বীজগণিত

দেওয়া আছে, x + y = 4 ......(i) এবং x − y = 3 ......(ii)
(i) + (ii) = 2x = 7
∴ x = 3(1/2)
∴ y = (1/2)
∴ x + 2y = 4(1/2)

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, সেটি ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কায় মোট সংখ্যা থাকে ৬টি: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬
∴ ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: ২, ৪, ৬ = ৩ 
∴ সম্ভাবনা = ৩/৬
= ১/২ 

প্রশ্ন: 3 + x + y + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 81
⇒ ar³ = 81
⇒ 3 . r³ = 81
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 3 × 3^{2 - 1}
∴ x = 9

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 3^{3 - 1}
= 3 × 3²
∴ y = 27

∴ xy = 9 × 27
= 243

প্রশ্ন: একটি সমিতি থেকে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৬১ টাকা সংগৃহীত হয়। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন

এখন, ১ জন সদস্য চাঁদা দেয় = ক টাকা
∴ মোট সংগৃহীত চাঁদা = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ =৯৬১ 
⇒ ক = √৯৬১ 
∴ ক = ৩১

অতএব সমিতির সদস্য সংখ্যা = ৩১ জন

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে প্রতিটি রুমে 4 জন করে ছাত্র থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। আবার প্রতিটি রুমে 3 জন করে ছাত্র থাকলে 12 জন ছাত্রের থাকার জায়গা হয় না। ঐ ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = x জন
এবং মোট রুমের সংখ্যা = r টি

প্রথম শর্ত,
প্রতি রুমে 4 জন করে থাকলে 3টি রুম খালি থাকে। অর্থাৎ, 
⇒ x = 4 × (r - 3)
∴ x = 4r - 12 ……(1)

দ্বিতীয় শর্ত,
প্রতি রুমে 3 জন করে থাকলে 12 জনের জায়গা হয় না। অর্থাৎ,
∴ x = 3r + 12 ……(2)

এখন (1) ও (2) সমান করে পাই, 
⇒ 4r - 12 = 3r + 12
⇒ 4r - 3r = 12 + 12
∴ r = 24
এখন (2) নম্বর সমীকরণে,
x = 3 × 24 + 12
= 72 + 12
= 84

অতএব, ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র সংখ্যা 84 জন। 

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: p² - 4p + q = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3
∴ p = 3

এখন,
p² - 4p + q = 0
⇒ (3)² - 4 × 3 + q = 0
⇒ 9 - 12 + q = 0
⇒ - 3 + q = 0
∴ q = 3

প্রশ্ন: 10 বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল 15 : 1 । 10 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে 25 : 11 । পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি,
পিতার বর্তমান বয়স X বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স Y বছর

প্রশ্নমতে,
(X - 10)/(Y - 10) = 15/1
⇒ (X - 10) = 15(Y - 10)
⇒ (X - 10) = 15Y - 150
⇒ X - 15Y = - 150 + 10
⇒ X - 15Y = - 140 ....................... (1)

আবার,
(X + 10)/(Y + 10) = 25/11
⇒ 11(X + 10) = 25(Y + 10)
⇒ 11X + 110 = 25Y + 250
⇒ 11X - 25Y = 250 - 110
⇒ 11X - 25Y = 140 ...........................(2)

(1) × 11 - (2) ⇒
11X - 165Y - 11X + 25Y = - 1540 - 140
⇒ - 140Y = - 1680
⇒ Y = (- 1680)/(- 140)
∴ Y = 12

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স 12 বছর।

log₁₀0.0001
= log₁₀1/10000
= log₁₀10^-4
= -4 log₁₀10
= -4 × 1
= -4

x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে ,  এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,

এখন,
x + (1/x) = √3 + √2 + √3 - √2
∴ x + (1/x) = 2√3

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3.x.(1/x){x + (1/x)}
= (2√3)3 - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3

log_x4 = 2
বা, x² = 4
∴ x = 2
∴ log₅(x - 1)
= log₅(2 - 1)
= log₅1
= log₅5⁰
= 0 log₅5
= 0.1
= 0

