বীজগণিত

আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² ≤ 64} = {0, 1, 2, 3, 5, 8}    [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ
এখানে, n = 6
∴ P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁶ = 64টি।

মূলদ্বয় a, b হলে a + b = 4, ab = 3
∴ (a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 16 - 4.3
= 4
∴ a - b = ±2

প্রশ্ন: x + 1/x = 7 হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 7

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3x(1/x)(x + 1/x)
= 7³ - (3 × 7)
= 343 - 21
= 322

∴ x³ + 1/x³ এর মান 322

প্রশ্ন: 3x - y = 2 এবং 2x + 3y = 5 সরলরেখা দুইটি যে বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে-

সমাধান:
3x - y = 2
⇒ 3(3x - y) = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 9x - 3y = 6

2x + 3y = 5

9x - 3y + 2x + 3y = 6 + 5
⇒ 11x = 11
∴ x = 1

2 + 3y = 5
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

প্রদত্ত শর্তমতে,
১১ + ১৩ + ক = ১৩ + ০ + ১৭
বা, ক = ৩০ - ২৪
বা, ক = ৬

১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে,
৫ম পদ = a + ৪d = ২৮ … (১)

∴ ১ম ৫টি পদের সমষ্টি = (৫/২){২a + (৫ - ১)d}
বা, (৫/২){২a+৪d} = ১০০
বা, ৫{a + (a + ৪d)} = ২০০
বা, a + ২৮ = ৪০
∴ a = ১২
(১) নং থেকে পাই,
a + ৪d = ২৮
বা, ১২ + ৪d = ২৮
বা, ৪d = ১৬
∴ d = ৪

প্রশ্ন: 3x² - 7x - 6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
3x² - 7x - 6
= 3x² - 9x + 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2(x - 3)
= (3x + 2)(x - 3)

নিচের উপায়ে কমিটি গঠন করা যায়
⁴C₃ × ^(6-1)C_(1-1) = 4
⁴C₂ × ^(6-1)C_(2-1) = 30
⁴C₁ × ^(6-1)C_(3-1) = 40
⁴C₀ × ^(6-1)C_(4-1) = 10
∴ মোট কমিটি গঠন করা যায় (4 + 30 + 40 + 10) = 84 উপায়ে

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মোট সংখ্যা = ৮০

এখন, বর্গ সংখ্যা (Perfect Square) হবে-
১^২ , ২^২, ৩^২, ৪^২, ৫^২, ৬^২, ৭^২, ৮^২.......- এভাবে যতক্ষণ না বর্গফল ≤ ৮০ হয়।

অতএব, বর্গ সংখ্যা আছে মোট ৮ টি

অতএব, সংখ্যাটি বর্গ হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / সম্ভাব্য মোট ফলাফল
= ৮/৮০ 
= ১/১০

সুতরাং, সংখ্যাটি বর্গ হওয়ার সম্ভাবনা ১/১০ 

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 + ...... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/√2) ÷ (1/2) = √2 
∴ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 8√2
⇒ ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
∴ n = 10

∴ 10 তম পদ = 8√2

x³ + 1/x³ = 2
x⁶ + 1 = 2x³
x⁶ - 2x³ + 1 = 0
(x³ - 1)² = 0
x³ - 1 = 0
x³ = 1
∴ x = 1
∴ x - (1/x)
= 1 - (1/1) = 1 - 1
= 0

x = √5 - 2
∴ 1/x = √5 + 2
∴ x + 1/x = 2√5 এবং x - 1/x = -4
∴ x² - 1/x²
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2√5(-4)
= -8√5

নির্ণয়ে করমর্দন সংখ্যা = ¹⁸C₂
= 18! ÷ {(18-2)!×2!}
= (18×17×16!) ÷ (16!×2!)
= (18×17) ÷ 2
= 9×17
= 153

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি ।
সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায়
= ⁴p₃ × ⁵p₅ = 24 × 120 = 2880

প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে

ক ও গ উভয়ই সঠিক হতে পারে।
তবে, ক) xy > -2 সব ক্ষেত্রে সঠিক নাও হতে পারে। যেমন, x = 10 এবং y = - 0.5
অন্যদিকে, গ) -x < 2y অপশনটি x এবং y এর সকল মানের জন্য সত্য হবে।
সঠিক উত্তরঃ গ) -x < 2y

১ম পদ (a) = ১২৮,
সাধারণ অনুপাত (r) = ৬৪/১২৮ = ১/২
∴ নবম পদ = a.r^{n - 1}
= ১২৮ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১২৮ × (১/২)^৮
= ১২৮/২৫৬
= ১/২

