বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫ / ২০১ · ৪০১–৫০০ / ২০,২০৭

৪০১.

4^{(2x + 1)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

ক
- 1
খ
2
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{(2x + 1)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4^{(2x + 1)} = 1024
⇒ 2^{2(2x + 1)} = 2¹⁰
⇒ 4x + 2 = 10
⇒ 4x = 10 - 2
⇒ 4x = 8
⇒ x = 8/4
∴ x = 2

৪০২.

(1/√2) + 1 + √2 +................ ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
8 তম পদ
খ
9 তম পদ
গ
10 তম পদ
ঘ
7 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 +................ ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2

ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
ar^{n -1} = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
বা, (√2)^{n - 1} = 8√2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

৯ তম পদ = 8√2

৪০৩.

9x² - 9x - 4 এর একটি উৎপাদক (3x - 4) হলে অপরটি কত?

ক
ক) (3x + 1)
খ
খ) (x - 1)
গ
গ) (3x - 1)
ঘ
ঘ) (3x + 4)

ব্যাখ্যা

9x² - 9x - 4
= 9x² - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
(3x - 4)(3x + 1)

৪০৪.

x = 2, y = 4 হলে 7x - 3y = ?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 2, y = 4 হলে 7x - 3y = ?

সমাধান:
x = 2, y = 4

7x - 3y = 7 × 2 - 3 × 4
= 14 - 12
= 2

৪০৫.

- 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - ............ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) - 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - ............ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত = (- 1/8)/(- 1/4)
= (- 1/8) × (- 4/1)
= 1/2

৪০৬.

log₂ log_√a^a² = ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂ log_√a^a² = ?

সমাধান:
log₂ log_√aa²
= log₂ log_√a(√a)⁴
= log₂ (4 log_√a√a)
= log₂ (4 × 1)
= log₂4
= log₂ 2²
= 2 log₂ 2
= 2 . 1
= 2

৪০৭.

ab + bc + ca = 31 এবং a² + b² + c² = 19 হলে, a + b + c = কত?

ক
7
খ
9
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ab + bc + ca = 31 এবং a² + b² + c² = 19 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 31
a² + b² + c² = 19

এখন,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)² = 19 + (2 × 31)
বা, (a + b + c)² = 19 + 62
বা, (a + b + c)² = 81
বা, a + b + c = √81
∴ a + b + c = 9

৪০৮.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
2
খ
1/4
গ
1/8
ঘ
1/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

৪০৯.

6p² - 11p - 150 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?

ক
ক) (p - 10) (6p + 15)
খ
খ) (p + 10) (6p - 15)
গ
গ) (p - 6) (6p + 25)
ঘ
ঘ) (p + 6) (6p - 25)

ব্যাখ্যা

6p² - 11p - 150
= 6p² - 36p +25p - 150
= 6p (p - 6) + 25 (p - 6)
= (p - 6) (6p + 25)

৪১০.

একজন পরীক্ষার্থীকে 14টি প্রশ্ন থেকে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?

ক
ক) 120
খ
খ) 180
গ
গ) 240
ঘ
ঘ) 360

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 14টি প্রশ্ন থেকে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?

সমাধান:
প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = ⁵C₄=5

বাকি 9টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
9টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = ⁹C₂ = 36

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = 5 × 36 = 180

৪১১.

x + 6y = 16 এবং x = 2y হলে, x = ?

ক
ক) -4
খ
খ) 0
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

x + 6y = 16
বা, 2y + 6y = 16 [যেহেতু, x = 2y]
বা, 8y = 16
বা, y = 2
∴ x = 4

৪১২.

log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
log128
খ
log64
গ
log512
ঘ
log256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?
= log2 + log2² + log2³ + ...................
= log2 + 2log2 + 3log2 + ..................

এখানে
১ম পদ a = log2
সাধারণ অন্তর d = 2log2 - log2
= log2

সপ্তম পদ= a +(7 - 1)d
= log2 + 6 log2
= 7log2
= log2⁷
= log128

৪১৩.

যদি log₂[ log₃( log₂a)] = 1 হয়, তাহলে a এর মান কত?

ক
243
খ
128
গ
64
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₂[ log₃( log₂a)] = 1 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₂[ log₃( log₂a)] = 1
⇒ log₃(log₂a) = 2¹
⇒ log₃(log₂a) = 2
⇒ log₂a = 3²
⇒ log₂a = 9
⇒ a = 2⁹
⇒ a =512

৪১৪.

f(x) = x³+ax³+2x³ = 0 হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) -3

ব্যাখ্যা

বা, x³+ax³+2x³=0
বা, 3x³+ax³ = 0
বা, ax³= -3x³
∴ a = -3

৪১৫.

হলে x এর মান কত?

ক
ক) 41
খ
খ) 31
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 51

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে x এর মান কত?

সমাধান:
{(2x + 3)/5} + 2 = (x - 1)/2
বা, (2x + 3)/5 - (x - 1)/2 = - 2
বা, (4x + 6 - 5x + 5)/10 = - 2
বা, - x + 11 = - 20
বা, - x = - 20 - 11
∴ x = 31

৪১৬.

a + b + c = 12 এবং a² + b² + c² = 50 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

ক
35
খ
40
গ
44
ঘ
47

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং a² + b² + c² = 50 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 12
a² + b² + c² = 50

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 12² = 50 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 144 - 50 = 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 94
⇒ (ab + bc + ca) = 94/2
∴ (ab + bc + ca) = 47

৪১৭.