প্রশ্ন: a² - 5a - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a² - 5a - 6
= a² - 6a + a - 6
= a(a - 6) + 1(a - 6)
= (a - 6)(a + 1)

x² - 1 - y(y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: |2x + 5| < 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
⇒ - 7 < 2x + 5 < 7
⇒ - 7 - 5 < 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ -  6 < x < 1

∴ ‍x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 90 এবং পঞ্চম পদটি 810 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r
∴ তৃতীয় পদ, T₃ = ar² = 90 ...... (1)
আবার, পঞ্চম পদ, T₅ = ar⁴ = 810 ...... (2)
(2) ÷ (1) নং হতে পাই,
(ar⁴/ar²) = 810/90
⇒ r² = 9
⇒ r = √9
∴ r = 3

(1) নং সমীকরণে r-এর মান বসিয়ে পাই,
a × (3)² = 90
⇒ 9a = 90
⇒ a = 90/9
∴ a = 10

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 10

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, XY = 35

প্রশ্ন: - 9 < s < 11 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 9 + 11)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 9 < s < 11
⇒ - 9 - 1 < s - 1 < 11 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 < s - 1 < 10
⇒ |s - 1| < 10

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |s - 1| < 10 ।

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 5 হয়; p³ + q³ + r³ = 35 এবং p² + q² + r² = 13 হয়, তবে 3pqr = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
p + q + r = 5;
p³ + q³ + r³ = 35
p² + q² + r² = 13

আমরা জানি, 
p³ + r³ + q³ = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr

আবার,
আমরা জানি,
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2(pq + qr + pr)
⇒ 25 = 13 + 2 × (pq + qr + rq)
⇒ 2(pq + qr + pr) = 25 - 13
⇒ (pq + qr + pr) = 12/2
∴ (pq + qr + pr) = 6

এখন, p³ + r³ + q³ = (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr
⇒ 35 = 5(13 - 6) + 3pqr
⇒ 3pqr = 35 - 35
∴ 3pqr = 0

x + 1 দ্বারা f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 30 বিভাজ্য
∴ ভাগশেষ f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 30
= -3 + 2 + 21 - 30
= 23 - 33
= -10

4^x + 4^x + 4^x + 4^x
= 4^x (1 + 1 + 1 + 1)
= 4^x. 4
= (2²)^x. 2²
= 2^{2x + 2}

৩৬, ৮১, ১৪৪ ....... = ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২ এখানে, ১৫^২ = ২২৫

দেওয়া আছে,
x/y = 2 এবং x + 2y = 4

এখন,
x/y = 2
বা, x = 2y

আবার,
x + 2y = 4
বা, x + x = 4
বা, 2x = 4
বা, x = 2

এখন x এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 2
বা, y = 1

এখানে,
f(a) = a³ - 6a² + 16
∴ f(2) = 2³ - 6.2² + 16
= 8 - 24 + 16
= 24 - 24
= 0
∴ a - 2,
f(a) এর উৎপাদক

দেওয়া আছে, 2^2x-6 = 3^2x-6
বা, 2^2x-6/3^2x-6 = 1
বা, (2/3)^2x-6 = 1
বা, (2/3)^2x-6 = (2/3)⁰
বা, 2x-6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: 2, 4, 5 এবং 9 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/ উপাত্তগুলোর সংখ্যা
= (2 + 4 + 5 + 9)/4 
= 20/4 
= 5

আমরা জানি,
গড় বিচ্যুতি, MD = ∑|Xi - X|/n 
অর্থাৎ, গড় বিচ্যুতি = বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি/সংখ্যার পরিমাণ 
=  (|2 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |9 - 5|)/4
= (3 + 1 + 0 + 4) / 4
 = 8/4
= 2

∴ গড় বিচ্যুতি = 2

প্রশ্ন: যদি (1/5)^3y = 0.008 হয়, তবে (0.15)^y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(1/5)^3y = 0.008
⇒ (1/5)^3y = 8/1000
⇒ (1/5)^3y = 1/125
⇒ (1/5)^3y = (1/5)³
⇒ 3y = 3
⇒ y = 3/3
∴ y = 1

প্রদত্ত রাশি, 
(0.15)^y = (0.15)¹ = 0.15

6x²-13x-8
= 6x²-16x+3x-8
= 2x(3x - 8) + 1(3x - 8)
= (3x - 8) (2x + 1)