বীজগণিত

প্রশ্ন: - 2 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে কোনটি হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5

∴ সমাধান: |x - 3| < 5

প্রশ্ন: ⁿP_r = 240 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 240
⇒ ⁿP_r = 120 × 2
⇒ ⁿP_r = ⁿC_r × 2
⇒ n!/(n - r)! = n!/r!(n - r)!  × 2
⇒ 1 = (1/r!) × 2
⇒ r! = 2!
∴ r = 2

সংখ্যা দু'টির গড় = -30 -40/2
= -35
∴ গড় ব্যবধান = {|-30 - (-35)| + |-40 - (-35)|}/2
= |5| + |-5|/2
= 10/2
= 5

প্রশ্ন: a² - a - 56 = 0 হলে a = ?

সমাধান: 
a² - a - 56 = 0 
a² - 8a + 7a - 56 = 0
a(a - 8) + 7(a - 8) = 0
(a - 8)(a + 7) = 0

হয় 
a - 8 = 0
a = 8

অথবা 
a + 7= 0
a = - 7

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ৩ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০ = ১০  টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২০ = ১/২ 
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/১৯
∴ তৃতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৮ = ৪/৯ 

∴ ৩ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (১/২) × (৯/১৯) × (৪/৯) 
= ২/১৯ 

সুতরাং, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ২/১৯। 

প্রশ্ন: 2(a² - b²) এবং (a² - 2ab + b²) এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 2(a² - b²)
= 2(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (a - b)(a - b) 

এখানে,
সাংখ্যিক সহগ 2 ও 1 এর গ.সা.গু = 1
এবং সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = (a - b)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1 × (a - b)
= (a - b) 

x⁶ + 4x³ - 1
= x⁶ + x³ - 1 + 3x³
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3.x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x².x - x²(-1) - x(-1)}
= (x² + x - 1)(x⁴ + x² + 1 - x³ + x² + x)
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)

(৪০ + ১০) = ৫০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৫০ × ১৫·২) = ৭৬০ বছর
৪০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ১৫) = ৬০০ বছর
∴ নতুন ১০ জনের বয়সের গড় = ১৬০/১০ = ১৬ বছর

প্রশ্ন: 12x² + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
12x² + 11x - 15
⇒ 12x² + 20x - 9x - 15
⇒ 4x(3x + 5) - 3(3x + 5)
⇒ (3x + 5)(4x - 3)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴) এর গুণফল?

সমাধান:
(p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴)
={(p²)² - (q²)²}(p⁴ + q⁴)
=(p⁴ -q⁴)(p⁴ + q⁴)
= (p⁴)² - (q⁴)²
= p⁸ - q⁸

ISTANBUL CANAL শব্দদ্বয়ে মোট 13টি অক্ষর রয়েছে যাদের 3টি A,
2টি N, 2টি L এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 13!/3!2!2!

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
n তম পদ = ar^n-1
∴ তৃতীয় পদ ar^3-1 = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar^6-1 = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i) ⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

প্রশ্ন: |x - 5| = 6 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
(x - 5) ধনাত্নক হলে,
বা, x - 5 = 6
বা, x - 5 = 6 + 5
x = 11

আবার (x - 5) ঋণাত্নক হলে,
- (x - 5) = 6
x - 5 = - 6
x = - 1
∴নির্ণেয় সমাধান সেট = {- 1, 11}

প্রশ্ন: p + q + r = 8  এবং pq + qr + rp = 19 হলে p² + q² + r² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q + r = 8
pq + qr + rp = 19

আমরা জানি,
(p + q + r)² = (p² + q² + r²) + 2(pq + qr + rp)

∴ p² + q² + r² = (p + q + r)² - 2(pq + qr + rp)
= 8² - 2 × 19
= 64 - 38
= 26

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির ৩১ তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,...........
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ)
= (23 - 20)
= 3
এবং পদসংখ্যা, n = 31

∴ ধারাটির ৩১ তম পদ = a + (n - 1) d
= 20 + (31 - 1) × 3
= 20 + (30 × 3)
= 20 + 90
= 110

প্রশ্ন: 18 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
18 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁸C₃
= 18!/{3! × (18 - 3)!}
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 × 15!)/(3 × 2 × 1 × 15!)
= (18 × 17 × 16)/(3 × 2 × 1)
= (18 × 17 × 16)/6
= 4896/6
= 816

প্রশ্ন: 5^a + 6·5^a + 18·5^a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 6 · 5^a + 18 · 5^a = 1
⇒ 25 · 5^a = 1
⇒ 5² · 5^a = 5⁰ [a⁰ = 1 অনুসারে 1 = 5⁰]
⇒ 5^{2 + a} = 5⁰
⇒ 2 + a = 0
∴ a = - 2

প্রশ্ন: log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত? 

