বীজগণিত

প্রশ্ন: শামীম 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্দ্ধ 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে? 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য = 3x টাকা
আবার, (x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য = 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93 
বা, 9x + 12 ≤ 93 
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12  [উভয়পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81 
বা, 9x/9 ≤ 81/9  [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে] 
∴ x ≤ 9 

∴ শামীম সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে।

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = ৮১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, n - ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= ২০/২{২×৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০(১০ + ৭৬)
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} = ?

সমাধান:
2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1} + 2^{x + 1}
= 2^{x + 1}(1 + 1 + 1 + 1)
= 2^{x + 1} × 4
= 2^{(x + 1)} × 2²
= 2^{x + 1 + 2}
= 2^{x + 3}

প্রশ্ন: (x^p/x^q)^{p + q} . (x^q/x^r)^{q + r}. (x^r/x^p)^{r + p} = কত?

সমাধান:
 (x^p/x^q)^{p + q} . (x^q/x^r)^{q + r}. (x^r/x^p)^{r + p} 
= (x^{p - q})^{p + q}. (x^q - r)^{q + r} . (x^{r - p})^{r + p}
= x^{(p - q)(p + q)}. x^{(q - r)(q + r)} . x^{(r - p)(r + p)}
_=xp² - q² . _xq² - r²._xr² - p² 
_=xp² - q² + q² - r²+r² - p²
= x^{0
= 1}

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
সুতরাং, মোট ফলাফল সংখ্যা = 6টি

জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = {2, 4, 6}
সুতরাং, অনুকূল ঘটনা= 3টি

∴ জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ফলাফল সংখ্যা
= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + 135 +............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15 ÷ 5 = 3

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদের সূত্র হলো,
n-তম পদ = a × r^{(n - 1)}
সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ হবে:
7- তম পদ = 5 × 3^{(7 - 1)}
= 5 × 3⁶
= 5 × 729
= 3645
অতএব, ধারাটির সপ্তম পদ 3645।

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 + ………. ধারাটির ১ম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
=  log8 + log64 + log512 + ……….
= log8 + log8² + log8³ + ……….
= log8 + 2log8 + 3log8 + ……….
= (1 + 2 + 3 +.....)log8

এখন,
1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = n(n + 1)/2
= 9(9 + 1)/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 45log8

প্রশ্ন: 9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1} = কত? 

সমাধান: 
9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1}
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ ⋅ 2^-1
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ × (1/2)
= 9 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (9 - 1) 
= 2ⁿ × 8
= 2ⁿ × 2³
= 2^{n + 3}

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৪টি লাল, ৫টি সবুজ ও ৬টি নীল বল আছে। একটি বল তোলা হলে, বলটি লাল অথবা নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫
এবং লাল বা নীল বল পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = লাল বলের সংখ্যা + নীল বলের সংখ্যা
= ৪ + ৬ = ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা​/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= ১০/১৫
= ২/৩

প্রশ্ন: ২১, ২৩, ২৭, ৭, ১১, ১২, ৭, ৮, ১৪ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ও মধ্যক যথাক্রমে-

সমাধান:
প্রচূরক = সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত উপাত্ত = ৭ যা দুইবার রয়েছে।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: ৭, ৭, ৮, ১১, ১২, ১৪, ২১, ২৩, ২৭
এখানে উপাত্তের সংখ্যা n = ৯, যা একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ম পদ

∴ ৫ম পদ হলো ১২

-5 < x-3 <5
বা, -5 + 7 < x - 3 + 7 < 5 + 7
বা, 2 < x + 4 < 12
সুতরাং, a = 2, b = 12

প্রশ্ন: {q ∈ N এবং q² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 16 = 0
⇒ q² = 16
⇒ q = √16
∴ q = ± 4

কিন্তু q স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ q = 4

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে x³ + ( 1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + (1/x) = 4

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x{x + (1/x)}
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি রাজা (King) হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা (মোট তাস) = ৫২ টি
মোট রাজা (King) এর অনুকূল ঘটনা = ৪ টি (প্রতিটি রঙের 1টি করে)
∴ তাসটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনার সংখ্যা
= ৪/৫২ 
= ১/১৩  

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 0, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[log₃(log₂a)] = 0
⇒ log₃(log₂a) = 2⁰
⇒ log₃(log₂a) = 1
⇒ log₂a = 3¹
⇒ log₂a = 3
⇒ a = 2³
∴ a = 8

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

প্রশ্ন: x³ - x - 24 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

ধরি, f(x) = x³ - x - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24 = 27 - 27 = 0

∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি,
 x³ - x - 24 
= x³ - 3x² + 3x² - 9x + 8x - 24
= x²(x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3)
= (x - 3)(x² + 3x + 8)

মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র 2 ই জোড় সংখ্যা
∴ A = {2}

প্রশ্ন: 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
DINAJPUR শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে কোনো বর্ণ পুনরাবৃত্তি নাই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

আবার, 
RAJSHAHI শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে 'A' বর্ণটি 2 বার এবং 'H' বর্ণটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8!/(2! × 2!) = 40320/(2 × 2) = 40320/4 = 10080

∴ 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার = 40320/10080 = 4 গুণ

3.2ⁿ - 4.2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2².2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2^(2+n-2)
= 3.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3-1)
= 2ⁿ × 2
= 2⁽ⁿ⁺¹⁾

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
কালো বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
হলুদ বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

• 4 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে।
• তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
• যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
• অতএব 4 জন বন্ধুকে মোট 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।
• কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 3 হলে, a² + (1/a²) + 2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 3 
⇒ 2 {a + (1/a)} = 3
⇒ a + (1/a) = 3/2

এখন,
a² + (1/a²) + 2
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a) + 2
= (3/2)² - 2 + 2
= 9/4

প্রশ্ন: যদি log₁₀a = x, log₁₀b = y হয়, তবে log₁₀(a^xb^y) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀a = x, log₁₀b = y

এখন, 
log₁₀(a^xb^y) = log₁₀a^x + log₁₀b^y
= x log₁₀a + y log₁₀b
= x . x + y . y
= x² + y²

প্রশ্ন: (xyz)⁰ = ?

সমাধান:
(xyz)⁰
= 1 [a⁰ = 1, যদি a ≠ 0]

A ∩ B = {b},
(A ∩ B) ∪ C = {b, 1, 2}

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + .......... ধারাটির 8তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n = 8

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = 5 + (8 - 1)3
= 5 + (7 × 3)
= 26

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৪২ - ৬)/৩ + ১
= ১২ + ১
= ১৩
এবং গড় = (৪২ + ৬)/২
= ২৪
সুতরাং সমষ্টি = ১৩ × ২৪
= ৩১২

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৩৬-৩)/৩ + ১
= ১১ + ১
= ১২
এবং গড় = (৩৬+৩)/২
= ৩৯/২
সুতরাং সমষ্টি = ১২ × ৩৯/২
= ৬ × ৩৯
= ২৩৪