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + .............. ধারাটির কততম পদের মান 512 হবে? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +..............
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4\2 = 2 
∴ n তম পদ = ar^{n- 1} 

প্রশ্নমতে, 
ar^{n- 1} = 512 
বা, 2 × 2^{n- 1} = 512 
বা, 2^{n - 1} = 256 
বা, 2^{n - 1} = 2⁸ 
বা, n - 1 = 8 
বা, n = 8 + 1
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9ম পদের মান 512 হবে। 

xyz = 450
xy = 450/z
এখানে, z = 0 হতে পারবে না। কারণ z এর মান শূন্য হলে xy অসঙ্গায়িত।

দেওয়া আছে,
3x - y = 7 ....... (১)
এবং 2x + y = 3 .......... (২)

১ + ২ করে পাই,
5x = 10
বা, x = 2

২ নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2×2 + y = 3
বা, y = 3 - 4

সুতরাং , y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, -1)

প্রশ্ন: (১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) = কত?

সমাধান: 
(১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) 
= {১০(১০ + ১)/২}^২/{(১০ × (১০ + ১)/২}
= {(১০ × ১১)/২}^২/{(১০ × (১১/২)}
= (৫৫)^২/৫৫ 
= (৫৫ × ৫৫)/৫৫
= ৫৫ 

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে রমা পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম এবং রমা হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: 
রমা পেয়েছে মোট (5x + 6x = 11x) নম্বর
এবং কুমকুম পেয়েছে মোট (4x + 84) নম্বর।  

প্রশ্নমতে,
5x + 6x < 4x + 84
⇒ 5x + 6x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
⇒ x < 84/7
∴ x < 12

কিন্তু, 4x ≥ 40   ; [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর 40]
x ≥ 10
⇒ 10 ≤ x 

∴ 10 ≤ x < 12

x-1, f(x) = x³ - ax² + (a+5)x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0,
বা, 1 - a + a + 5 - a = 0
বা, 6 - a = 0
∴ a = 6

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 2. 2x². 1 + 1² - 4x²
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ ‍f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ ‍a = - 7

প্রশ্ন: x + y + z = 12 এবং x² + y² + z² = 50 হলে, (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y + z = 12 এবং x² + y² + z² = 50

প্রদত্ত রাশি, 
(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²
= (x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²)
= 2x² + 2y² + 2z² - 2(xy + yz + zx)
= 2(x² + y² + z²) - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} ; [2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= (2 × 50) - {(12)² - 50}
= 100 - (144 - 50)
= 100 - 94
= 6

প্রশ্ন: x = 2 হলে 8x³ + 12x² + 6x + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2

∴ 8x³ + 12x² + 6x + 1
= (2x)³ + 3 × (2x)² × 1 + 3 × 2x × (1)² + (1)³
= (2x + 1)³
= (2 × 2 + 1)³ ; [x = 2]
= 5³
= 125

a² - (x + 1/x)a + 1
= a² - ax - a/x + 1
= a (a - x) - 1/x (a - x)
= (a - x)(a - 1/x)

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/8 হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/8

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1} 

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1/8
⇒ 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/8
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(8 × 128)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/1024
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1 
⇒ n = 11

সুতরাং, ধারাটির 11 তম পদ = 1/8

প্রশ্ন: একটি প্লেনে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। ইকোনমি ক্লাসের ভাড়া মাথা পিছু ৩০০০ টাকা, যা বিজনেস ক্লাসের ভাড়ার অর্ধেক। মোট ভাড়া ১৬৮০০০ টাকা হলে, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
বিজনেস ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = ক  জন 
∴ ইকোনমি ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = (৪৭ - ক)

প্রশ্নমতে,
২ × ৩০০০ × ক + ৩০০০ × (৪৭ - ক) = ১৬৮০০০
⇒ ৬০০০ক + ১৪১০০০ - ৩০০০ক = ১৬৮০০০
⇒ ৩০০০ক = ১৬৮০০০ - ১৪১০০০
⇒ ৩০০০ক = ২৭০০০
∴ ক = ৯

সুতরাং, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা ৯ জন 

প্রশ্ন: (9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰
=1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11

প্রশ্ন: 400 এর 2√5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
ধরি, log_2√5 400 = x
⇒ (2√5)^x = 400
⇒ (√20)^x = 400  [2√5 = √4 × √5 = √20]
⇒ 20^x/2 = 400
⇒ 20^x/2 = 20²
⇒ x/2 = 2
∴ x = 4