সমাধান: 
log 6 = log(2 × 3)
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781

প্রশ্ন: - 5 < y < 9 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ কী হবে?

সমাধান:
উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 5 + 9)/2 = 4/2 = 2

এখানে,
- 5 < y < 9
⇒ - 5 - 2 < y - 2 < 9 - 2
⇒ - 7 < y - 2 < 7
⇒ |y - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ |y - 2| < 7

১ম সমীকরণ, 3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে 7 দিয়ে গুণ করা হয়েছে]

সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a³ - ab²
= a(a² - b²)
= a(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a⁴ + 2a³b + a²b²
= a²(a² + 2ab + b²)
= a²(a + b)²

a³ - ab² এবং a⁴ + 2a³b + a²b² এর মৌলিক উৎপাদক = a(a + b)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + b)। 

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

x এর এমন কোন বাস্তবমান পাওয়া সম্ভব নয় যা x² = 25 এবং 2x - 8 উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ A = ∅

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + .......... ধারাটির প্রথম 32 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা এবং পদ সংখ্যা, n = 32

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 32 টি পদের সমষ্টি S₃₂ = (32/2) × {2 × 7 + (32 - 1)5}
= 16 × (14 + 31 × 5)
= 16 × 169
= 2704

x - 3, f(x) = x² - ax + 3 এর একটি উৎপাদক 
∴ f(3) = 0
বা, 9 - 3a + 3 = 0
বা, 3a = 12
∴ a = 4

প্রশ্ন: x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
 
এখন,
1/x
= 1/(√8 + √7)
= (√8 - √7)/ (√8 + √7) (√8 - √7)
=  (√8 - √7)/ {(√8)² - (√7)²}
= (√8 - √7)/(8 - 7)
= √8 - √7
= 2√2 - √7

প্রশ্ন: ‘LOGARITHMS’ শব্দটির অক্ষরগুলো ব্যবহার করে (অর্থপূর্ণ বা অর্থহীন), অক্ষরের পুনরাবৃত্তি না করে কতটি চার অক্ষরের শব্দ গঠন করা যায়?

সমাধান:
দেয়া আছে,

‘LOGARITHMS’ শব্দটিতে ১০টি ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।

সুতরাং, ১০টি অক্ষর থেকে একসঙ্গে ৪টি করে নিয়ে শব্দ গঠনের সংখ্যা =
১০টি অক্ষর থেকে ৪টি করে নেওয়ার বিন্যাস সংখ্যা 
= ^১০P_৪ 
= (১০ x ৯ x ৮ x ৭)
= ৫০৪০ 

২টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হয়।
∴ মোট খেলা = ^৭c_২ 
= ২১

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে ২৫ জন ছাত্রের মধ্যে ১২ জন জীববিজ্ঞান এবং ৭ জন জীববিজ্ঞান ও উচ্চতর গণিত উভয় বিষয় নিয়েছে। ২ জন ছাত্র কোনো বিষয় নেয়নি। কতজন ছাত্র শুধু  উচ্চতর গণিত নিয়েছে?

সমাধান:

কোনো বিষয় নেয়নি = ২ জন 
উভয় বিষয় নিয়েছে = ৭ জন
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (১২ - ৭) জন = ৫ জন 
ধরি,
শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে = x জন

প্রশ্নমতে,
৫ + x + ৭ + ২ = ২৫
⇒ ১৪ + x = ২৫
⇒ x = ২৫ - ১৪
⇒ x = ১১

অর্থাৎ ১১ জন ছাত্র শুধু উচ্চতর গণিত নিয়েছে। 

প্রশ্ন: যদি 0 < y < 1  হয়, তবে কোনটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান: 
0 < y < 1 হলে y = 0.1 ধরে পাই, 

ক) y = 0.1

খ) 1/y = 1/0.1 = 10

গ) y² = (0.1)² = 0.01
 
ঘ) 1/y³ = 1/(0.1)³ = 1/0.001 = 1000

সুতরাং সবচেয়ে ছোট মান হলো গ) y²

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, a=1 d=4
∴ n তম পদ = 1 + (n-1)4
=1+4n-4
=4n-3

প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: (x + 4)(x - 4) কে x² - 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 4)(x - 4)
= x² - 4²
= x² - 16

এখন,
 x² - 10)  x² - 16  ( 1
               x² - 10   
—————————
                     - 6

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 6

প্রশ্ন: a³ - 3a²b + 2b³ এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 3a²b + 2b³
= a³ - a²b - 2a²b + 2ab² - 2ab² + 2b³
= a²(a - b) - 2ab(a - b) - 2b²(a - b)
= (a - b) (a² - 2ab - 2b²)

z^c = x
(y^b)^c = x [z = y^b]
(x^a)^bc = x
x^abc = x¹
abc = 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x + y = 14 এবং xy = 49 হয়, তবে (x² + y²)/xy = ?

সমাধান: