বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১৩৯ / ২০১ · ১৩,৮০১–১৩,৯০০ / ২০,২০৭

১৩,৮০১.

"PURPOSE" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
120
খ
360
গ
540
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "PURPOSE" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"PURPOSE" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7টি,
Vowel আছে = 3টি
এবং P আছে = 2টি

এখন,
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60
Vowel তিনটি সাজানো যায় = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = (60 × 6)
= 360

১৩,৮০২.

3x + 1/3x = 9 হলে x² + 1/81x² এর মান কত?

ক
ক) 79
খ
খ) 79/4
গ
গ) 79/9
ঘ
ঘ) 79/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 1/3x = 9 হলে x² + 1/81x² এর মান কত?

সমাধান:
3x + 1/3x = 9
3(x + 1/9x) = 9
x + 1/9x = 3

x² + 1/81x² = x² + (1/9x)²
= (x + 1/9x)² - 2.x.1/9x
= 3² - 2/9
= 9 - (2/9)
= (81 - 2)/9
= 79/9

১৩,৮০৩.

6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?

ক
110
খ
115
গ
130
ঘ
139

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?

সমাধান:
গণিত (6) পদার্থ(4)
1) 6 __________ 0
2) 5 __________ 1
3) 4 __________ 2

1) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₆ × ⁴C₀
= 1 × 1 = 1

2) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₅ × ⁴C₁
= 6 × 4 = 24

3) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₄ × ⁴C₂
= 15 × 6
= 90

কমিটি গঠনের মোট উপায় = 1 + 24 + 90 = 115

১৩,৮০৪.

log_x(1/81) = - 2 হলে x এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
9
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/81) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/81) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/81
⇒ x^{- 2} = (1/9)²
⇒ x^{- 2} = 9^{- 2}
∴ x = 9

১৩,৮০৫.

কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে?

ক
৫৫%
খ
৪০%
গ
৪৯%
ঘ
৩৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে?

সমাধান:
ধরা যাক, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ (শতকরা হিসেবে)
বিজ্ঞানে ফেল = ৫২
অঙ্কে ফেল = ৪০
উভয় ক্ষেত্রে ফেল = ২৭

ফেল করা ছাত্রের সংখ্যা (বিজ্ঞানে বা অঙ্কে):
n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = n (বিজ্ঞানে ফেল) + n (অঙ্কে ফেল) - n (উভয় ফেল)
⇒ n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = ৫২ + ৪০ - ২৭ = ৬৫

অর্থাৎ, ৬৫% ছাত্র অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।

পাস করা ছাত্রের শতকরা অংশ = ১০০ − ৬৫ = ৩৫%

সুতরাং, ৩৫% ছাত্র পাস করেছে।

১৩,৮০৬.

7 + 9 + 11 + ....... + 39 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
15
খ
14
গ
17
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 9 + 11 + ....... + 39 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 7 = 2
শেষ পদ = 39

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(39 - 7)/2} + 1
= 16 + 1
= 17

১৩,৮০৭.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ১১ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১০
খ
৪/৪৫
গ
১১/৯০
ঘ
১/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ১১ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে (১০ থেকে ৯৯ পর্যন্ত) ৯০টি।

১১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: ১১, ২২, ৩৩, ৪৪, ৫৫, ৬৬, ৭৭, ৮৮, ৯৯ মোট ৯টি

∴ সম্ভাবনা = ৯/৯০ = ১/১০

১৩,৮০৮.

(a × a² × a³ × a⁴ × a⁵) ÷ a⁸=?

ক
ক) a⁶
খ
খ) a³
গ
গ) a⁷
ঘ
ঘ) a⁸

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a × a² × a³ × a⁴ × a⁵) ÷ a⁸=?

সমাধান:
(a × a² × a³ × a⁴ × a⁵) ÷ a⁸
= a^{1 + 2 + 3 + 4 + 5} ÷ a⁸= a¹⁵ ÷ x⁸
= a^{15 - 8}
= a⁷

১৩,৮০৯.

4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

ক
2/3
খ
3/2
গ
1/2
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 32
(2²)^{x + 1} =2⁵
2^{2x + 2} = 2⁵
2x + 2 = 5
2x = 5 - 2
2x = 3
x = 3/2

১৩,৮১০.

সমান্তর ধারার 4-তম পদ পদ 16 এবং 6-তম পদ পদ 24 হলে, ধারার 15-তম পদ কত?

ক
50
খ
55
গ
60
ঘ
62

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার 4-তম পদ পদ 16 এবং 6-তম পদ পদ 24 হলে, ধারার 15-তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার
4-তম পদ = 16
বা, a + (4 - 1)d = 16
a + 3d = 16 .......... (1)
এবং
6-তম পদ = 24
a + (6 - 1)d = 24
a + 5d = 24 ........... (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
⇒ (a + 5d) - (a + 3d) = 24 - 16
⇒ a + 5d - a - 3d = 8
⇒ 2d = 8
⇒ d = 8/2 = 4

d = 4 এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + (3 × 4) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 16 - 12
⇒ a = 4

∴ 15-তম পদ = a + (15 - 1)d = 4 + (14 × 4) = 4 + 56 = 60

১৩,৮১১.

log_2√3144 = a হলে a এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
log_2√3144 = a 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
144= (2√3)^a = 2⁴ × 3²
(2√3)⁴= (2√3)^a =(2√3)⁴
a = 4

১৩,৮১২.

5^0.25 × 125^0.25 এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 5√5
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- 5^0.25 × 125^0.25 এর মান কত?

সমাধান-
5^0.25 × 125^0.25= 5^0.25 × 5^{3 × 0.25}
= 5^0.25 × 5^0.75
= 5^{0.25 + 0.75}
= 5¹
= 5

১৩,৮১৩.

নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণি ব্যাপ্তি বুঝায়?

ক
ক) উপাত্তসমূহের মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম উপাত্তের ব্যবধান
খ
খ) উপাত্তসমূহের মধ্যে ১ম ও শেষ উপাত্তের ব্যবধান
গ
গ) প্রত্যেক শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার ব্যবধান
ঘ
ঘ) সবগুলো

ব্যাখ্যা

শ্রেণি ব্যাপ্তি = প্রত্যেক শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার ব্যবধান।

১৩,৮১৪.

2x - y = 5 এবং 2x + 3y = 9 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
(2, 1)
খ
(3, 1)
গ
(0, 5)
ঘ
(1, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - y = 5 এবং 2x + 3y = 9 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - y = 5 ...................(১)
2x + 3y = 9 ...................(২)

(১) × 3 ⇒ 6x - 3y = 15 ...................(৩)

এখন (২) ও (৩) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(2x + 3y) + (6x - 3y) = 9 + 15
⇒ 2x + 6x + 3y - 3y = 21
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

x-এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3y = 9
⇒ 6 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 - 6 = 3
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

নির্ণয় সমাধান: (x, y) = (3, 1)

১৩,৮১৫.

x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

ক
ক) (2x² + y²)/xy
খ
খ) (x² - y²)/xy
গ
গ) (2y² - x²)/xy
ঘ
ঘ) (a² -2y²)/xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

সমাধান:
যোগ করতে হবে = 2y/x - x/y
= (2y² - x²)/xy

১৩,৮১৬.

6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
24
খ
48
গ
96
ঘ
144

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

১৩,৮১৭.

log_ba².log_cb².log_ac² এর মান কত?

ক
6
খ
3
গ
1
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba².log_cb².log_ac² এর মান কত?

সমাধান:
log_ba².log_cb².log_ac²
= 2log_ba.2log_cb.2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [যেহেতু, log_bm × log_ab = log_am]
= 8 × 1
= 8

১৩,৮১৮.

3x + 4y = 18 এবং 5x - 2y = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
(2, 3)
খ
(3, 5)
গ
(5, 6)
ঘ
(1, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4y = 18 এবং 5x - 2y = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
3x + 4y = 18 .......(1)
5x - 2y = 4 .........(2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 4 করে পাই,
6x + 8y + 20x - 8y = 36 + 16
⇒ 26x = 52
⇒ x = 2

এখন (1) নং সমীকরণে x = 2 বসালে,
3(2) + 4y = 18
⇒ 6 + 4y = 18
⇒ 4y = 12
⇒ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

১৩,৮১৯.

4, 9, 14 ধারাটির কোন পদ 504 হবে?

ক
ক) 99
খ
খ) 100
গ
গ) 101
ঘ
ঘ) 102

ব্যাখ্যা

a = 4, d = 9 - 4 = 5
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = 504
বা, 4 + (n - 1)5 = 504
বা, 4 + 5n - 5 = 504
বা, 5n = 505
∴ n = 101

১৩,৮২০.

ক
1/3
খ
1/2
গ
2/5
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,৮২১.

p - (1/p) = √2 হলে, (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

ক
8√2
খ
6√2
গ
5√2
ঘ
9√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p - (1/p) = √2 হলে, (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
(p⁶ - 1)/p³
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + [{3 × p × (1/p)} × {p - (1/p)}]
= (√2)³ + (3 × 1 × √2)
= 2√2 + 3√2
= 5√2

১৩,৮২২.

5a²b² - 2abc - 16c² এর একটি উৎপাদক (ab - 2c) হলে, অপরটি কত?

ক
(5ab + 8c)
খ
(a - 2b)
গ
(ab + 4c)
ঘ
(ab - 2c)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5a²b² - 2abc - 16c² এর একটি উৎপাদক (ab - 2c) হলে, অপরটি কত?

সমাধান:
5a²b² - 2abc - 16c²
= 5a²b² - 10abc + 8abc - 16c²
= 5ab(ab - 2c) + 8c(ab - 2c)
= (ab - 2c)(5ab + 8c)

১৩,৮২৩.

'HANDSOME' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে সবগুলো স্বরবর্ণ একসাথে থাকবে?

ক
ক) 4320
খ
খ) 2160
গ
গ) 2258
ঘ
ঘ) 3500

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'HANDSOME' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে সবগুলো স্বরবর্ণ একসাথে থাকবে?

সমাধান:
এখানে মোট অক্ষর 8 টি এবং স্বরবর্ণ 3 টি এবং সবগুলো বর্ন ভিন্ন ভিন্ন।
স্বরবর্ণ তিনটিকে একটি মনে করে মোট বর্ণ 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720
স্বরবর্ণ 3 টির নিজেদেরভ মধ্যে বিন্যাস = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস = 720 × 6 = 4320

১৩,৮২৪.

{(√5)^x}/125 = 1 হলে, x = ?

ক
5
খ
6
গ
4
ঘ
8

ব্যাখ্যা

{(√5)^x}/125 = 1
বা, (√5)^x = 125
বা, (5^1/2)^x = 5³
বা, 5^x/2 = 5³
বা, x/2 = 3
∴ x = 6

১৩,৮২৫.

যদি log_mm^log125 + log_nn^log8 = x হয়, তবে x এর মান কত?

ক
10
খ
m+n
গ
3
ঘ
3(m+n)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_mm^log125 + log_nn^log8 = x হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_mm^log125 + log_nn^log8 = x
⇒ log125 log_mm + log8 log_nn = x
⇒ log 125 + log 8 = x
⇒ log (125 × 8) = x
⇒ log (1000) = x
⇒ x = log (10)³
⇒ x = 3log10
⇒ x = 3

১৩,৮২৬.

একটি সমান্তর অনুক্রমে পঞ্চম পদটি 18 এবং ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি 75 হলে, ১ম পদটি কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d

∴ পঞ্চম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 18 = a + 4d...... (1)
আবার,
প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি = (5/2){2a +(5 - 1)d}
বা, 75 = (5/2)(2a + 4d)
বা, 150 = 2 × 5(a + 2d)
বা, 15 = a + 2d.....(2)
বা, 30 = 2a + 4d
বা, 30 = a + (a + 4d)
বা, 30 = a + 18 [যেহেতু, a + 4d = 18]
∴ a = 12

১৩,৮২৭.

