বীজগণিত

প্রশ্ন: (9k² + 6k - 24) এবং (3k² + 11k + 6) এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
প্রথম বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
9k² + 6k - 24
= 3(3k² + 2k - 8)
= 3(3k² + 6k - 4k - 8)
= 3{3k(k + 2) - 4(k + 2)}
= 3(3k - 4)(k + 2)

এবং দ্বিতীয় বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,
3k² + 11k + 6
= 3k² + 9k + 2k + 6
= 3k(k + 3) + 2(k + 3)
= (3k + 2)(k + 3)

সুতরাং, কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। 
সঠিক উত্তর: ঘ) কোনটিই নয়

(21 X 21 এর 21) / (21 / 21 X 21)
= (21 X 441) / (1 X 21)
= 441

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x - y = 6 হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10
x - y = 6
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {10/2}² - {6/2}²
= (5)² - (3)²
= 25 - 9
= 16

x > y এবং z ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় xz < yz হবে।

x - y =0 ---(1)
x+2y = 3 --(2)
(1) এবং (2) সমাধান করে পায়,
x,y = 1,1

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং  a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²}/2
= {(13)² + (3)²}/2
= (169 + 9)/2
= 178/2
= 89

TIME শব্দটিতে মোট অক্ষর = 4 টি, স্বরবর্ণ = 2 টি
∴ I দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6 
E দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = ³p₃ = 6
∴ বিন্যাস = 6+6 = 12

প্রশ্ন: x² - y² = 15 এবং x + y = 5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3

প্রদত্ত রাশি, 
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

প্রশ্ন: 125x³ + 64y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125x³ + 64y³
= (5x)³ + (4y)³
= (5x + 4y) {(5x)² - (5x)(4y) + (4y)²}
= (5x + 4y)(25x² - 20xy + 16y²)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।

• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

a = 12,
r = 24/12 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 768 = 12.2^n-1
বা, 2^n-1 = 64 = 2⁶
বা, n - 1 = 6
∴ n = 7
∴ সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 12 × 127
= 1524

প্রশ্ন: যদি 2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320 হয়, তাহলে n = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2^{n - 1} + 2^{n + 1} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1 + 2} = 320
⇒ 2^{n - 1} + 2^{n - 1}⋅2² = 320
⇒ 2^{n - 1} + 4⋅2^{n - 1} = 320
⇒ 2^{n - 1}(1 + 4) = 320
⇒ 2^{n - 1}⋅5 = 320
⇒ 2^{n - 1} = 320/5 = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

x³ - 1
= (x - 1)(x² + x + 1)

x³ + 1
= (x + 1)(x² - x + 1)

x⁴ + x² + 1
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

∴ ল.সা.গু = (x + 1) (x - 1) (x² + x + 1) (x² - x + 1)
= (x³ + 1) (x³ - 1)
= x⁶ - 1

প্রশ্ন: 100 জন লোকের মধ্যে 65 জন চা পছন্দ করে, 50 জন কফি পছন্দ করে এবং 15 জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন উভয়টিই পছন্দ করে? 

সমাধান:
মোট লোক = 100 জন
কোনোটিই পছন্দ করে না = 15 জন
∴ অন্তত একটি (চা বা কফি বা উভয়) পছন্দ করে = 100 - 15 = 85 জন
চা পছন্দ করে, T = 65 জন
কফি পছন্দ করে, C = 50 জন

আমরা জানি, 
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) - n(T ∩ C)  ; এখানে (T ∪ C) = অন্তত একটি পছন্দ করে = 85 জন
⇒ 85 = 65 + 50 - n(T ∩ C)
⇒ 85 = 115 - n(T ∩ C)
⇒ n(T ∩ C) = 115 - 85
∴ n(T ∩ C) = 30

সুতরাং, 30 জন উভয়টিই (চা ও কফি) পছন্দ করে।

 x² + y² = 50
বা, (x + y)² - 2xy = 50
বা, 8² - 2xy = 50
64 - 50 = 2xy
বা, 2xy = 14
∴ xy = 7

n(S) = number of ways of sitting 12 persons at round table:
= (12 - 1)! = 11!
Since two persons will be always together, then number of persons:
= 10 + 1 = 11
So, 11 persons will be seated in (11 - 1)! = 10! ways at round table and 2 particular persons will be seated in 2! ways.
n(A) = The number of ways in which two persons always sit together = 10! × 2
P(A) = n(A)/n(S) = (10!×2!) / 11! = 2/11

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 9 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 9

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/9
= 7

প্রশ্ন: যদি x + y = a, x - y = b হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = a² - b²
⇒ 4xy/2 = (a² - b²)/2
⇒ 2xy = (a² - b²)/2