'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে, যদি সব স্বরবর্ণ একত্রে থাকে?

ক
720
খ
360
গ
180
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে, যদি সব স্বরবর্ণ একত্রে থাকে?

সমাধান:
স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সাজালে শব্দটি (TMRRWOOO) এমন হতে পারে।

তাহলে স্বরবর্ণ ছাড়া সাজানো যাবে 6!
R ২ বার থাকায় 2! দিয়ে ভাগ হবে।

তাহলে,
6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/ (2 × 1)
= 720/2
= 360

স্বরবর্ণগুলোর ভিতরে তিনটি O একই হওয়ায় তাদের অভ্যন্তরীণ বিন্যাস 1 (অতিরিক্ত গুণ করার কিছু নেই)।

∴ স্বরবর্ণ একত্রে রেখে 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো 360 ভাবে সাজানো যাবে।

৪১৮.

দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোট সংখ্যার 4গুণ বড় সংখ্যার 3 গুণের চেয়ে 5 কম। তাদের সমষ্টি তাদের অন্তরফলের 6 গুণের চেয়ে 6 বেশি। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 59
খ
খ) 57
গ
গ) 55
ঘ
ঘ) 51

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
ছোট সংখ্যাটি x
বড় সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে
4x = 3y - 5
x = (3y - 5)/4 ................(1)

২য় শর্তমতে
x + y = 6(y - x) + 6
x + y = 6y - 6x + 6
x + 6x = 6y - y + 6
7x = 5y + 6
7{(3y - 5)/4} = 5y + 6
21y - 35 = 20y + 24
21y - 20y = 24 + 35
y = 59

৪১৯.

2a² + 7ab - 15b² রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়-

ক
ক) (a+5b)(2a-3b)
খ
খ) (a-5b)(2a+3b)
গ
গ) (a-5b)(2a-3b)
ঘ
ঘ) (a+5b)(2a+3b)

ব্যাখ্যা

2a² + 7ab - 15b²
⇒ 2a² + 10ab -3ab - 15b²
⇒ 2a(a+5b) - 3b(a+5b)
⇒(a+5b)(2a-3b)

৪২০.

১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

ক
৪৯৯৯
খ
৫৫০১
গ
৫০৫০
ঘ
৫০০১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {১০০ × (১০০ + ১)}/২
= (১০১ × ১০০)/২
= ১০১ × ৫০
= ৫০৫০

৪২১.

তথ্য সারির মোট উপাত্তের সংখ্যা m টি এবং তা বিজোড় হলে, মধ্যমা কত?

ক
(m + 2)/2 তম পদ
খ
(m + 1)/3 তম পদ
গ
(m + 1)/2 তম পদ
ঘ
(m + 3)/2 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তথ্য সারির মোট উপাত্তের সংখ্যা m টি এবং তা বিজোড় হলে, মধ্যমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা বিজোড় হলে,

m সংখ্যক উপাত্তের জন্য মধ্যমা = (m + 1)/2 তম পদ

৪২২.

ফাঁকা সেটের কয়টি উপসেট রয়েছে?

ক
শূন্য
খ
এক
গ
দুই
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ফাঁকা সেটের কয়টি উপসেট রয়েছে?

সমাধান:
- ফাঁকা সেটকে প্রকাশ করা হয় ∅ বা { } চিহ্ন দ্বারা।
- A একটি ফাঁকা সেট হলে, A এর উপাদান সংখ্যা, n(A) = 0
- অর্থাৎ ফাঁকা সেট হলো একটি সসীম সেট।

• যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হয়, তাহলে সেই সেটের উপসেটের সংখ্যা হয় 2ⁿ।
ফাঁকা সেটে কোনো উপাদান নেই, অর্থাৎ n = 0।
তাহলে উপসেটের সংখ্যা হবে:
2⁰ = 1
অতএব, ফাঁকা সেটের একমাত্র উপসেট হচ্ছে ফাঁকা সেট।

৪২৩.

২, ১৭, ৯, ২, ১৭, ৫, ৩, ৫, ১৭, ১১, ১৩ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

ক
ক) ১১
খ
খ) ৩
গ
গ) ২
ঘ
ঘ) ১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ১৭, ৯, ২, ১৭, ৫, ৩, ৫, ১৭, ১১, ১৩ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

সমাধান:
২ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
৫ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
১৭ সংখ্যাটি আছে ৩ বার।

যেহেতু, ১৭ সংখ্যাটি অধিকবার আছে, তাই সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ১৭।

৪২৪.

কোন শর্তে x⁰ = 1?

ক
x > 1
খ
x ≠ 0
গ
x < 0
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শর্তে x⁰ = 1?

সমাধান:
x ≠ 0 হলে x⁰ = 1 , x^{- n} = 1/xⁿ

৪২৫.

A = {p, q, r, s, t, u} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
64
খ
32
গ
63
ঘ
31

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {p, q, r, s, t, u} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের মোট উপাদান = 6
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁶ = 64

∴ প্রকৃত উপসেট = 64 - 1
= 63

৪২৬.

একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

ক
১৮০ জন
খ
২০০ জন
গ
১৭৫ জন
ঘ
২১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

আবার,
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
∴ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

৪২৭.

xy = 12 হলে, x + y এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

xy = 12 = 2×2×4
∴ (x, y) = (3, 4) অথবা (6, 2) অথবা (1, 12)
∴ x + y = 3 + 4 = 7 বা, 6 + 2 = 8 বা, 1 + 12 = 13
∴ x + y এর সর্বোচ্চ মান = 13

৪২৮.

5 জন মানুষ কত উপায়ে গোল টেবিল বৈঠক করতে পারবে ?

ক
ক) 21
খ
খ) 24
গ
গ) 120
ঘ
ঘ) 121

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, গোল টেবিলে বৈঠক করার উপায় = (n - 1)! = (5 - 1)! = 24

৪২৯.

শফিক ২৪০ টাকায় কতগুলো কলম কিনলো। সে যদি ঐ টাকায় একটি কলম বেশী পেতো তার প্রতিটি কলমের দাম গড়ে ১ টাকা কম পড়তো। সে কতগুলো কলম কিনলো?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৬
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ১৪

ব্যাখ্যা

ধরি, কলম কনেছিল ক টি, তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/ক
১টি কলম বেশী পেলে কলমের সংখ্যা হত (ক+১)
তখন, প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/(ক+১)
প্রশ্নমতে,
(২৪০/ক) - ২৪০/(ক+১) = ১
ক = ১৫ বা, -১৬
∴ কলম কিনেছিলো ১৫টি।

৪৩০.

a² - 4a + 3 = 0 হলে a এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) ক এবং খ

ব্যাখ্যা

a² - 4a + 3 = 0
a² - 3a - a +3 = 0
a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
(a - 3)(a- 1) = 0

অতএব আবার
a - 3 = 0 a - 1 = 0
a = 3 a =1

৪৩১.

4, 4/3, 4/9,.............. ধারাটির ১ম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/81
খ
খ) 121/81
গ
গ) 484/81
ঘ
ঘ) 242/81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4, 4/3, 4/9,.............. ধারাটির ১ম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
= 1/3

S_n = a(1- rⁿ)/(1 - r)
= 4{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}
= 4{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}
= 4{(243 - 1)/243}/{(3 - 1)/3}
= 4 × (242/243) × (3/2)
= 484/81

৪৩২.

x² - y² + 6y - 9 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (x - y - 3)
খ
খ) (x - y + 3)
গ
গ) (3x - y + 3)
ঘ
ঘ) (x - 3y + 3)

ব্যাখ্যা

x² - y² + 6y - 9
= x² - (y² - 6y + 9)
= x² - {(y)² - 2 .y . 3 + 3²}
= x² - (y - 3)²
= {x + (y - 3)}{x - (y - 3)}
= (x + y - 3)(x - y + 3)

৪৩৩.

x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক-

ক
ক) (x + 11y) (x + y)
খ
খ) (x - 11y) (x - y)
গ
গ) (x - 11y) (x + y)
ঘ
ঘ) (x + 11y) (2x + y)

ব্যাখ্যা

x² - 10xy - 11y²
= x² - 11xy + xy -11y²
= x(x - 11y) + y (x - 11y)
= (x - 11y) (x + y)

৪৩৪.

²⁵P₂- ²⁵C₂= ?

ক
280
খ
300
গ
320
ঘ
350

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
²⁵P₂= 25!/(25 - 2)!= [(25 × 24 × 23!)/(25 - 2)!]
= (25 × 24 × 23!)/(23)!
= 25 × 24
= 600
এবং
²⁵C₂
= [(25 × 24 × 23!)/2! × (25 - 2)!]
= [(25 × 24 × 23!)/2 × 23!]
= (25 × 24)/2
= 600/2
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂
= 600 - 300
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = 300

৪৩৫.

x² + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

ক
(x - 5)
খ
(x - 6)
গ
(x + 10)
ঘ
(x + 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 13x - 90
= x² + 18x - 5x - 90
= x(x + 18) - 5(x + 18)
= (x + 18)(x - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক = (x - 5)

৪৩৬.

f(x) = |x - 3|
এখানে, x = - 10 হলে, f(x) এর মান কত?

ক
13
খ
- 13
গ
- 7
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = |x - 3|
এখানে, x = - 10 হলে, f(x) এর মান কত?

সমাধান:
প্রদও রাশি = f(x) = |x - 3|

x = - 10 হলে,
f(x) = |- 10 - 3|
= |- 13|
= 13

৪৩৭.

a + b + c = 32 এবং a - b = c হয়, তাহলে a এর মান কত?

ক
28
খ
22
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 32 এবং a - b = c হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 32.............(১)
এবং
⇒ a - b = c
⇒ a = b + c .........(২)

(১) নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ a + b + c = 32
⇒ a + a = 32
⇒ 2a = 32
⇒ a = 32/2
∴ a = 16

৪৩৮.

ক
p
খ
√p
গ
0
ঘ
1/p

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪৩৯.

সেট B = {x ∈ N : x² > 15, x³ < 100} হলে, B = কত?

ক
{6}
খ
{5}
গ
{4}
ঘ
{}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেট B = {x ∈ N : x³ > 15, x³ < 100} হলে, B = কত?

সমাধান:
x² > 15; এই শর্তে x এর মানের সেট P হবে, P = {4, 5, 6, ...}

x³ < 100; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হবে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট = P ∩ Q
= {4, 5, 6, ...} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}

৪৪০.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3; লব থেকে 3 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/2 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
7/9
খ
9/11
গ
11/14
ঘ
13/15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3; লব থেকে 3 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/2 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর x + 3

ভগ্নাংশটি = x /(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 3)/(x + 2 + 3) = 1/2
2x - 6 = x + 5
2x - x = 6 + 5
x = 11

ভগ্নাংশটি = 11/14

৪৪১.

(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৩ × ২) = ?

ক
ক) ০
খ
খ) ১
গ
গ) ৪
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৩ × ২)
= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৬)
= ৪ × ২ - ১
= ৮ - ১
= ৭

৪৪২.

যদি p + 1/p = 2 হয়, তাহলে p⁴ + 1/p⁴ এর মান কত হবে?

ক
16
খ
8
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + 1/p = 2 হয়, তাহলে p⁴ + 1/p⁴ এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + 1/p = 2
⇒ (p + 1/p)² = 4
⇒ p² + 1/p² + 2.p.(1/p) = 4
⇒ p² + 1/p² = 2
⇒ (p² + 1/p²)² = 4
⇒ p⁴ + 1/p⁴ + 2.p².(1/p²) = 4
∴ p⁴ + 1/p⁴ = 2

৪৪৩.

একট ছক্কা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত

ক
১
খ
১/২
গ
১/৬
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একট ছক্কা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬

আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১

∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬

৪৪৪.

যদি গুণ অর্থ '÷', বিয়োগ অর্থ '×', ভাগ অর্থ '+' এবং যোগ অর্থ '-' তবে (৩ - ১৫ ÷ ১৮) × ৭ + ৬ = কত?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৩
গ
গ) ২
ঘ
ঘ) ৫

ব্যাখ্যা

(৩ - ১৫ ÷ ১৮) × ৭ + ৬ এর
শর্তসাপেক্ষ চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই
= (৩ × ১৫ + ১৮ ) ÷ ৭ - ৬
= (৪৫ + ১৮) ÷ ৭ - ৬
= ৬৩ ÷ ৭- ৬
= ৯ - ৬
= ৩

৪৪৫.

a⁴-4a+3 উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

ক
ক) (a-1)²(a²+2a+3)
খ
খ) (a-1)(a-1)(a²-2a+3)
গ
গ) (a+2)²(a²+2a+3)
ঘ
ঘ) (a-1)²(a³+2a-3)

ব্যাখ্যা

মনেকরি, f(a) = a⁴-4a+3
∴ f(1) = (1)⁴-4(1)+3 = 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, (a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
∴ প্রদত্ত রাশি = a⁴-4a+3
= a⁴-a³+a³-a²+a²-a-3a+3
= a³(a-1)+a²(a-1)+a(a-1)-3(a-1)
= (a-1)(a³+a²+a-3)
= (a-1)²(a²+2a+3)

৪৪৬.

3^{2x - y}= 3^{x + y} = √27 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{2x - y}= 3^{x + y} = √27 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{2x - y} = 3^{x + y}= √27
3^{2x - y}= 3^{x + y} = (3³)1/2
3^{2x - y}= 3^{x + y}= (3)^3/2

3^{2x - y}= 3^3/2
2x - y = 3/2..............(1)

3^{x + y} = 3^3/2
x + y = 3/2 ...............(2)

(1) + (2) ⇒
2x - y + x + y = (3/2) + (3/2)
3x = 3
x = 1

৪৪৭.

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে, x = ?

ক
-1
খ
0
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে,
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10¹
বা, 10^x = 10¹
∴ x = 1

৪৪৮.

8টি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো যোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ তৈরি করা যায়?

ক
ক) 24
খ
খ) 48
গ
গ) 56
ঘ
ঘ) 72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8টি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো যোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3টি বিন্দুর প্রয়োজন
ত্রিভুজ গঠন করা যাবে = ⁸C₃ = 56

৪৪৯.

(1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/27) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
3/20
খ
2/3
গ
3/16
ঘ
2/17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/27) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (-2/3)}
= (1/4)/{1 + (2/3)}
= (1/4)/(5/3)
= 3/20

৪৫০.

⁷c₅ + ⁷c₄ = ?

ক
⁷c₆
খ
⁸c₅
গ
⁸c₄
ঘ
⁸c₆

ব্যাখ্যা

ⁿc_r + ⁿc_r-1 = ⁿ⁺¹c_r
n = 7, r = 5 হলে পাই,
⁷c₅ + ⁷c₄ = ⁷⁺¹c₅ = ⁸c₅

৪৫১.

যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে?

ক
{3, 18, 30}
খ
{3, 5, 15, 18, 20, 30 }
গ
{ 5, 15, 20}
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে?

সমাধান:
A = {5, 15, 20, 30}
B = {3, 5, 15, 18, 20}

A ∩ B = {5, 15, 20, 30} ∩ {3, 5, 15, 18, 20}
={5, 15, 20}

৪৫২.