৩ টি সংখ্যার গড় ৩৪। দুইটি সংখ্যা ২৫ ও ৪৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৩৫
খ
৪২
গ
৩২
ঘ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ টি সংখ্যার গড় ৩৪। দুইটি সংখ্যা ২৫ ও ৪৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

৩ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩৪ × ৩) = ১০২
∴ অপর সংখ্যাটি = ১০২ - (২৫ + ৪৫)
= ১০২ - ৭০
= ৩২

১৩,৮২৮.

যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের তিনগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?

ক
৮
খ
৯
গ
১০
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের তিনগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ধরি,
বহিঃকোণের পরিমাণ = ক
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৩ক

∴ ক + ৩ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪৫° = ৮

১৩,৮২৯.

x² - 1 - y (y-2) এর উৎপাদক কত?

ক
ক) (x−y−1)(x−y+1)
খ
খ) (x-y+1) (x+y-1)
গ
গ) (x+y+1) (x-y-1)
ঘ
ঘ) (x-y) (x+y+1)

ব্যাখ্যা

x² - 1 - y(y-2)
= x² -1 -y² +2y
= x² -(1+y²-2y)
= x² -(1-y)²
= (x+1-y)(x-1+y)
= (x-y+1) (x+y-1)

১৩,৮৩০.

ক
13/4
খ
9/5
গ
11/4
ঘ
10/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,৮৩১.

log_ax = 1 , log_ay = 2 , log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

ক
4
খ
7
গ
12
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ax = 1 , log_ay = 2 , log_az = 3 হলে, log_a(x³y²/z) এর মান কত?

সমাধান:
log_a(x³y²/z)
= log_a(x³y²) - log_az [log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)]
= log_ax³ + log_ay² - logaz [log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)]
= 3log_ax + 2log_ay - log_az
= 3 × 1 + 2 × 2 - 3
= 3 + 4 - 3
= 7 - 3
= 4

১৩,৮৩২.

কোনো অফিসে কর্মরত ৫৩ জন ব্যক্তির মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করেন, ১৮ জন কবিতা পছন্দ করেন এবং ১০ জন গান ও কবিতা কোনোটিই পছন্দ করেন না। কত জন ২টিই পছন্দ করেন?

ক
ক) ১০ জন
খ
খ) ১১ জন
গ
গ) ১৩ জন
ঘ
ঘ) ১৪ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো অফিসে কর্মরত ৫৩ জন ব্যক্তির মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করেন, ১৮ জন কবিতা পছন্দ করেন এবং ১০ জন গান ও কবিতা কোনোটিই পছন্দ করেন না। কত জন ২টিই পছন্দ করেন?

সমাধান:
গান পছন্দ করে n(A) = ৩৬ জন
কবিতা পছন্দ করে n(B) = ১৮ জন
গান, কবিতা বা যেকোন একটি পছন্দ করে n(A ∪ B) = ৫৩ - ১০ = ৪৩ জন
গান, কবিতা উভয় পছন্দ করে n(A ∩ B) = ?

আমরা জানি
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
n(A ∩ B) = ৩৬ + ১৮ - ৪৩
n(A ∩ B) = ৫৪ - ৪৩
n(A ∩ B) = ১১

১৩,৮৩৩.

log₆a = 2 হলে a = কত?

ক
64
খ
49
গ
36
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₆a = 2 হলে a = কত?

সমাধান:
log₆a = 2
⇒ a = 6²
∴ a = 36

১৩,৮৩৪.

১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

ক
ক) ২৪০
খ
খ) ২৫৬
গ
গ) ৫১২
ঘ
ঘ) ১২৮

ব্যাখ্যা

১ + ৩ + ৫ + ৭ + ..... ৩১ ∴ ১ম পদ a = ১, সাধারন অন্তর d = ২
∴ পদ সংখ্যা = শেষ পদ - ১ম পদ / সাধারন অন্তর + ১ = ৩১-১/২ + ১ = ১৬
∴ সমষ্টি = n² = ১৬^২ = ২৫৬

১৩,৮৩৫.

p এর মান কত হলে 5x² - px + 5 = 0 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

ক
9
খ
± 10
গ
± 12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 5x² - px + 5 = 0 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি, b² - 4ac = 0 হয় তবে মূলদ্বয় সমান হবে।

এখানে, a = 5, b = - p এবং c = 5

∴ b² - 4ac = 0
⇒ (- p)² - 4 × 5 × 5 = 0
⇒ p² - 100 = 0
⇒ p² = 100
∴ p = ± 10

∴ p এর মান ± 10 হলে 5x² - px + 5 = 0 রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে।

১৩,৮৩৬.

∫(x)((x+3)/(x-1)) = এর Domain কত?

ক
ক) {1}
খ
খ) R-{3/2}
গ
গ) R -{1,-1}
ঘ
ঘ) {x∈R : x = not 1}

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, x এর যেসকল বাস্তব মানের জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে, x এর ঐসকল মানকে ডোমেন বলে। এখানে x এর মান 1 হলে নিচে শূন্য (০) চলে আসবে। সেক্ষেত্রে f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না। x = not 1 অর্থাৎ {x∈R : x = not 1} ই তাহলে Domain হবে।

১৩,৮৩৭.

x³ - 2x² - x + 2 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x + 2
খ
খ) 2x + 1
গ
গ) x - 2
ঘ
ঘ) 2x - 1

ব্যাখ্যা

এখানে,
f(x) = x³ - 2x² - x + 2 এর ক্ষেত্রে,
f(2) = 0
∴ (x - 2) উৎপাদক

১৩,৮৩৮.

2^{(7x - 2)} = 256 হলে x এর মান কত?

ক
5/4
খ
10/7
গ
1/3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{(7x - 2)} = 256 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 2^{7x - 2} = 256
⇒ 2^{7x - 2} = 2⁸
⇒ 7x - 2 = 8
⇒ 7x = 8 + 2
⇒ 7x = 10
⇒ x = 10/7

১৩,৮৩৯.

p³ - 6p² + 12p - 9 এর একটি উৎপাদক (p² - 3p + 3) হলে অপর উৎপাদকটি হবে-

ক
p - 1
খ
p - 2
গ
p - 3
ঘ
p - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³ - 6p² + 12p - 9 এর একটি উৎপাদক (p² - 3p + 3) হলে অপর উৎপাদকটি হবে-

সমাধান:
p³ - 6p² + 12p - 9
= p³ - 3 ⋅ p² ⋅ 2 + 3 ⋅ p ⋅ 4 - 2³ - 1
= (p - 2)³ - 1³
= (p - 2 - 1){(p - 2)² + (p - 2) ⋅ 1 + 1²}
= (p - 3)(p² - 4p + 4 + p - 2 + 1)
= (p - 3)(p² - 3p + 3)

১৩,৮৪০.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৫ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৫ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
৭৫
খ
৮৫
গ
৮০
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৫ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৫ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান :
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা = ক জন।

১ম ক্ষেত্রে,
৪ জন বসে ১ টি বেঞ্চে
ক জন বসে = ক/৪ টি বেঞ্চে
১ম ক্ষেত্রে মোট বেঞ্চ সংখ্যা = ( ক/৪ + ৫) টি

২য় ক্ষেত্রে,
৩ জন বসে ১ টি বেঞ্চে
( ক - ৫) জন বসে = ( ক - ৫) /৩ টি বেঞ্চে

তাহলে, ক/৪ + ৫ = ( ক - ৫) /৩
বা, ( ক + ২০)/৪ = ( ক - ৫)/৩
বা, ৩ক + ৬০ = ৪ক - ২০
বা, ক = ৮০

অর্থাৎ, মোট ছাত্রসংখ্যা ৮০ জন

উত্তর : ৮০ জন

[ক/৪ + ৫ = ( ক - ৫) /৩ ; এই সমীকরণে অপশন প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দ্রুত সমাধান করা যায়।]

১৩,৮৪১.

৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত?

ক
ক) ২
খ
খ) ১
গ
গ) ১/২
ঘ
ঘ) ১/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = ৬৪
সাধারণ অনুপাত, r = ৩২/৬৪
= ১/২

ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{n - 1}
= ৬৪ (১/২)^{৮ - ১}
= ৬৪ × (১/২)^৭
= ৬৪ × (১/১২৮ )
= ১/২

১৩,৮৪২.

ক
0
খ
- 2
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,৮৪৩.

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৫ এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারার ১৫০তম পদটি কত?

ক
৮৯৪
খ
৯০৫
গ
৮৯৯
ঘ
৮৮৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৫ এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারার ১৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১৫০ তম পদ = ৫ + (১৫০ - ১) × ৬
= ৫ + (১৪৯ × ৬)
= ৫ + ৮৯৪
= ৮৯৯

∴ ১৫০ তম পদ হলো ৮৯৯

১৩,৮৪৪.

4^x+1 = 32 সমীকরণে x = ?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

4^x+1= 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ 2(x + 1) = 5
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 5 - 2
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

১৩,৮৪৫.

(x/4 + y, 4) = (6, x - y) হলে (x, y) নির্ণয় কর।

ক
ক) (4, 8)
খ
খ) (8, 4)
গ
গ) (2, 4)
ঘ
ঘ) (1, 2)

ব্যাখ্যা

x/4 + y = 6 ……..(1)
x - y = 4 …………(2)
(1) নং থেকে, y = 6 - x/4 ……..(3)
(2) নং থেকে x - 6 + x/4 = 4
⇒5x = 40
⇒x = 8
⇒y = 8 - 4 = 4
∴(x, y) = (8, 4)

১৩,৮৪৬.

1 + 3 + 9 + ............... ধারাটির ষষ্ঠ পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 355
খ
খ) 360
গ
গ) 364
ঘ
ঘ) 370

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 9 + ............... ধারাটির ষষ্ঠ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = 3
প্রথম পদ a = 1

ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি = a(rⁿ -1)/(r - 1)
= 1 × (3⁶ - 1)/(3 - 1)
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

১৩,৮৪৭.

কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
1
খ
0
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা, d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

১৩,৮৪৮.

√(2x + 8) - 2√(x + 5) + 2 = 0 হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
6
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √(2x + 8) - 2√(x + 5) + 2 = 0 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ √(2x + 8) - 2√(x + 5) + 2 = 0
⇒ √(2x + 8) = 2√(x + 5) - 2
⇒ {√(2x + 8)}² = { 2√(x + 5) - 2}²
⇒ 2x + 8 = 4(x + 5) + 4 - 8√(x + 5)
⇒ 8√(x + 5) = 4x + 20 + 4 -2x - 8
⇒ 8√(x + 5) = 2x + 16
⇒ 4√(x + 5) = x + 8
⇒ {4√(x + 5)}² = (x + 8)
⇒ 16(x + 5) = x² + 16x + 64
⇒ 16x + 80 = x² + 16x + 64
⇒ x² = 16
∴ x = 4

বি: দ্র: অপশন দিয়েও উত্তর বের করা যায়।

১৩,৮৪৯.

৫২টি তাসের একটি সেট থেকে পুনরায় না রেখে টানা তিনটি তাস টানা হলে তিনটি তাসই টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১৩২৬০০
খ
১/৫৫২৫
গ
১/২০০০
ঘ
১/১৫৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি সেট থেকে পুনরায় না রেখে টানা তিনটি তাস টানা হলে তিনটি তাসই টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ম বারে টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫২ = ১/১৩
২য় বারে টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ৩/৫১ = ১/১৭
৩য় বারে টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ২/৫০ = ১/২৫

∴ মোট সম্ভাবনা = (১/১৩) × (১/১৭) × (১/২৫) = ১/৫৫২৫

১৩,৮৫০.

4x - 3 = 6 হলে 64x³ - 27 - 216x এর মান কত?

ক
ক) 125
খ
খ) 126
গ
গ) 216
ঘ
ঘ) 612

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x - 3 = 6 হলে 64x³ - 27 - 216x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
4x - 3 = 6

প্রদত্ত রাশি = 64x³ - 27 - 216x
= (4x)³- 3³ - 216x
= (4x - 3)³ + 3.4x.3(4x - 3) - 216x
= 6³ + 36x. 6 - 216x
= 216 + 216x - 216x
= 216

১৩,৮৫১.

a³ + 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
a - √2
খ
a² + √2
গ
a + √3
ঘ
a + √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ + 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= a³ + 2√2
= a³ + (√2)³
= (a + √2){a² - a.√2 + (√2)²} ; [x³+ y³ = (x + y)(x² - xy + y²)]
= (a + √2)(a² - a√2 + 2)

১৩,৮৫২.

p^p√p = (p√p)^p হলে, p এর মান কত?

ক
1/2
খ
2/3
গ
9/4
ঘ
5/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p^p√p = (p√p)^p হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
p^p√p = (p√p)^p
⇒ p^p√p = (p¹ ⋅ p^1/2)^p
⇒ p^p√p = {p¹ ^{+ (1/2)}}^p
⇒ (p^p)^√p = {p^3/2}^p
⇒ (p^p)^√p = (p^p)^3/2
⇒ √p = 3/2
⇒ (√p)² = (3/2)²
∴ p = 9/4

১৩,৮৫৩.

A = {x ∈ N : x² = 1} সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

ক
ক) {1, - 1}
খ
খ) {- 1}
গ
গ) {1}
ঘ
ঘ) {- 1, 0}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x2 = 1} সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : x² = 1}
যেহেতু, x ∈ N হলে N = [1, 2, 3, 4, 5, ...................}

এখন, x² = 1
x = ± 1
কিন্তু - 1 ∉ N

∴ A = {x ∈ N : x2 = 1} সেটকে তালিকা পদ্ধতি = {1}

১৩,৮৫৪.

(log₁₀25)/(log₁₀5) এর মান কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 2
গ
গ) 20
ঘ
ঘ) 0.2

ব্যাখ্যা

(log₁₀25)/(log₁₀5)
= log10(5)²/(log₁₀5)
= 2log₁₀5/log₁₀5
=2

১৩,৮৫৫.

3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)²= 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

১৩,৮৫৬.

একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ⅔
খ
খ) ⅓
গ
গ) ¾
ঘ
ঘ) ¼

ব্যাখ্যা

মোট বল = (6+8+10) = 24 টি
দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/24 = ⅓
∴ দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - ⅓ = ⅔

১৩,৮৫৭.

x⁴ - 4x³ + 5x² + 8x - 10 কে (x - 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
32
খ
34
গ
35
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ - 4x³ + 5x² + 8x - 10 কে (x - 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x⁴ - 4x³ + 5x² + 8x - 10
∴ x - 3 = 0
⇒ x = 3

ভাগশেষ, f(3) = (3)⁴ - {4 × (3)³} + {5 × (3)²} + {8 × (3)} - 10
= 81 - 108 + 45 + 24 - 10
= 150 - 118
= 32

১৩,৮৫৮.

5(1 - x) + 3(2 - x) = -21 সমীকরণে x এর মান = ?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

5(1 - x) + 3(2 - x) = -21
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -21
বা, -8x = -21 - 11
বা, -8x = -32
বা, x = -32/-8
বা, x = 4

১৩,৮৫৯.

x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x - y এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4 ------------ (1)

x/y = 2
⇒ x = 2y ------------ (2)

(1) নং হতে,
x + 2y = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

y = 2/2 = 1

x - y = 2 - 1
= 1

১৩,৮৬০.

9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

ক
36,280
খ
40,320
গ
42,560
ঘ
18,000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জনকে বসানোর উপায় = (9 - 1)! = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

১৩,৮৬১.

(1/5) log_x (2187√3) = 1 হলে x এর মান

ক
3√3
খ
3
গ
√3
ঘ
1/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/5) logx (2187√3) = 1 হলে x এর মান

সমাধান:
(1/5) log_x (2187√3) = 1
⇒ log_x (2187√3) = 5
[এখানে 2187√3 = 37√3 = 35.32.√3
= 35{(√3)2}2 . √3 = 35. (√3)5]
⇒ x⁵ = 2187√3
⇒ x⁵ = (3√3)⁵
∴ x = 3√3

১৩,৮৬২.

(1/x) + (1/y) = (1/z) এবং xy = z হলে, x এবং y এর গড় কত?

ক
0
খ
1/2
গ
3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = (1/z) এবং xy = z হলে, x এবং y এর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/x) + (1/y) = (1/z) এবং xy = z

এখন,
(1/x) + (1/y) = (1/z)
⇒ (y + x)/xy = 1/z
⇒ (x + y)/xy = 1/z
⇒ (x + y)/z = 1/z ; [ab = c]
⇒ (x + y) = z/z = 1
∴ (x + y)/2 = 1/2

সুতরাং, x এবং y-এর গড় হবে 1/2।

১৩,৮৬৩.

নিচের কোনটি a⁴ - 27a² + 1 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a² - 5a - 1)
খ
(a² - 5a + 1)
গ
(a² + 5a + 1)
ঘ
(a² - 3a - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a⁴ - 27a² + 1 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a⁴ - 27a² + 1
(a²)² - 2 · a² · 1 + (1)² - 25a²
= (a² - 1)² - (5a)²
= (a² - 1 + 5a) (a² - 1 - 5a)
= (a² + 5a - 1)(a² - 5a - 1)

১৩,৮৬৪.

(3a + 2b, 20) = (8, 2a + 8b) হলে (a, b) এর মান কত?

ক
(4/5, 11/7)
খ
(12/6, 11/5)
গ
(6/5, 11/5)
ঘ
(6/5, 8/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ: (3a + 2b, 20) = (8, 2a + 8b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
3a + 2b = 8 .......... (1)
2a + 8b = 20 ......... (2)

(2) নং - {(1) নং × 4} হতে পাই,
2a + 8b - 12a - 8b = 20 - 32
⇒ - 10a = - 12
⇒ 10a = 12
⇒ a = 12/10
∴ a = 6/5

a এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
3 × (6/5) + 2b = 8
⇒ (18/5) + 2b = 8
⇒ 2b = 8 - (18/5)
⇒ 2b = (40 - 18)/5
⇒ 2b = 22/5
⇒ b = 11/5

সুতরাং (a, b) = (6/5, 11/5)

১৩,৮৬৫.

