বীজগণিত

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ১/২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ১/২
বা, (১/২)^(n-১) = ১/(১২৮×২)
বা, (১/২)^(n-১) = ১/২৫৬
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৮
বা, n-১ = ৮
বা, n = ৯

প্রশ্ন: 6x - 8 ≤ 4x + 6 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6x - 8 ≤ 4x + 6
⇒ 6x - 4x ≤ 6 + 8
⇒ 2x ≤ 14
⇒ x ≤ 7

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 7]

(- ∞, 7] বলতে বোঝায় যে, 7 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: a + b = √11 এবং a = √7 + b হলে ab এর মান কত?  

সমাধান: 
a + b = √11 
a = √7 + b
a - b = √7

ab = {(a + b)/2}² -  {(a - b)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(A) = 1/4, P(B) = 2/7 হলে, P(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P(A) = 1/4 এবং P(B) = 2/7

আমরা জানি, 
A ও B স্বাধীন ঘটনা হলে, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
∴ P(A ∩ B) = (1/4) × (2/7)
= (1 × 2)/(4 × 7)
= 2/28
= 1/14

∴ P(A ∩ B) = 1/14

প্রশ্ন: 4x² + 25y² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² + 25y²
= (2x)² + 2 . 2x . 5y + (5y)² - 20xy
= (2x + 5y)² - 20xy

∴ 4x² + 25y² রাশিটির সাথে 20xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

এখানে।
d = 8, প্রথম পদ a হলে,
7-তম পদ = a + (7 - 1)d = 53
বা, a + 6.8 = 53
বা, a = 53 - 48 = 5
∴ 16-তম পদ = a + (16 - 1)8
= 5 + 15 × 8
= 125

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0 হলে P³ + 6 এর মান কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
P = - (2^1/3 + 2^2/3)

ধরি, 
a = 2^1/3, b = 2^2/3, ab = (2^1/3)(2^2/3) = 2^{(1 + 2)/3} = 2^3/3 = 2¹ = 2
এবং a + b = - P

আমরা জানি,
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
⇒ (- P)³ = (21/3)³ + (2^2/3)³ + 3 × 2(- P)
⇒ - p³ = 2 + 4 - 6p
⇒ - p³ = 6 - 6p
⇒ p³ = 6p - 6
∴ P³ + 6 = 6p

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2 

∴ ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

∴ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি = 6  ।

প্রশ্ন: |x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 4x - 10 < n হবে?

সমাধান:
|x - 5| < 2
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ - 2 + 5 < x < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7
⇒ 3 × 4 < 4x < 7 × 4
⇒ 12 < 4x < 28
⇒ 12 - 10 < 4x - 10 < 28 - 10
⇒ 2 < 4x - 10 < 18

এখন, m < 4x - 10 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 18।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে ৬টি করে মোট ১২টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ ৫টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট ৭টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে ৫টির বেশি নেওয়া যাবে না। তাহলে, সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-

১) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 5টি
২) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
৩) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
৪) ক বিভাগ থেকে 5টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(১) ⁶C₂ × ⁶C₅ = 15 × 6 = 90
(২) ⁶C₃ × ⁶C₄ = 20 × 15 = 300
(৩) ⁶C₄ × ⁶C₃ = 15 × 20 = 300
(৪) ⁶C₅ × ⁶C₂ = 6 × 15 = 90

∴ মোট উপায় = 90 + 300 + 300 + 90 = 780

১ম পদ, a = 5,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৪র্থ পদ = ar^4-1 = 135
বা, 5r³ = 135
বা, r³ = 27 = 3³
∴ r = 3
∴ a = ২য় পদ
= ar
= 5.3
= 15

প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - 2 = √3
x = 2 + √3

∴ 1/x = 1/(2 +√3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² -(√3)²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/x = 2 - √3

এখন, x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি,
x⁴ + 1/x⁴ = (x²)² + (1/x²)²
 = (x² + 1/x²)² - 2 . x² . 1/x²
= {(x + 1/x)² - 2 . x . 1/x}² - 2
= {(4)² - 2}² - 2
= (16 - 2)² - 2
= 196 - 2
= 194

প্রশ্ন: x⁴ - 27x² + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x⁴ - 27x² + 1
= (x²)² - 2.x² .1 + 1² - 25x²
= (x² - 1)² - (5x)²
= (x² - 1 + 5x)(x² - 1 - 5x)
= (x² + 5x - 1)(x² - 5x - 1)

প্রশ্ন: (x/2)^{a + 3} = 1 হলে a-এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2)^{a + 3} = 1 
বা, (x/2)^{a + 3} = (x/2)⁰ 
বা, a + 3 = 0 
∴ a = - 3

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

শর্তমতে, a - ১১ = ৪০
বা, a = ৪০ + ১১

x² - y² -2y - 1
= x² - (y + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৪৫ জন ছাত্র আছে। এর মধ্যে ২৩ জন ফুটবল খেলে, ১৮ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৬ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?

সমাধান:
যে কোন একটি বা উভয়টিই খেলে, n(F ∪ C) = ৪৫ - ৬ জন 
= ৩৯ জন

ফুটবল খেলে, n(F) = ২৩ জন
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ১৮ জন

আমরা জানি,
n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
⇒ n(F ∩ C) = n(F) + n(C) - n(F ∪ C)
= ২৩ + ১৮ - ৩৯
= ৪১ - ৩৯
= ২

∴ উভয়টিই খেলে = ২ জন

এখানে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫১ = ২৫৫
শেষের ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪ × ৪৭ = ১৮৮
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৫৩৩ - (২৫৫ + ১৮৮)
= ৫৩৩ - ৪৪৩
= ৯০

এখানে x+2y = 4…..(1)
এবং x/y = 2
বা, x = 2y….(2)
(1)নং হতে পাই,
2y + 2y = 4
বা, 4y = 4
বা, y = 1
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2.1 = 2

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হয়, তাহলে, {x² + y² + 4xy}² = ?

সমাধান:
x² + y² + 4xy
= (x + y)² - 2xy + 4xy
= (x + y)² + 2xy
= (5)² + 2 × 6
= 25 + 12
= 37

∴ {x² + y² + 4xy}² = (37)² = 1369

প্রশ্ন: x² - y² + 2y -1  এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 11} হলে (A - B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}

এখন, 
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}
= {2, 3, 5, 7}

A - B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}
= {7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7}
= {8, 9, 10}

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 840 এবং ⁿC_r = 140 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 840 এবং ⁿC_r = 140

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 840 = 140 × r!
​⇒ r! = 840/140
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: সেট A = {x : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং x² < 100} হলে, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, আমাদের এমন মৌলিক সংখ্যা বের করতে হবে যার বর্গ 100 এর থেকে ছোট।
x² < 100
⇒ x < √100
⇒ x < 10

অতএব, 10-এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 2, 3, 5, 7
সুতরাং, সেট A = {2, 3, 5, 7}

A সেটের উপাদান সংখ্যা = 4
আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেট P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হয় 2ⁿ.

∴ P(A)-এর উপাদান সংখ্যা = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: x³ - qx + 15 = 0 এর একটি সমাধান 3 হলে q এর মান কত?

সমাধান:
(3)³ - q(3) + 15 = 0
⇒ 27 - 3q + 15 = 0
⇒ - 3q = - 42
⇒ q = 14