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে দৈবচয়নে একটি নিলে সংখ্যাটি বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৪/৫
খ
১/৩
গ
২/৩
ঘ
৩/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে দৈবচয়নে একটি নিলে সংখ্যাটি বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা (১ থেকে ১৫ পর্যন্ত): {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫}
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫টি
বিজোড় সংখ্যা- ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫ = ৮টি
এবং ৩-এর গুণিতক- ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ = ৫টি

এখানে,
উভয় শর্ত পূরণ করে এমন সংখ্যা (বিজোড় এবং ৩-এর গুণিতক)- ৩, ৯, ১৫ = ৩টি

∴ বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক সংখ্যার মোট সংখ্যা = বিজোড় + ৩-এর গুণিতক - উভয়
= ৮ + ৫ - ৩
= ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ১০/১৫
= ২/৩

সুতরাং, বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৩

৪৫৩.

নিচের কোনটি সমান্তর ধারার উদাহরণ?

ক
3 - 6 - 15 - 24 - ..........
খ
15 + 30 + 60 + ..........
গ
(1/2) + (1/4) + (1/8) + ............
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারার উদাহরণ?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 1 + 4 + 7 + 10 + .............. + 22, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 6 - 15 - 24 ......... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, - 15 - (- 6) = - 9
- 24 - (-15) = - 9

৪৫৪.

36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

ক
7/3
খ
3
গ
8/3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36 × 2^{3x - 8} = 3² হলে x এর মান কত?

সমাধান:
36 × 2^{3x - 8} = 3²
⇒ 2^{3x - 8} = 9/36
⇒ 2^{3x - 8} = 1/4
⇒ 2^{3x - 8} =1/2²
⇒ 2^{3x - 8} = 2^{- 2}
⇒ 3x - 8 = - 2
⇒ 3x = - 2 + 8
⇒ 3x = 6
x = 2

৪৫৫.

নিচের ধারার শেষ সংখ্যা কত?
৩, ৯, ২৭, ৮১, ….?

ক
ক) ২৪১
খ
খ) ২৪৩
গ
গ) ২৪৫
ঘ
ঘ) ২৪৭

ব্যাখ্যা

৩, ৯, ২৭, ৮১ .....
= ৩^১, ৩^২, ৩^৩, ৩^৪, ৩^৫ ..........
∴ ৩^৫ = ২৪৩

৪৫৬.

x - y = 7, xy = 8 হলে, x + y =?

ক
3
খ
5
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 7, xy = 8 হলে, x + y =?

সমাধান:
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 7² + (4 × 8)
= 49 + 32
= 81

∴ x + y = 9

৪৫৭.

x - y = 3, xy = 4 হলে, x² + y² = ?

ক
17
খ
- 1
গ
15
ঘ
- 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x² + y² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 3, xy = 4

প্রদত্ত রাশি = x² + y²
= (x - y)² + 2xy
= (3)² + 2 × 4
= 9 + 8
= 17

৪৫৮.

a-{a-(a+1)} = কত?

ক
ক) a-1
খ
খ) 1
গ
গ) a
ঘ
ঘ) a+1

ব্যাখ্যা

a-{a-(a+1)}
= a-{a-a-1}
= a+1

৪৫৯.

x⁶ - y⁶ এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (x+y)(x−y)(x² + 2xy)(x² − xy + y²)
খ
খ) (x³ + y³)(x³ − y³)
গ
গ) (x + y)(x − y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)
ঘ
ঘ) (x² + y²)(x² + xy + y²)(x² - xy + y²)

ব্যাখ্যা

x⁶ - y⁶
= (x³)² - (x³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x − y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x − y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

৪৬০.

- 9 < x < 11 এর পরম মান কত?

ক
|x - 2| < 7
খ
|x - 1| < 10
গ
|x - 3| < 5
ঘ
|x - 2| < 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 9 < x < 11 এর পরম মান কত?

সমাধান:
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 9 + 11)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 9 < x < 11
⇒ - 9 - 1 < x - 1 < 11 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 < x - 1 < 10
⇒ |x - 1| < 10

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 10

৪৬১.

log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

ক
0
খ
3/5
গ
10ab
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3x
⇒ 3log_ba = 3x
⇒ log_ba = x

আবার,
log_ab⁵ = 5y
⇒ 5log_ab = 5y
⇒log_ab = y

∴ xy = log_ba × log_ab
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

৪৬২.

14 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক
160
খ
182
গ
210
ঘ
175

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 14 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
14 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁴C₁ = 14 উপায়ে
13 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹³C₁ = 13 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 14 × 13 = 182

৪৬৩.

log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
10 log 8
খ
25 log 8
গ
42 log 8
ঘ
55 log 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 8¹ + log 8²+ log 8³ +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

৪৬৪.

P = {a, b, c, d} এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {a, b, c, d} এর প্রকৃত উপসেট কতটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ- 1

এখানে,
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 4

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

৪৬৫.

২১, ১৩, ৫০, ৪২, ৯, ৫০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

ক
৫০
খ
৩০
গ
৪০
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২১, ১৩, ৫০, ৪২, ৯, ৫০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২

৪৬৬.

