বীজগণিত

প্রশ্ন: P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/4
P(B) = 1/3

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 1/4 × 1/3
= 1/12

আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 1/4 + 1/3 - 1/12
= (3 + 4 - 1)/12
= 6/12
= 1/2

∴ P(A ∪ B) = 1/2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১০০ জন ইতিহাসে, ৯০ জন ভূগোলে এবং ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু ইতিহাসে পাস = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
শুধু ভূগোলে পাস = (৯০ - ৬০) জন = ৩০ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৬০ জন

যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৪০ + ৩০ + ৬০) জন
= ১৩০ জন

প্রশ্ন: কোনটি 4x⁴ - 25x² + 36 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
4x⁴ - 25x² + 36
= 4x⁴ - 16x² - 9x² + 36
= 4x²(x² - 4) - 9 (x² - 4)
= (x² - 4) (4x² - 9)
= (x + 2)(x - 2){(2x)² - 3²}
= (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

এখানে, x + y = 9……. (i)
এবং x/y = 2 বা, x = 2y..(ii) হলে x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2y+y = 9
বা, 3y = 9
বা, y = 3
সুতরাং, x = 6

প্রশ্ন: যদি x + y = 3 এবং xy = - 10 হয়, তবে, x⁴ + y⁴ - 3 (x³y + xy³) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x² + px + 12 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p> 0 তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x² + px + 12 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
p²- 4 × 1 × 12
= p²- 48

যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p²- 48 = ০
বা, p²= 48
বা, p = √48
∴ p = 4√3

প্রশ্ন: p⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নয়-

সমাধান:
p⁶ - 64
= (p³)² - (8)²
= (p³ + 8)(p³ - 8)
= (p³ + 2³)(p³ - 2³)
= (p + 2)(p² - 2p + 2²)(p - 2)(p² + 2p + 2²)
= (p + 2)(p² - 2p + 4)(p - 2)(p² + 2p + 4)

log₅25√5 = log₅5².5¹/²
= log₅5²⁺¹/²
= log₅5⁵/²
= 5/2 log₅5
= 5/2 ×1
= 5/2

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তাহলে x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 4
⇒ (x + 1/x)² = 4² [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ x² + 2 × x × (1/x) + 1/x² = 16
⇒ x² + (1/x²) = 16 - 2
⇒ x² + (1/x²) = 14

আবার,
⇒ {x² + (1/x²)}² = 14²
⇒ (x²)² + 2 × x² × (1/x²) + (1/x²)² = 196
⇒ x⁴ + 2 + (1/x⁴) = 196
⇒ x⁴ + (1/x⁴) = 196 - 2
∴ x⁴ + (1/x⁴) = 194

ডিমরগানের উপপাদ্য অনুসারে,
(A∩B∩C)′ = A′∪B′∪C′

4x² + 4xy - 2y - 1
= (2x)² - 1² + 2y(2x - 1)
= (2x + 1)(2x - 1) + 2y(2x - 1)
= (2x - 1)(2x + 2y + 1)

প্রশ্ন: 10 - 2x ≥ x - 2 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
10 - 2x ≥ x - 2
⇒ - 2x - x ≥ - 2 - 10
⇒ - 3x ≥ - 12
∴ x ≤ 4 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 4]

(- ∞, 4] বলতে বোঝায় যে, 4 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: x⁴ ÷ x⁶ × x² = ?

সমাধান:
x⁴ ÷ x⁶ × x²
= x^{4 - 6} × x² (ভাগ থাকলে পাওয়ার বিয়োগ হয়)
= x^-2 × x²
= x^{-2 + 2} (গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ হয়)
= x⁰ 
= 1

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5
এবং
x + 3 < 0
∴ x < - 3
কিন্তু, 
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 
∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3

∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3} । 

প্রশ্ন: p² + q² = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?

সমাধান:
p - 1 = √2
⇒ p = 1 + √2

p² + q² = 6
⇒ (1 + √2)² + q² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + q² = 6
⇒ 3 + 2√2 + q² = 6
⇒ q² = 3 - 2√2
⇒ q² = 2 -  2√2 + 1
⇒ q² = (√2)² -  2√2 + 1²
⇒ q² = (√2  - 1)²
⇒ q = √2 - 1
∴ q + 1 = √2

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে (B')' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}

এখন,
(B')' = U - B'
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 3, 5, 7}
= {2, 4, 6}

∴ (B')' = {2, 4, 6} = B

বি: দ্র: (B')' = B, অর্থাৎ কোনো সেটের ডাবল পরিপূরক সেই সেট নিজেই হয়।

a⁰ = 1
∴ n = 0

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এবং a² - 4a - 21 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

a² - 4a - 21
= a² - 7a + 3a - 21
= a(a - 7) + 3(a - 7)
= (a - 7)(a + 3)

(x² + y²)² = (x² - y²)² + ৪ . x² . y²
⇒ ১৩^২ = (x² - y²)² + ৪.৬^২
⇒ (x² - y²)² = ১৬৯ - ১৪৪
= ২৫
∴ x² - y² = 5

∴ x² - y² = ৫ …… (১)
x² + y² = ১৩ …… (২)

(১) নং + (২) নং দ্বারা পাই,
2x² = ১৮
বা, x² = ৯
∴ x = ±৩

(২) নং - (১)নং দ্বারা পাই,
2y² = ৮
বা, y² = ৪
∴ y = ±২
∴ xy > 0

∴ x, y একই চিহ্ন বিশিষ্ট হবে।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে লাল আছে = ৭টি 
বাক্সে  কালো আছে = ৯টি 
সাদা বল আছে = ৬টি 

∴ মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি  = ২২ টি 

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১  
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২

∴ বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা  = (৩/১১) + (৭/২২)
= (৬ + ৭)/২২
= ১৩/২২

সুতরাং, বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা ১৩/২২।

x² + y + 3 = 0
বা, 1.x² + 1.y + 3 = 0
বা, 0 = x².1² + y.1 + 3 
এখানে, y = 0, a = x² , b = y, x = 1, ধরলে আমরা পরিবৃত্ত বা প্যারাবোলার সমীকরণ পাই,
y = ax² + bx + c 

উল্লেখ্য,
পরিবৃত্ত: তিনটি শীর্ষবিন্দু যোগ করে যেমন একটিমাত্র ত্রিভুজ হয় তেমনি তিনটি বিন্দুগামী (শীর্ষ) বৃত্তও একটিই, এর নাম পরিবৃত্ত।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d

চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d 

দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20

তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15=15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 20/2
= 150

মোট বল = 6 + 7 = 13
∴ একটি সাদা ও একটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (6/13 × 7/12) + (7/13 × 6/12)
= 7/(2 × 13) + 7/(2 × 13)
= 7/13