বীজগণিত

a>b
1/a<1/b [ ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উলটে যায়]

ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কখন কোনো বহুপদী ƒ(x) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(-b/a) = 0 হয়। অনুসিদ্ধান্ত ১৩; ৯-১০ম শ্রেণি।

দেওয়া আছে, x + y = 4 ......(i) এবং x − y = 3 ......(ii)
(i) + (ii) = 2x = 7
∴ x = 3(1/2)
∴ y = (1/2)
∴ 2x + 2y = 8

প্রশ্নোক্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ (a) = ১,
সাধারণ অনুপাত (r) = ২,
n = ১৫
∴ সমষ্টি (s) = ১ × {(২^১৫ - ১)/(২ - ১)}
= ২^১৫ - ১
= ৩২৭৬৭

'NARSINGDI' শব্দটির মোট 9টি বর্ণের মধ্যে 2টি N এবং 2টি I আছে। সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(2!2!)
= (9×8×7×6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)
= 90720

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 4 হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 12 x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {12/2}² - {4/2}²
= (6)² - (2)²
= 36 - 4
= 32

প্রশ্ন: 3x + 4y = 18 এবং 5x - 2y = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
3x + 4y = 18 ............... (1)
5x - 2y = 4 ................ (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 4 করে পাই,
6x + 8y + 20x - 8y = 36 + 16
⇒ 26x = 52
∴ x = 2

এখন (1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই, 
(3 × 2) + 4y = 18
⇒ 6 + 4y = 18
⇒ 4y = 18 - 6
⇒ 4y = 12
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a²  +  b²  +  c² = (a + b + c)² - 2ab - 2bc - 2ca
⇒ 83 = (15)² - 2(ab + bc + ca)
⇒ 83 = 225 - 2(ab + bc + ca)
⇒ 83 - 225 = -2(ab + bc + ca)
⇒ -142 = -2(ab + bc + ca)
⇒ 142/2 = (ab + bc + ca)
⇒ 71 = (ab + bc + ca)
⇒ (ab + bc + ca) = 71

∴ ab + bc + ca = 71

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: (3x - 2y, 19) = (0, 5x + 3y) হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের সমতা অনুসারে,
3x - 2y = 0 ………(1)
5x + 3y = 19 ………(2)

(1) থেকে,

3x - 2y = 0
⇒ 3x = 2y
∴ y = 3x/2 ............(3)

(2) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই,
5x + 3(3x/2) = 19
⇒ 5x + 9x/2 = 19
⇒ (10x + 9x)/2 = 19
⇒ 19x = 19 × 2
⇒ x = 38/19
∴ x = 2

(3) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই
y = 3(2)/2
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন: 3^x + 3^x + 3^x = কত?

সমাধান:
3^x + 3^x + 3^x 
= 3^x(1 + 1 + 1)
= 3^x × 3
= 3^{x + 1}

প্রশ্ন: x + y = 6 এবং xy = 5 হয়, তবে x⁴ + y⁴ + 2x²y² = ? 

সমাধান:

প্রশ্ন: ১ - ১ + ১ - ১ + ......... এই ধারাটির (২n + ১) পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা ।
যারা প্রথম পদ a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = - ১/১ = - ১ < ১ 

আমরা জানি,
কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = a(১ - rⁿ)/(১ - r)  ; r < - ১
সমষ্টি = ১(১ - (- ১)^{২n + ১})/{১ - (- ১)}
= [১ - (- ১)^২n × (- ১)^১]/(১ + ১)
= (১ + ১)/২  ; [(- ১)^২n = ১]
= ২/২ 
= ১ 

সুতরাং, (২n + ১) পদের সমষ্টি ১ । 

এখানে প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
arⁿ⁻¹ = 8√2
বা, 1/√2 × (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = 8√2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)ⁿ⁻¹ = (√2)⁸
বা, n−1 = 8
∴ n = 9

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 2 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 2
∴ সংখ্যাটি 10x + (x + 2) = 11x + 2

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 2) + x  =  11x + 20

প্রশ্নমতে,
11x + 20 = 2(11x + 2) - 6
⇒ 11x + 20 = 22x + 4 - 6 
⇒ 22x - 11x = 20 + 6 - 4 ; [পক্ষান্তর করে]
⇒ 11x = 22
⇒ x = 2

∴ সংখ্যাটি = 11x + 2 = 11 × 2 + 2 = 24

n = 3 হলে,
৩য় পদ = Sin{(2.3 + 1) π/2}
= Sin(7 × 90°)
= Sin630°
= -1

|x - 4| ≤ 5
বা, -5 ≤ x - 4 ≤ 5
বা, -5 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 5 + 4
∴ -1 ≤ x ≤ 9

ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, x - 1, x এবং x + 1
সুতরাং, সংখ্যা তিনটির গড় = (x - 1 + x + x + 1) / 3 = 3x/3 = x
প্রশ্নমতে,
(x - 1)(x)(x + 1) = 8(x - 1 + x + x + 1)
⇒ x(x² - 1) = 8 × 3x
⇒ x² - 1 = 24
⇒ x² = 25
∴ x = 5

b³ - a³ = (b - a) (b² + ab + a²),
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + 2.a².b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab) (a² + b² - ab)

∴ ল. সা. গু. = (b - a) (b + a) (a² + b² + a) (a² + b² - ab)
= (b² - a²) (b⁴ + b²a² + a⁴)
= b⁶ - a⁶

ডি মরগানের সূত্রানুসারে,
(A ∪ B ∪ C)' = A' ∩ B' ∩ C'

প্রশ্ন: s + (s + 1) + (s + 2) + ............ ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
s + (s + 1) + (s + 2) + ............
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = s
সাধারন অন্তর, d = s + 1 - s = 1

প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 18/2 {2s + (18 - 1)1}
= 9(2s + 17)
= 18s + 153

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ......... + ৮৫ = ?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 
 যার প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৫ - ১ = ৪

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - ১)d
a + (n - ১)d = ৮৫
১ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
(n - ১) × ৪ = ৮৪ 
n - ১ = ৮৪/৪ 
n - ১ = ২১ 
n = ২২ 

সমান্তর ধারার সমষ্টি, 
S_n = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (২২/২) × (১ + ৮৫)
= ১১ × ৮৬
= ৯৪৬

১ম পদ = 1.3^1-1 = 1.3⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = 2.3^{2 - 1} = 2.3 = 6
৩য় পদ = 3.3^{3 - 1} = 3.3² = 27
৪র্থ পদ = 4.3^{4 - 1} = 4.3³ = 4.27 = 108
∴ সমষ্টি = 1 + 6 + 27 + 108 = 142

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 1 এবং সমষ্টি 7। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
[প্রশ্নে ভাষাগত কিছুটা সমস্যা আছে। ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত তা প্রশ্নে উল্লেখ নাই। তবে যেহেতু প্রশ্নে লব ও হরের পার্থক্য বলা হয়েছে, সেহেতু লব বড় ধরা হয়েছে।]

ভগ্নাংশের লব = x 
ভগ্নাংশের হর = x - 1

প্রশ্নমতে 
x + x - 1 = 7
⇒ 2x - 1 = 7
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

ভগ্নাংশটি লব = 4
ভগ্নাংশের হর = 4 - 1 = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 4/3

x²−3x + 2
= x² - 2x - x + 2
= x(x-2) - 1 (x-2)
= (x-2)(x-1)
মূল দুটি ২ অথবা ১

A∩B = {3, 4, 5, 7, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 3, 10}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + ......... ১ম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2
∴ S₆ = {1 × (1 - rⁿ)/(1 - r)}
= [1 × {1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= (63/64)/(1/2)
= 63/32

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে- 

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
⇒ a + b = 1

x² - 5x + 6<0
⇒(x-3)(x-2)<0
(x - 3)(x - 2) এর যে কোন একটির মান ঋণাত্মক হলে অসমতা টি সত্য হবে। 
x<2 এবং x>3 এর ক্ষেত্রে (x-3)(x-2) এর মান ধনাত্মক হয় এবং 2<x<3 এর ক্ষেত্রে (x-3)(x-2) এর মান ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

সমাধান:
3x + 2 > x - 4
⇒ 3x - x > - 4 - 2
⇒ 2x > - 6
⇒ x > - 3

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট হলো (- 3, ∞)।

(- 3, ∞) বলতে বোঝায় যে, - $3$এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

5² + 10² + 15² + .  .  .  .  + 100² 
= 5² + 5²2² + 5²3² + .  .  .  + 5².20²
= 5²{1² + 2² + 3² + .  .  .  + 20²}
= 5² × 20(20 + 1)(2.20 + 1)/6
= 25 × 20×21×41 /6
= 71750

প্রশ্ন: করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 200 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
2x + 3x = 200
বা, 5x = 200
বা, x = 200/5
∴ x = 40

∴ করিম মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (40 + 40) টি
= 80 টি।

5 + 6 + 7 + 8 + .....+ 54
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + ..... + 54) - (1 + 2 + 3 + 4)
= {(54(54+1))/2} - 10
= 1475

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
∴ ‍f(1) = (1)³ - 6.(1)² + 11.(1) - 6
= 1 - 6 + 11 - 6
= 12 - 12
= 0

∴ ‍(x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1) (x² - 5x + 6)

প্রশ্ন: 7x - 9 ≤ 3x + 11 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
7x - 9 ≤ 3x + 11
⇒ 7x - 3x ≤ 11 + 9
⇒ 4x ≤ 20
⇒ x ≤ 5 

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 5]

(- ∞, 5] বলতে বোঝায় যে, 5 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

((³√2) × (³√3))⁶
= (2)^6/3 × (3)^6/3
= (2)² × (3)²
= 4 × 9
= 36