একটি বাক্স ৫ টি লাল, ৭টি নীল ও ৩টি সবুজ বল আছে। তা হতে পরপর ৩ টি বল দৈবভাবে নেওয়া হলে বল ৩ টি উত্তোলনের ক্রমানুসারে লাল, নীল ও সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে যদি বল গুলো পুনঃস্থাপন করা হয়?

ক
ক) ১/২২৫
খ
খ) ৭/২২৫
গ
গ) ১/২৬
ঘ
ঘ) ৮/৯

ব্যাখ্যা

মোট বল = ৫+৭+৩ = ১৫
পুনঃস্থাপন করা হলে মোট বলের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = (৫/১৫)×(৭/১৫)×(৩/১৫) = ৭/২২৫

৪৬৭.

(1 + x)^1/3 + (1 - x)^1/3 = 2^1/3 হলে x এর মান কত?

ক
± 1
খ
± 2
গ
± 3
ঘ
± 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1 + x)^1/3 + (1 - x)^1/3 = 2^1/3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1 + x)^1/3 + (1 - x)^1/3 = 2^1/3
বা, {(1 + x)^1/3 + (1 - x)^1/3 }³ = (2^1/3)³
বা, {(1 + x)^1/3}³ + {(1 - x)^1/3}³ + 3.(1 + x)^1/3 × (1 - x)^1/3{(1 + x)^1/3 + (1 - x)^1/3} = 2
বা, 1 + x + 1 - x + 3{(1 + x)(1 - x)}^1/3 × 2^1/3= 2
বা, 2 + 3(2 - 2x²)^1/3 = 2
বা, 3(2 - 2x²)^1/3 = 0
বা, (2 - 2x²)^1/3 = 0
বা, 2 - 2x² = 0
বা, 1 - x² = 0
বা, x² = 1
∴ x = ± 1

৪৬৮.

| x - 3 | < 5 হলে -

ক
ক) 2 < x < 8
খ
খ) -2 < x < 8
গ
গ) -8 < x < -2
ঘ
ঘ) -4 < x < -2

ব্যাখ্যা

অঋণাত্মক ধরে, x - 3 < 5
∴ x < 8
ঋণাত্মক ধরে, - (x - 3) < 5
বা, x - 3 > -5
∴ x > -2
অর্থাৎ, -2 < x < 8

৪৬৯.

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা q হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
1^q
খ
2^q
গ
3^q
ঘ
4^q

ব্যাখ্যা

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা q হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2^q

৪৭০.

৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টানলে, তাসটি লাল অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৭/১৩
খ
১/২৬
গ
১৫/২৬
ঘ
১/১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টানলে, তাসটি লাল অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট লাল তাসের সংখ্যা = ২৬টি
∴ লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ২৬/৫২
= ১/২

মোট টেক্কার সংখ্যা = ৪টি
∴ টেক্কার হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩

মোট লাল টেক্কার সংখ্যা = ২টি
∴ লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৫২
= ১/২৬

এখন,
লাল অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা =
লাল হওয়ার সম্ভাবনা + টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা - লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা [লাল টেক্কার সম্ভাবনা দুইবার হিসেবে আসে তাই একবারের হিসাব বিয়োগ করা হলো ]
= ১/২ + ১/১৩ - ১/২৬
= (১৩ + ২ - ১)/২৬
= ১৪/২৬
= ৭/১৩

৪৭১.

নিচের কোনটি (4p² - 6p - 40) এবং (p² + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

ক
(p - 4)
খ
(p - 3)
গ
(p + 2)
ঘ
(p + 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (4p² - 6p - 40) এবং (p² + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি:
4p² - 6p - 40
= 4p² - 16p + 10p - 40
= 4p(p - 4) + 10(p - 4)
= (p - 4)(4p + 10)

২য় রাশি:
p² + 2p - 24
= p² + 6p - 4p - 24
= p(p + 6) - 4(p + 6)
= (p - 4)(p + 6)

৪৭২.

- ৫, - ৪, - ৩, - ১, ০, ১, ৩, ৪, ৫ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো। ক^২ > ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
৭/৯
খ
৫/৮
গ
৭/৮
ঘ
৮/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - ৫, - ৪, - ৩, - ১, ০, ১, ৩, ৪, ৫ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো। ক^২ > ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
(- ৫)^২ = ২৫
(- ৪)^২ = ১৬
(- ৩)^২ = ৯
(- ১)^২ = ১
০^২ = ০
১^২ = ১
৩^২ = ৯
৪^২ = ১৬
৫^২ = ২৫

একটি ঘটনা ছাড়া বাকি ৮ টিতেই শুন্য থেকে বড় সংখ্যা পাওয়া যাবে।
∴ সম্ভাব্যতা = ৮/৯

৪৭৩.

6q² - 8q - 30 এর একটি উৎপাদক (q - 3) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

ক
(8q + 5)
খ
(6q + 10)
গ
(6q - 12)
ঘ
(4q - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6q² - 8q - 30 এর একটি উৎপাদক (q - 3) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q² - 8q - 30
= 6q² - 18q + 10q - 30
= 6q(q - 3) + 10(q - 3)
= (q - 3)(6q + 10)

৪৭৪.

4 + 7 + 10 + 13 + ........ ধারাটির কোন পদ 304?

ক
96
খ
101
গ
102
ঘ
105

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 7 + 10 + 13 + ........ ধারাটির কোন পদ 304?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর d = 7 - 4 = 3

ধারাটির n তম পদ = 304

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 304 = 4 + (n - 1)3
⇒ 304 = 4 + 3n - 3
⇒ 304 = 1 + 3n
⇒ 3n = 304 - 1
⇒ 3n = 303
∴ n = 101

৪৭৫.

log_x(1/81) = - 4 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) - 1/3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/81) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/81) = - 4
⇒ x^{- 4}= 1/81
⇒ 1/x⁴ = 1/81
⇒ x⁴ = 81
⇒ x⁴ = 3⁴
x = 3

৪৭৬.

x + y + z = 20, x - z = y হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 10
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + z = 20, x - z = y হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x - z = y
⇒ y + z = x

x + y + z = 20
⇒ x + x = 20
⇒ 2x = 20
∴ x = 20/2
= 10

৪৭৭.

x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক কত?

ক
ক) (x² + 5)(x + 2)(x - 2)
খ
খ) (x² + 7)(x + 1)(x - 1)
গ
গ) (x² + 3)(x + 5)(x - 5)
ঘ
ঘ) (x² + 6)(x + 2)(x - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 16
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x²+ 7)(x² - 1)
= (x² + 7)(x² - 1²)
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

৪৭৮.

a - (1/a) = 4 হয়, তাহলে a³ - (1/a³) এর মান কত?

ক
58
খ
65
গ
76
ঘ
80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - (1/a) = 4 হয়, তাহলে a³ - (1/a³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 2

প্রদত্ত রাশি = a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3 · a · (1/a){a - (1/a)}
= 4³+ 3 · 4
= 64 + 12
= 76

৪৭৯.

কোন শ্রেণীতে যতজন শিক্ষার্থী তাদের প্রত্যেকে ততটি করে ২০ টাকা চাঁদা দেয়াতে ৫০,০০০ টাকা সংগৃহীত হলো। উক্ত শ্রেণীর শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
৩০ জন
খ
৯০ জন
গ
৫০ জন
ঘ
৬০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে যতজন শিক্ষার্থী তাদের প্রত্যেকে ততটি করে ২০ টাকা চাঁদা দেয়াতে ৫০,০০০ টাকা সংগৃহীত হলো। উক্ত শ্রেণীর শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, শিক্ষার্থী সংখ্যা x জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় 20x টাকা

প্রশ্নমতে,
x × 20x = 50000
⇒ 20x² = 50000
⇒ x² = 50000/20 = 2500
⇒ x = √2500 = 50

∴ শিক্ষার্থী সংখ্যা ৫০ জন।

৪৮০.

৩ উপাদান বিশিষ্ট একটি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

ক
৮
খ
৭
গ
৯
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ উপাদান বিশিষ্ট একটি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
n সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট একটি সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 টি

∴ ৩ উপাদান বিশিষ্ট একটি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2³ - 1 টি
= 8 - 1 টি
= 7 টি

৪৮১.

কোনো একটি অনুক্রমের n-তম পদ = {1 - (-1)ⁿ} / 2 হলে, 20-তম পদটি-

ক
ক) 0
খ
খ) -1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) অনির্ণেয়

ব্যাখ্যা

n-তম পদ = {1 - (-1)ⁿ} / 2
∴ 20-তম পদ = {1 - (-1)²⁰} / 2
= (1 - 1)/2
= 0

৪৮২.

a + b = 15 এবং a - b = 1 হলে ab এর মান কত?

ক
52
খ
56
গ
60
ঘ
64

ব্যাখ্যা

৪৮৩.

|3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?

ক
3 < x < (1/3)
খ
x < 3
গ
(- 1/3) < x < 3
ঘ
x > (- 1/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |3x - 4| < 5
⇒ -5 < 3x - 4 < 5
⇒ -5 + 4 < 3x < 5 + 4
⇒ - 1 < 3x < 9
⇒ - 1/3 < x < 9/3
⇒ - 1/3 < x < 3

∴ সমাধান হলো -1/3 < x < 3

৪৮৪.

log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
2
গ
2/3
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₆x = 0.75 = 75/100
⇒ log₁₆x = 3/4
⇒ x = 16^3/4
⇒ x = (2⁴)^3/4
⇒ x = 2³
∴ x = 8

৪৮৫.

log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab) = কত?

ক
0
খ
1
গ
abc
ঘ
1/abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab) = কত?

সমাধান:
log (a²/bc) + log (b²/ac) + log (c²/ab)
= log {(a²/bc)(b²/ac)(c²/ab)}
= log 1
= 0

৪৮৬.

x² - y² + 4x + 4 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x + y - 2
খ
খ) x - y - 2
গ
গ) x + y + 2
ঘ
ঘ) x + y + 1

ব্যাখ্যা

x² - y² + 4x + 4
= (x² + 4x + 4) - y²
= (x + 2)²- y²
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)
= (x + y + 2)(x - y + 2)

৪৮৭.