A∪B = {a, b, c} হলে কোনটি সঠিক?
i. A = {a, b}, B = {a, b, c}
ii. A = {a, b, c}, B = {b, c}
iii. A = {a, b}, B = {c}

ক
ক) i
খ
খ) ii
গ
গ) i, ii
ঘ
ঘ) i, ii, iii

ব্যাখ্যা

i. A = {a, b}, B = {a, b, c}
A∪B = {a, b}∪ {a, b, c} = {a, b, c}
ii. A = {a, b, c}, B = {b, c}
A∪B = {a, b, c}∪ {b, c} = {a, b, c}
iii. A = {a, b}, B = {c}
A∪B = {a, b}∪ {c} = {a, b, c}

১৩,৮৬৬.

x + y = 12 ও x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

ক
25
খ
30
গ
35
ঘ
45

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 ও x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি
4xy = (x + y)² - (x - y)²
বা, 4xy = (12)² - 2²
বা, 4xy = 144 - 4
বা, 4xy = 140
∴ xy = 35

১৩,৮৬৭.

যদি a + b + c = 9 এবং a² + b² + c² = 19 হয়, তবে 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

ক
62
খ
31
গ
38
ঘ
42

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 9 এবং a² + b² + c² = 19 হয়, তবে 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

সমাধান:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 9² = 19 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 81 = 19 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 81 - 19
2(ab + bc + ca) = 62

১৩,৮৬৮.

x³ - x² কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) -8

ব্যাখ্যা

ভাগশেষ উপপাদ্য মতে,
ƒ (x) = x³ - x²
x = 3 হলে,
ƒ ( 3 ) = 3³ - 3² = 18
ভাগশেষ = 18

১৩,৮৬৯.

x² - 3x, x³ - 9x এবং x³ - 4x² + 3x এর গ. সা.গু =?

ক
x(x - 3)
খ
x - 3
গ
x
ঘ
x(x + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3x, x³ - 9x এবং x³ - 4x² + 3x এর গ. সা.গু =?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x³ - 9x
= x(x² - 9)
= x(x²- 3²)
= x(x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = x³ - 4x² + 3x
= x(x² - 4x + 3)
= x(x² - 3x - x + 3)
= x{x(x - 3) - 1(x - 3)}
= x(x - 3)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x - 3)

১৩,৮৭০.

x - y = 2 এবং xy = 24 হলে (x + y)² এর মান কত?

ক
ক) 90
খ
খ) 22
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
xy = 24

এখন
(x + y)²= (2)² + 4 × 24
= 4 + 96
= 100

১৩,৮৭১.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু a²b(a + b) এবং গ.সা.গু a(a + b)। একটি সংখ্যা (a³ + a²b) হলে অপরটি কত?

ক
a³ - b³
খ
a³b + a²b²
গ
ab² + a²b²
ঘ
a²b + ab²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু a²b(a + b) এবং গ.সা.গু a(a + b)। একটি সংখ্যা (a³ + a²b) হলে অপরটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
= a²b(a + b) × a(a + b)
= a³b(a + b)(a + b)

ধরি, অপর সংখ্যা = x

∴ x × (a³ + a²b) = a³b(a + b)(a + b)
⇒ x × a²(a + b) = a³b(a + b)(a + b)
⇒ x = {a³b(a + b)(a + b)}/a²(a + b)
⇒ x = ab(a + b)
∴ x = a²b + ab²

১৩,৮৭২.

a + b = 3 এবং a - b = √5 হলে, 2 (a² + b² ) এর মান কত?

ক
ক) 14
খ
খ) 16
গ
গ) 17
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং a - b= √5 হলে, 2 (a² + b² ) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b = 3
a - b =√5

প্রদত্ত রাশি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
= (3)² + (√5)²
= 9 + 5
= 14

১৩,৮৭৩.

If, x - y = 5, xy = 6, then x + y =?

ক
ক) 7
খ
খ) ± 7
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) None

ব্যাখ্যা

Question: If, x - y = 5, xy = 6, then x + y =?

Solution:
Given that
x - y = 5
xy = 6

Now
(x + y)² = (x - y)2 + 4xy
(x + y)² = 5²+ 4 × 6
(x + y)² = 25 + 24
(x + y)² = 49
(x + y) =±√49
x + y = ±7

১৩,৮৭৪.

p > q এবং r < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
pr > qr
খ
pr < qr
গ
pq < r
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p > q এবং r < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p > q ........... (1)
r < 0...............(2)

আমরা জানি,
কোনো অসমতার উভয় পক্ষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

'>' চিহ্ন হবে '<' এবং '<' চিহ্ন হবে '>'

(2) নং হতে, r অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে r দ্বারা গুন করলে, pr < qr

১৩,৮৭৫.

৫টি সংখ্যার গড় ১৪। এর মধ্যে শেষ ৩টি সংখ্যার গড় ১৮ হলে, প্রথম ২টি সংখ্যার গড় কত?

ক
১৬
খ
১২
গ
৮
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার গড় ১৪। এর মধ্যে শেষ ৩টি সংখ্যার গড় ১৮ হলে, প্রথম ২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৫টি সংখ্যার গড় ১৪
৫টি সংখ্যার সমষ্টি (১৪ × ৫) = ৭০

শেষ ৩টি সংখ্যার গড় ১৮
শেষ ৪টি সংখ্যার সমষ্টি (১৮ × ৩) = ৫৪

প্রথম ২টি সংখ্যার সমষ্টি (৭০ - ৫৪) = ১৬
প্রথম ২টি সংখ্যার গড় (১৬ ÷ ২) = ৮

১৩,৮৭৬.

যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তাহলে x =?

ক
0
খ
2
গ
1/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তাহলে x =?

সমাধান:
x/y = 2
∴ x = 2y .....(1)

x + 2y = 4
⇒ 2y + 2y = 4
⇒ 4y = 4
∴ y = 1

(1) নং হতে পাই,
x = 2y
⇒ x = 2 × 1
∴ x = 2

১৩,৮৭৭.

x⁴+ 4 এর উৎপাদক কি কি?

ক
ক) (x² + 2x + 2) (x²+ 2x - 2)
খ
খ) (x² + 3x + 2) (x² - 3x + 2)
গ
গ) (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)
ঘ
ঘ) (x² + 2x + 4)(x² - 2x + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴+ 4 এর উৎপাদক কি কি?
সমাধান:
x⁴+ 4
= x⁴ + 4 + 4x² - 4x²
= (x²)² + 2.x². 2 + 2² - 4x²
= (x² + 2)² - (2x)²
= (x² + 2 + 2x)(x² + 2 - 2x)
=(x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)

১৩,৮৭৮.

log₂(8) + log_x(1) - log₄(16) এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(8) + log_x(1) - log₄(16) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(8) + log_x(1) - log₄(16)
= log₂2³ + 0 - log₄4²
= 3 log₂2 - 2 log₄4
= 3 - 2
= 1

১৩,৮৭৯.

x + y = 7 এবং xy = 6 হলে, x - y এর মান কত?

ক
ক) ±4
খ
খ) ±5
গ
গ) ±2
ঘ
ঘ) ±3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 6 হলে, x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 7
xy = 6

এখন
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
(x - y)² = 7² - 4 × 6
(x - y)² = 49 - 24
(x - y)² = 25
(x - y) =±√25
x - y = ±5

১৩,৮৮০.

x = 2y = 3z এবং xyz = 36 হলে, y = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

x = 2y = 3z
∴ x = 2y এবং z = 2y/3
এখন,
xyz = 36
বা, 2y × y × 2y/3 = 36
বা, 4y³ = 36 × 3
বা, y³ = 27 = 3³
∴ y = 3

১৩,৮৮১.

3 - 6 + 12 - 24 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 509
খ
খ) 511
গ
গ) 513
ঘ
ঘ) 515

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

৯টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= 3(1 + 512)/(1 + 2)
= (3 × 513)/3
= 513

১৩,৮৮২.

7 × 0! এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
7
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 × 0! এর মান কত?

সমাধান:
ফ্যাক্টোরিয়াল সূত্র অনুযায়ী,
n! = n × (n - 1)!

এখন, n = 1 হলে,
1! = 1 × (1 - 1)!
⇒ 1! = 1 × 0!
⇒ 1 = 0!
∴ 0! = 1

∴ 7 × 0! = 7 × 1 = 7

১৩,৮৮৩.

রিশাদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

ক
3 বছর
খ
2 বছর
গ
5 বছর
ঘ
4 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রিশাদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ(প্রথম মাস), a = 1200 টাকা
সাধারণ অন্তর(প্রতি মাসে বৃদ্ধি), d = 100 টাকা
n মাস পরে মোট সঞ্চয়, Sn = 106200 টাকা।

আমরা জানি,
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ (n/2)[2 × 1200 + (n - 1)100] = 106200
⇒ (n/2)(2400 + 100n - 100) = 106200
⇒ (n/2)(100n + 2300) = 106200
⇒ n(100n + 2300) = 212400
⇒ 100n² + 2300n - 212400 = 0
⇒ n² + 23n - 2124 = 0
⇒ n² + 59n - 36n - 2124 = 0
⇒ n(n + 59) - 36(n + 59) = 0
⇒ (n + 59)(n - 36) = 0
হয়,
n + 59 = 0
∴ n = - 59 [মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারেনা]

অথবা,
n - 36 = 0
∴ n = 36

নির্ণেয় সময় 36 মাস বা 3 বছর।

১৩,৮৮৪.

8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

ক
ক) 1176
খ
খ) 3360
গ
গ) 2276
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
সমাধান :
3 জন বালক বাছাই করা যায় = ⁸c₃= 56
2 জন বালিকা বাছাই করা যায় = ⁷c₂ = 21
∴ বেছে নেওয়ার মোট উপায় = 56 × 21 = 1176

১৩,৮৮৫.

দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির দুইগুণ যোগ করলে 59 হয়। আবার, প্রথমটির দুইগুণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে 9 হয়। সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন।

ক
10 এবং 14
খ
12 এবং 15
গ
9 এবং 16
ঘ
11 এবং 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির দুইগুণ যোগ করলে 59 হয়। আবার, প্রথমটির দুইগুণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে 9 হয়। সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = x
দ্বিতীয় সংখ্যা = y

প্রশ্নানুসারে,
প্রথম সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার দুইগুণ যোগ করলে 59
3x + 2y = 59 .........(1)

এবং প্রথম সংখ্যার দুইগুণ থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা বিয়োগ করলে 9
⇒ 2x - y = 9
∴ y = 2x - 9 .........(2)

এই মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ 3x + 2(2x - 9) = 59
⇒ 3x + 4x - 18 = 59
⇒ 7x = 59 + 18
⇒ 7x = 77
∴ x = 11

এখন x = 11 বসিয়ে y বের করি,
⇒ y = 2 × 11 - 9
⇒ y = 22 - 9
∴ y = 13

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয় হলো 11 এবং 13।

১৩,৮৮৬.

2x² + 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
বাস্তব ও অসমান
গ
বাস্তব, সমান ও মূলদ
ঘ
অবাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² + 5x + 4 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b²- 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

১৩,৮৮৭.

a/b + b/a = 7 হলে a²/b² + b²/a² =?

ক
ক) 7
খ
খ) 9
গ
গ) 23
ঘ
ঘ) 47

ব্যাখ্যা

a²/b² + b²/a²
= (a/b + b/a)² - 2.a/b.b/a
= 7² - 2
= 49 - 2
= 47

১৩,৮৮৮.

x² + x - 20 এর উৎপাদক কত?