প্রশ্ন: যদি a + b = 6 এবং a - b = 2 হয় , তাহলে 2(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6 এবং a - b = 2

∴ 2(a² + 2b²)
= {(a + b)² + (a - b)²}
= (6)² + (2)²
= 36 + 4 
= 40

বাক্সে,
সবুজ মার্বেল সংখ্যা = 4 টি
বেগুনী মার্বেল সংখ্যা = 12 টি
মোট মার্বেল সংখ্যা = 20 টি
3 টি মার্বেল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁸c₃ + ¹²c₃)/²⁰C₃
= 276/1140
= 23/95

16 - 2x³ = 0
বা, -2(x³ - 8) = 0
বা, x³ - 8 = 0
বা, (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0

হয়, x - 2 = 0
∴ x = 2
অথবা, x² + 2x + 4 = 0

a = 2, r = 1/2, n = 8
∴ সমষ্টি = a.{(1 - r⁸)/(1 - r)
= 2.{(1 - (1/2)⁸}/(1 - 1/2)
= 2.{1 - (1/256)}/(1/2)
= 2 × 2 × (255/256)
= 255/64

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = √x + (1/√x) 
B = √x - (1/√x) 

প্রশ্ন: p = 4, q = 6, r = 3 হলে, 4p²q² - 16pq²r + 16q²r² এর মান কত?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
p = 4
q = 6
r = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = 4p²q² - 16pq²r + 16q²r²
= (2pq)² - 2 × 2pq · 4qr + (4qr)²
= (2pq - 4qr)²
= (2 × 4 × 6 - 4 × 6 × 3)²
= (48 - 72)²
= (- 24)²
= 576

9x² - ax + 4
= (3x)² - 2.3x.2 + 2² + 2.3x.2 - ax
= (3x - 2)² + 12x - ax
রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে যদি,
12x - ax = 0
বা, ‍-ax = -12x
বা, a = 12

3x - 2y = 5 ......(1)
2x + 3y = 12 .....(2)
সমীকরণ (1) কে তিন দিয়ে এবং (2) কে দুই দিয়ে গুণ করে পাই,
(1) + (2) করে,
বা, 13x = 39
x = 3
x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে,
বা, 2.3 + 3y = 12
বা, 3y = 6
y = 2
(x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: f(x) = x² + x - 6 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
f(x) = x² + x - 6
আবার,
f(x) = 0

এখন,
x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

প্রশ্ন: x² - 6x + 8 < 0 হলে -

সমাধান:
x² - 6x + 8 < 0
x² - 4x - 2x + 8 < 0
x(x - 4) - 2(x - 4) < 0
∴ (x - 4)(x - 2) < 0

x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 4
2 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 4
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 4

প্রশ্ন: M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 এবং N(x) = x² - 2x + 3 হলে, M(x)/N(x) এর মাত্রা কত?

সমাধান:
M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 
 সর্বোচ্চ ঘাত হলো 3, তাই M(x) এর মাত্রা 3
এবং 
N(x) = x² - 2x + 3
সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2, তাই N(x) এর মাত্রা 2

M(x)/(N) = x³/x² = x^{3 - 2} = x¹
অতএব, M(x)/N(x)​ এর মাত্রা হলো 1

প্রশ্ন: 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গনিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থীকে দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে তার কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি,
গনিতে ফেল করার ঘটনা = A
∴ P(A) = 40/200 = 1/5

পরিসংখ্যানে ফেল করার ঘটনা = B
∴ P(B) = 20/200 = 1/10

উভয় বিষয়ে ফেল করার ঘটনা = P(A ∩ B) = 10/200 = 1/20

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = P(A' ∩ B) + P(A ∩ B')
= P(B) - P(A ∩ B) + P(A) - P(A ∩ B)
= (1/10) - (1/20) + (1/5) - (1/20)
= (2 - 1 + 4 - 1)/20
= 4/20
= 1/5

বিকল্প:
শুধু গনিতে ফেল করে = (40 - 10) জন = 30 জন
শুধু পরিসংখ্যানে ফেল করে = (20 - 10) জন = 10 জন

কেবল এক বিষয়ে ফেল করে = 30 + 10 
= 40 জন

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = 40/200 = 1/5

প্রশ্ন: 4b² + 1/b² = 2 হলে 8b³ + 1/b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
4b² + 1/b² = 2
(2b)² + (1/b)² = 2
(2b + 1/b)² - 2.2b.(1/b) = 2
(2b + 1/b)² - 4 = 2
(2b + 1/b)² = 6
(2b + 1/b) = √6

8b³ + 1/b³ = (2b)³ + (1/b)³
=(2b + 1/b)³ - 3.2b(1/b)(2b + 1/b)
= (√6)³ - 6√6
= 6√6 - 6√6
= 0