বীজগণিত

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + ............ + ১৪৭ ধারায় কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৭

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৭ = ২ + (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৭ - ২ = (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৫ = (n - ১) × ৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে ৩০টি পদ আছে।

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণ অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯

দেওয়া আছে, a + b = 4 এবং a - b = 2
আমরা জানি, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
= 4² + 2²
= 16 + 4
= 20

প্রশ্ন: ১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, এই ধারার শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ........., ২১৬ 
১^৩ = ১
২^৩ = ৮
৩^৩ = ২৭
৪^৩ = ৬৪
৫^৩ = ১২৫
৬^৩ = ২১৬
∴ লুপ্ত সংখ্যাটি হচ্ছে = ১২৫

∴ ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬  ।

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3, P(B) = 2/5 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(A|B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

আমরা জানি, স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
এবং শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র হলো P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

এখন,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/3) × (2/5)
= 2/15

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/(2 + 6 + 7)
= 6/15
= 2/5
লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা = 1-(2/5)
= 3/5

প্রশ্ন: 2x²+ x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = 2x² + x - 15
মিডিলটার্ম করে পাই = 2x² + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3) 
= (2x - 5)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(2x - 5)

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, প্রাপ্ত সংখ্যার গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬

এখন, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসে।
জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬ = মোট ৩টি এবং বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = মোট ৩টি

গুণফল জোড় হবে না শুধুমাত্র যখন দুটি ছক্কাতেই বিজোড় সংখ্যা আসবে।
দুটি ছক্কায় বিজোড়-বিজোড় আসার সম্ভাব্য ফলাফল, 
(১, ১), (১, ৩), (১, ৫), (৩, ১), (৩, ৩), (৩, ৫), (৫, ১), (৫, ৩), (৫, ৫) = ৯টি
অর্থাৎ,
গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৯/৩৬ = ১/৪

∴ গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ - (গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা)
= ১ - (১/৪)
= ৩/৪

সুতরাং, গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৩/৪

ধরি, x = 2, y = 3 এবং z = 4
এখন, y-xz = 3-2×4 = -5>0
যা অবশ্যই ভুল।

১৭-১৩=৪
২৫-১৭=৮
৪১-২৫=১৬
৭৩-৪১=৩২
সুতরাং ৪, ৮, ১৬, ৩২ ক্রম ঠিক রাখতে উত্তর ৭৩ হবে।

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x² + x = 9(x + 1) 
বা, x² + x = 9x + 9 
বা, x² + x − 9x − 9 =0 
বা, x² − 8x − 9 = 0 
বা,  x² − 9x + x − 9 = 0 
বা, x(x − 9) + 1 (x − 9) = 0 
বা, (x − 9) (x + 1) = 0 
হয়,
x − 9 = 0
∴ x = 9 

অথবা,
x + 1 = 0 
বা, x = − 1
কিন্তু x ≠ − 1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না। 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 12 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 12
বা, 2{a + (1/a)} = 12
বা, a + (1/a) = 12/2
∴ a + (1/a) = 6

এখন,
 a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: 3x - 7 ≤ 8 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 7 ≤ 8
⇒ 3x - 7 + 7 ≤ 8 + 7 [উভয়পক্ষে 7 যোগ করে]
⇒ 3x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/3
∴ x ≤ 5

প্রশ্ন: 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 4 বার।
3 আছে 2 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 2 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (4 বার),
∴ 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 2

A - B হলো A সেটে বিদ্যমান কিন্তু B তে নাই এমন উপাদানের সেট = {1,2,3} = A

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + 20 + ................ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 10 - 5 = 5 
পদ সংখ্যা n = 12

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₂ = (12/2)[2 × 5 + (12 - 1) × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 11 × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 55]
⇒ S₁₂ = 6 × 6
⇒ S₁₂ = 390

∴ প্রথম 12টি পদের যোগফল 390। 

ইংরেজি স্বরবর্ণ আছে পাঁচটি (a, e, i, o, u)
যেহেতু,
বর্ণের পুনরাবৃত্তি হবে সুতরাং মোট পাসওয়ার্ড সংখ্যা = 5⁴ = 625

প্রশ্ন: E গুলো একত্রে এবং প্রথমে রেখে "ENGINEERING" শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"ENGINEERING" শব্দটিতে
মোট বর্ণ = ১১টি 
যেখানে,
E = ৩টি,
N = ৩টি,
G = ২টি,
I = ২টি
এবং R = ১টি।

শর্ত অনুযায়ী, E গুলো একত্রে এবং প্রথমে থাকবে। অর্থাৎ E গুলোর অবস্থান নির্দিষ্ট। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৮!/(৩! × ২! × ২!) 
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩! × ২ × ২)
= ১৬৮০ 

প্রশ্ন: কোন সেটের উপাদান সংখ্যা 6 হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট কতটি হবে?

সমাধান:
একটি সেটে উপাদান সংখ্যা = 6
মোট উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶ = 64
সুতরাং, প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 64 - 1 = 63টি 

প্রথম রাশি, x³ + x²y
= x²(x + y)
দ্বিতীয় রাশি, x²y + xy²
= xy(x + y)

∴ গ.সা.গু = x(x + y)

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9 হয়, তবে ab-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 189 = 9³ - 3ab × 9
⇒ 189 = 729 - 27ab
⇒ 27ab = 729 - 189
⇒ 27ab = 540
⇒ ab = 540/27
∴ ab = 20

প্রশ্ন: q² + 7q - 120 এর একটি উৎপাদক q - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
q² + 7q - 120
= q² - 8q + 15q - 120
= q(q - 8) + 15(q - 8)
= (q - 8)(q + 15)

এখানে,
d = 5
∴ 11তম পদ = a + (11 - 1)d = 54
বা, a + 10 × 5 = 54
বা, a = 54 - 50 = 4
∴ 15তম পদ = 4 + (15 - 1)5
= 4 + 14 × 5
= 4 + 70
= 74

প্রশ্ন: যদি p² + 2p - 35 এর একটি উৎপাদক (p + 7) হয়, তবে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p² + 2p - 35
= p² + 7p - 5p - 35
= p(p + 7) - 5(p + 7)
= (p + 7)(p - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক (p - 5)। 

n(n+1)/2
= (99 X 100)/2
= 4950

বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য = ২, ৪, ৬
বিজোড় সংখ্যা অথবা ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ={১, ৩, ৫} ∪ {২, ৪, ৬}
= {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
একটি ছক্কার নমুনা বিন্দু = ৬
সম্ভাব্যতা = ৬/৬ = ১

প্রশ্ন: 'PROGRAM' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'PYTHON' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'PROGRAM' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 7 টি (P, R, O, G, R, A, M)
যেখানে R আছে 2 বার

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 2520

আবার, 
'PYTHON' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি (P, Y, T, H, O, N)
যেখানে কোন পুনরাবৃত্তি নেই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720

'PROGRAM' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'PYTHON' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 2520/720 = 3.5 গুণ।

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x⁶ − 1/x⁶ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² − 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x − 1)² = 0
বা, x − 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x⁶ − 1/x⁶
= (1)⁶ − {1/(1)⁶}
= 1 − 1/1
= 1 − 1
= 0

প্রশ্ন: x⁶ - y⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁶ - y⁶
= (x³)² - (y³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x - y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x - y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

প্রশ্ন: |4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 4x - 20 = 24
⇒ 4x = 44
⇒ x = 11

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: -(4x - 20) = 24
⇒ - 4x + 20 = 24
⇒ - 4x = 4
⇒ x = - 1

সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি: 11 + (-1) = 10

∴ x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি = 10