কোনো পরীক্ষণের S নমুনা ক্ষেত্রের অধীনে E একটি ঘটনা হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) 0 < P(E) ≤ 1
খ
খ) 0 ≤ P(E) ≤ 1
গ
গ) 0 ≤ P(E) < 1
ঘ
ঘ) 0 < P(E) < 1

ব্যাখ্যা

সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে ।
কোনো পরীক্ষণের S নমুনা ক্ষেত্রের অধীনে E একটি ঘটনা হলে 0 ≤P(E) ≤ 1

৪৮৮.

x² - 4x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত হলে k এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

x² - 4x + k = 0 সমীকরণের মুলদ্বয় a ও 1/a

আমরা জানি,
a(1/a) = ধ্রুবক পদ/x² এর সহগ
1= k/1
1 = k
k = 1

৪৮৯.

32, 16, 8, 4, …. ধারাটির ৮ম পদ কোনটি?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 32
সাধারণ অনুপাত r = 16/32 = 1/2
∴ ৮ম পদ = ar⁷ = 32×(1/2)⁷
= 32×(1/128)
= 1/4

৪৯০.

1² + 2² + 3² + ……… + 12² = কত?

ক
600
খ
624
গ
640
ঘ
650

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……… + 12² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {12(12 + 1)(2 · 12 + 1)}/6
= (12 · 13 · 25)/6
= 650

৪৯১.

(1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 - x) =?

ক
x¹⁶ - 1
খ
1 - x¹⁶
গ
1 + x¹⁶
ঘ
1 - x⁸

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) (1 - x) =?

সমাধান:
(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) (1 - x)
= (1 + x) (1 - x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x²) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x⁴) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
= (1 - x⁸) (1 + x⁸)
= (1 - x¹⁶)

৪৯২.

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
2(log₂log_√ee²)
= 2{log₂log_√e(√e)⁴}
= 2{log₂(4log_√e√e}
= 2log₂(4 × 1)
= 2log₂4
= 2log₂2²
= (2 × 2)log₂2
= 4 × 1
= 4

৪৯৩.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলোর প্রত্যেকটি একবার ব্যবহার করে অঙ্কগুলি দ্বারা সাত অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

ক
5040
খ
5320
গ
4320
ঘ
3320

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলোর প্রত্যেকটি একবার ব্যবহার করে অঙ্কগুলি দ্বারা সাত অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7! = 5040
0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (5040 - 720)
= 4320

৪৯৪.

- 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

ক
|x + 4| < 7
খ
|x + 2| < 6
গ
|x - 4| < 7
ঘ
|x + 1| > 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

৪৯৫.

আব্দুল করিম আব্দুর রহিমের চাইতে ৩ বছরের ছোট। আফজালের বয়স আব্দুল করিমের বয়স থেকে ২ বছর কম। মুমিনের বয়স যখন ৫ তখন আব্দুল করিম জন্মেছে। তাদের মধ্যে জ্যেষ্ঠতমের বয়স ৫২ হলে আফজালের বয়স কত?

ক
ক) ৫৪ বছর
খ
খ) ৪৫ বছর
গ
গ) ৫০ বছর
ঘ
ঘ) ৪৩ বছর

ব্যাখ্যা

ধরি,
রহিমের বয়স = ক বছর
∴ করিমের বয়স = (ক - ৩) বছর।
আফজালের বয়স = (ক - ৩ - ২) বছর।
= (ক - ৫) বছর।
এবং মুমিনের বয়স = (ক - ৩ + ৫) বছর।
= (ক + ২) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক + ২ = ৫২
∴ ক = ৫০
∴ আফজালের বয়স = (৫০ - ৫) বছর।
= ৪৫ বছর।

৪৯৬.

ক
1
খ
3
গ
0
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান;

৪৯৭.

log₃₆X = a হলে, log₆X = ?

ক
√a
খ
a/2
গ
2a
ঘ
a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃₆X = a হলে, log₆X = ?

সমাধান:
মনে করি,
log₃₆X = a
⇒ 36^a = X
⇒ (6²)^a = X
⇒ 6^2a = X

প্রদত্ত রাশি,
log₆X
= log₆6^2a
= 2alog₆6
= 2a

৪৯৮.

x² - (2/a - 3a)x - 8 এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল রাশির উৎপাদক (x - 2/a) হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

x² - (2/a - 3a)x - 8
= x² - 2x/a + 3ax - 6 - 2
= x(x - 2/a) + 3a(x - 2/a) - 2
= (x - 2/a)(x + 3a) - 2
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 এর সাথে 2 যোগ করলে, যোগফল রাশির উৎপাদক (x - 2/a) হবে।
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 + 2 = (x - 2/a)(x + 3a)

৪৯৯.

3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে (a, b) = কত?

ক
(1, 3)
খ
(2, 3)
গ
(2, 2)
ঘ
(3, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a + 4b = 14 এবং 4a - 3b = 2 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
3a + 4b = 14 .........(1)
4a - 3b = 2 ...........(2)

{(1) × 3} + {(2) × 4} ⇒
9a + 12b + 16a - 12b = 42 +8
⇒ 25a = 50
∴ a = 2

a এর মান (1) নং এ বসাই,
4b = 14 - (3 × 2)
∴ b = (14 - 6)/4 = 2

∴(a, b) = (2, 2)

৫০০.

x + y = 2, x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 8
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x + y = 2,
x² + y² = 4

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
2² = 4 + 2xy
4 = 4 + 2xy
2xy = 0
xy = 0

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
= 2³ - 3 . 0 . 2
= 8 - 0
= 8