
(x1/a)(a+b)a)/(a+b)
xa/a = x

৪,৯৯৫.
৪০ জন লোকের এক দলে ৩৫ জন ইংরেজিতে কথা বলে ও ১০ জন বাংলায় কথা বলে। উভয় ভাষায় কথা বলে কতজন?
  1. ক
    ক) ৫ জন
  2. খ
    খ) ৭ জন
  3. গ
    গ) ৯ জন
  4. ঘ
    ঘ) ৮ জন
ব্যাখ্যা

উভয় ভাষায় কথা বলে = বাংলায় বলে + ইংরেজিতে বলে - মোট লোকজন
= ৩৫+১০-৪০
= ৫ জন।

৪,৯৯৬.
১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৫ জন ক্রিকেট, ৪৫ জন ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি খেলায় অংশগ্রহণ করেন। ফুটবলে কতজন অংশগ্রহণ করেন?
  1. ক
    ৩৫ জন
  2. খ
    ৪০ জন
  3. গ
    ৬০ জন
  4. ঘ
    ৮০ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৫ জন ক্রিকেট, ৪৫ জন ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি খেলায় অংশগ্রহণ করেন। ফুটবলে কতজন অংশগ্রহণ করেন?

সমাধান:
এখানে, ছাত্র সংখ্যা n(U) = ১০০ জন
ক্রিকেট খেলে n(C) = ৬৫ জন
ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলে n(C ∩ F) = ৪৫ জন
কমপক্ষে একটি খেলায় অংশগ্রহণ করে n(C ∪ F) = ১০০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
⇒ ১০০ = ৬৫ + n(F) - ৪৫
⇒ ১০০ = ২০ + n(F)
∴ n(F) = ৮০

অর্থাৎ, ফুটবলে অংশগ্রহণ করে ৮০ জন।

৪,৯৯৭.
2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) 2x + 1
  2. খ
    খ) x - 7
  3. গ
    গ) 2x + 7
  4. ঘ
    ঘ) 2x - 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান:
 2x2 - 5x - 7
= 2x2 - 7x + 2x - 7
= x(2x - 7) + (2x - 7)
= (2x - 7) (x + 1)

∴ 2x2 - 5x - 7 এর উৎপাদক (x + 1) এবং (2x - 7)
৪,৯৯৮.
a + b = 6 এবং a - b = 4 হলে, 8ab(a2 + b2) =?
  1. ক
    1205
  2. খ
    960
  3. গ
    820
  4. ঘ
    1040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6 এবং a - b = 4 হলে, 8ab(a2 + b2) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6
এবং a - b = 4

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(6)2 - (4)2} × {(6)2 + (4)2}
= (36 - 16) × (36 + 16)
= 20 × 52
= 1040
৪,৯৯৯.
একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে ধারাটির পঞ্চম পদ কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    1/27
  3. গ
    1/81
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 27
সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3 

∴ ধারার পঞ্চম পদ, arn - 1 = 27 × (1/3)5 - 1
= 27 × (1/3)4
= 33 - 4
= 3- 1
= 1/3
৫,০০০.
কোনো শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রীর বয়সের গড় ১২ বছর। ৪ জন নতুন ছাত্রী ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে গেল। নতুন ৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় কত
  1. ক
    ক) ৮ বছর
  2. খ
    খ) ৯ বছর
  3. গ
    গ) ১০ বছর
  4. ঘ
    ঘ) ১১ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রীর বয়সের গড় ১২ বছর। ৪ জন নতুন ছাত্রী ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে গেল। নতুন ৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় কত?

সমাধান: 
২০ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২০ × ১২) বছর।
= ২৪০ বছর।

২৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় = ১২ - (৪/১২) বছর।
= ৩৫/৩ বছর।

২৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (৩৫/৩) × ২৪) বছর।
= ২৮০ বছর।

৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২৮০ - ২৪০) বছর।
= ৪০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর গড় বয়স = ৪০/৪ বছর।
= ১০ বছর।