বীজগণিত

প্রশ্ন: ১১, ২৫, ১৮, ৯, ২১, ৩৩, ৬, ২৪ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই: ৬, ৯, ১১, ১৮, ২১, ২৪, ২৫, ৩৩

যেহেতু মোট উপাত্ত আছে ৮টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(৮/২) তম পদ + {(৮/২) + ১} তম পদ]/২
= (৪র্থ পদ + ৫ম পদ)/২
= (১৮ + ২১)/২
= ৩৯/২
= ১৯.৫

∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো = ১৯.৫

ⁿc_n = n!/n!(n - n)!
= 1/0!
= 1/1
= 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 7 - 2x ≤ 3x + 12 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
7 - 2x ≤ 3x + 12
x-সম্বন্ধীয় পদগুলোকে একপাশে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে অন্যপাশে নিয়ে যাই। 
- 2x - 3x ≤ 12 - 7
⇒ - 5x ≤ 5
উভয় পাশকে - 5 দিয়ে ভাগ করি (ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে)।
∴ x ≥ - 1

প্রশ্ন: n(A ∪ B) = 19, n(A) = 11 এবং n(A ∩ B) = 5 হলে, n(B) = ?  

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
n(A ∪ B) = 19
n(A) = 11
এবং n(A ∩ B) = 5

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 19 = 11 + n(B) - 5
⇒ 19 = 6 + n(B)
⇒ n(B) = 19 - 6
∴ n(B) = 13

প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক}
A = {1, 2, 4, 8, 16}
একই ভাবে, 
B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

তাহলে A ∩ B = {1, 2, 4, 8, 16} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 4}

∴ A ∩ B = {1, 2, 4} 

বা, 5x/6 + 3 = x/3 + 3
বা, 5x/6 - x/3 = 0
বা, 3x/6 = 0
বা, x = 0

প্রশ্ন: 6(2x + 1) = 6(x - 2) হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
6(2x + 1) = 6(x - 2)
বা, 12x + 6 = 6x - 12
বা, 12x - 6x = - 12 - 6
বা, 6x = -18
বা, x = -18/6
∴ x = - 3

U = {2, 3, 5, 7}
A={2, 5}
এবং B = {3, 5, 7}
B^c = {2}
A∩B^c = {2, 5}∩{2} = {2}

দেখা যাচ্ছে যে, তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + প্রথম পদ = ১+১ =২
আবার, চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + দ্বিতীয় পদ = ২+১ = ৩
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + তৃতীয় পদ = ৩+২ = ৫
সুতরাং নবম পদ = অষ্টম পদ + সপ্তম পদ = ২১+১৩ = ৩৪

প্রশ্ন: a² + a - 2 এর উৎপাদকগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
a² + a - 2
= a² + 2a - a - 2
= a(a + 2) - 1(a + 2)
= (a + 2)(a - 1)

উৎপাদকগুলোর সমষ্টি = a + 2 + a - 1
= 2a + 1

দেওয়া আছে, x^-3-0.001= 0
বা, 1/x³= 0.001
বা, 1/x³= 1/1000
বা, x³= 10³
বা, x= 10
∴ x²= 100

প্রশ্ন: যদি a⁴+ a²b²+ b⁴= 15 এবং a²+ ab + b²= 3 হয় তবে a²+ b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
a²+ ab + b²= 3


এখন,
a⁴+ a²b²+ b⁴= 15
or,(a²)² +2 .a². b²+ (b²)² - a²b²= 15
or,(a²+ b²)² - (ab)²= 15
or,(a²+ ab + b²) (a²- ab + b²)= 15
or, 3(a²- ab + b²) = 15
or, a²- ab + b²= 15/3 = 5 .................. (1)

আবার,
a²+ ab + b²= 3 ......................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2(a²+ b²)= 8
∴ a²+ b²= 8/2 = 4

প্রশ্ন: a + b = 4, a - b = 2 হলে ab = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 4
a - b = 2

আমরা জানি
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = 4² - 2²
বা, 4ab = 16 - 4
বা, 4ab = 12
বা, ab = 12/4
∴ ab = 3

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

প্রদত্ত রাশিমালা,
f(x) = x³ - 7x - 6
∴ f(3) = 3³ - 7.3 - 6
= 27 - 21 - 6
= 0
∴ x - 3, f এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: ১০০ জন সদস্যের একটি পর্যটক দলের ৫৫ জন ল্যাটিন এবং ৪০ জন জার্মান ভাষায় কথা বলে। তাঁদের মধ্যে ২০ জন ল্যাটিন বা জার্মান কোন ভাষাতেই কথা বলে না। তাহলে কতজন কেবলমাত্র একটি ভাষাতেই কথা বলে?

সমাধান:
মোট সদস্য সংখ্যা, n(U) = ১০০ জন
ল্যাটিন বা জার্মান কোনো ভাষাতেই কথা বলে না = ২০ জন
অন্তত একটি ভাষায় কথা বলে, n(L ∪ G) = ১০০ - ২০ = ৮০ জন

ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে, n(L) = ৫৫ জন
জার্মান ভাষায় কথা বলে, n(G) = ৪০ জন

আমরা জানি,
n(L ∪ G) = n(L) + n(G) - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৫৫ + ৪০ - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৯৫ - n(L ∩ G)
⇒ n(L ∩ G) = ৯৫ - ৮০
∴ n(L ∩ G) অর্থাৎ, যারা উভয় ভাষায় কথা বলে = ১৫ জন 

কেবল ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে = ৫৫ - ১৫ = ৪০ জন
কেবল জার্মান ভাষায় কথা বলে = ৪০ - ১৫ = ২৫ জন

∴ কেবলমাত্র একটি ভাষায় কথা বলে = ৪০ + ২৫ = ৬৫ জন

 p⁶ − q⁶
= (p³)² − (q³)²
= (p³ − q³) (p³ + q³)
= {(p − q) (p² + pq + q²)} (p³ + q³)
= (p − q)(p² + pq + q²) {(p + q) (p² − pq + q²)}
= (p − q) (p² + pq + q²) (p + q) (p² − pq + q²)

প্রশ্ন: 25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 25
সাধারণ অনুপাত, r = 50/25 = 2

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3200
⇒ 25 × 2^{n - 1} = 3200
⇒ 2^{n - 1} = 3200/25
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {25 × (2⁸ - 1)}/(2 - 1)
= 25 × (256 - 1)
= 25 × 255
= 6375

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৭০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৮০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৭০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি,
n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৭০% + ৮০% - ৭০%
= ৮০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৮০%
= ২০%

(x - 2) (x - 3) < 0 হবে যদি,
(x - 2) > 0 এবং (x - 3) < 0 হয়।
x - 2 > 0
x >2
আবার, x - 3 < 0
x < 3
∴ 2 < x < 3

প্রশ্ন: |5x + 2| ≤ 8 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|5x + 2| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x + 2 ≤ 8
⇒ - 8 - 2 ≤ 5x ≤ 8 - 2
⇒ - 10 ≤ 5x ≤ 6
⇒ - 2 ≤ x ≤ (6/5)