ক
(x + 5)(x - 5)
খ
(x - 5)(x + 4)
গ
(x + 5)(x - 4)
ঘ
(x + 4)(x - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + x - 20 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x² + x - 20
= x² + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4(x + 5)
= (x + 5)(x - 4)

১৩,৮৮৯.

2 + 6 + 18 + … + 1458 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
2196
খ
2164
গ
2202
ঘ
2186

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + … + 1458 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1458
⇒ 2 × 3^{n - 1} = 1458
⇒ 3^{n - 1} = 1458/2
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {2 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 2 × (2187 - 1)/2
= 2 × (2186/2)
= 2186

১৩,৮৯০.

3/x + 4/(x+1) = 2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

3/x + 4/(x + 1) = 2
⇒ (3x + 3 + 4x) / {x(x + 1)} = 2
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² - 5x - 3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়
x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা
2x + 1 = 0
∴ x = - 1/2

১৩,৮৯১.

২ জন প্রার্থীর ৪ জন ভোটার ১ জন প্রার্থী কত উপায়ে নির্বাচিত হতে পারে?

ক
ক) ৮ উপায়ে
খ
খ) ৬৪ উপায়ে
গ
গ) ১৬ উপায়ে
ঘ
ঘ) ৩২ উপায়ে

ব্যাখ্যা

এখানে,
প্রার্থীর সংখ্যা n = ২ জন
ভোটার সংখ্যা r = ৪ জন

নির্বাচিত হতে পারে = n^r উপায়ে
= ২^৪উপায়ে
= ১৬ উপায়ে

১৩,৮৯২.

একটি ঝুড়িতে ৫টি আপেল, ৪টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। দৈবভাবে একটি ফল বাছাই করলে সেটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৫/১২
খ
১/৪
গ
১/৩
ঘ
৭/১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫টি আপেল, ৪টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। দৈবভাবে একটি ফল বাছাই করলে সেটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আপেল = ৫টি
কলা = ৪টি
কমলা = ৩টি

∴ মোট ফল = ৫ + ৪ + ৩ = ১২টি

ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা
= (আপেলের সংখ্যা)/(মোট ফলের সংখ্যা)
= ৫/১২

∴ ফলটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (৫/১২)
= (১২ - ৫)/১২
= ৭/১২

১৩,৮৯৩.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট ৩৮০ টাকা চাঁদা উঠল। প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিলেন?

ক
ক) ২০ টাকা
খ
খ) ১৯ টাকা
গ
গ) ১৮ টাকা
ঘ
ঘ) ১৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট ৩৮০ টাকা চাঁদা উঠল। প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিলেন?

সমাধান:
ধরি, ছাত্রছাত্রী আছে x জন
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা x - 1 জন

প্রশ্নমতে,
x (x - 1) = 380
⇒ x² - x = 380
⇒ x² - x - 380 = 0
⇒ x² - 20x + 19x - 380 = 0
⇒ x (x - 20) + 19 (x - 20) = 0
⇒ (x - 20) (x + 19) = 0
∴ x - 20 = 0
x = 20

বা, x = - 19 ; ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, ছাত্রছাত্রী আছে ২০ জন।
চাঁদা দেয়া হয়েছে = ২০ - ১ টাকা
= ১৯ টাকা

১৩,৮৯৪.

একটি বালিকা বিদ্যালয়ে যদি ৬ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু যদি ৫ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ক্লাসে বেঞ্চের সংখ্যা কত?

ক
২০
খ
১৮
গ
১৪
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ে যদি ৬ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু যদি ৫ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ক্লাসে বেঞ্চের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা x

প্রশ্নমতে,
⇒ ৬(x - ২) = ৫x + ৬
⇒ ৬x - ১২ = ৫x + ৬
⇒ x = ১৮

১৩,৮৯৫.

x+y = 14 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
ক) 24
খ
খ) 49
গ
গ) 63
ঘ
ঘ) 40

ব্যাখ্যা

যখন x ও y এর মান সমান হবে তখন xy এর মান সর্বোচ্চ হবে।
অর্থাৎ, x = 7 এবং y = 7.
সুতরাং, xy = 7×7 = 49

১৩,৮৯৬.

যদি x+1/x = 4 হয় তবে x/(x²-3x+1) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

x+1/x = 4
∴ x² + 1 = 4x
∴ x/(x²-3x+1) = x/(4x - 3x) = x/x = 1

১৩,৮৯৭.

x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু-

ক
x⁶ - 1
খ
x³ + 1
গ
x² - 1
ঘ
x³ - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর ল.সা.গু-

সমাধান:
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)

∴ ল.সা.গু = (x - 1)(x² + x + 1)(x + 1)(x² - x + 1)
= (x³ - 1)(x³ + 1)
= x⁶ - 1

১৩,৮৯৮.

A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

ক
96
খ
60
গ
120
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
মোট বর্ণ, n = 4
প্রতিবারে নিতে হবে 3 টি বর্ণ, r = 3 (এখানে কতটি বর্ণ নিতে হবে তা বলে দেয়া আছে)

মোট সাজানোর উপায় = ⁿP_r = n!/(n - r)!
= 4!/(4 - 3)!
= 4!/1!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

সুতরাং, মোট ২৪টি ভাবে তিনটি বর্ণ সাজানো যায়।

১৩,৮৯৯.

x² - 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

ক
(x + 5)(x - 3)
খ
(x - 5)(x + 3)
গ
(x - 5)(x + 5)
ঘ
(x - 3)(x - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 2x - 15
= x² - 5x + 3x - 15
= x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x + 3)

১৩,৯০০.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে ৩য় পদটি 20 এবং ৬ষ্ঠ পদটি 160 হলে ১ম পদটি কত?

ক
5
খ
4
গ
6
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে ৩য় পদটি 20 এবং ৬ষ্ঠ পদটি 160 হলে ১ম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

প্রশ্নমতে,
ar² = 20 ............. (1)
ar⁵ = 160 ........... (2)

(2)/(1) নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a · 2² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5