বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৮ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারাটির ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৬
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১) × d
∴ ১০০তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৬
= ৮ + (৯৯ × ৬)
= ৮ + ৫৯৪
= ৬০২

∴ ১০০তম পদটি হলো ৬০২

3^x+4 = 3*9^x
3^x+4 = 3¹ * 3^{2x
=> x +4 = 2x + 1
=> x = 3}

প্রশ্ন: 2x + y = 11 এবং 3x - y = 4 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 11 ............ (1)
3x - y = 4 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 11 + 4
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(3) + y = 11
⇒ 6 + y = 11
⇒ y = 11 - 6
⇒ y = 5

∴ x = 3 এবং y = 5

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x² +1)/x = 2
বা, x² +1 = 2xq
এখন, x/(x² - x +1) qq
= x/(x² + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1

প্রশ্ন: (- 3)³ × (- 1/2)² = ?

সমাধান:
(- 3)³ × (- 1/2)²
= (- 3) (- 3) (- 3) × (- 1/2) (- 1/2)
= - 27 × (1/4)
= - 27/4

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 4x² + x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 4x² + x + 6
∴ f(- 1) = (- 1)³ - 4(- 1)² + (- 1) + 6
= - 1 - 4 - 1 + 6
= - 6 + 6
= 0 

যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

এখানে B স্বাধীন ঘটনা এবং A, B এর সাপেক্ষ অধীন ঘটনা
∴ P(A ∩ B) = P(B) × P(A/B)
= B ঘটার সম্ভাবনা × B এর সাপেক্ষে A ঘটার সম্ভাবনা

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 2x² - 4x + 3 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2
b = - 4
c = 3
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (- 4)² - 4 × 2 × 3
= 16 - 24
= - 8 < 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ঋনাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই। অর্থাৎ কাল্পনিক। 
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

বি: দ্র:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
1) b² -  4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে। 
3) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: 27 × (√3)^2x = 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
27 × (√3)^2x = 1
⇒ 3³ × (3^1/2)^2x = 1
⇒ 3³ × 3^x = 1
⇒ 3^{3 +x} = 3⁰
⇒ 3 + x = 0
 x = - 3

২০০৪ লিপ ইয়ার তাই ফেব্রয়ারি মাস ২৯ দিনের
∴ ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (২৯ × ০.৫৫) = ১৫.৯৫ সে.মি

3ⁿ⁺² = 81
বা, 3ⁿ⁺² = 3⁴
বা, n + 2 = 4
∴ n = 2

এখন, 2ⁿ⁺³
= 2²⁺³
= 2⁵
= 32

প্রশ্ন:

সমাধান:

x = 7, y = 2 হলে,
1/7 < 1/2
বা, 1/x < 1/y
বা, x > y
∴ x - y > 0

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 120 বাদ দেওয়ায় শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 75 থেকে 72 এ নেমে আসলো। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট কতজন শিক্ষার্থী ছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
মোট নম্বর = a
এবং শিক্ষার্থী সংখ্যা = b

প্রশ্নমতে,
a/b = 75 .......... (1)

আবার, (a - 120)/b = 72
⇒ (a/b) - (120/b) = 72
⇒ 75 - (120/b) = 72   [ (1) নং থেকে মান বসিয়ে ]
⇒ - (100/b) = 72 - 75
⇒ 120/b = 3
⇒ 3b = 120
∴ b = 40
অর্থাৎ, মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 40 জন

একক স্থানীয় অংকটি x এবং দশক স্থানীয় অংকটি y
সংখ্যাটি x + 10y
১ম শর্তমতে, x + y + 7 = 3y
x – 2y = - 7 --------- (1)
২য় শর্তমতে, x + 10y – 18 = y + 10x
9y – 9x = 18
y – x = 2 ---------- (2)
+ (2)
y = 5
x – 10 = - 7
x = 3
x এর মান বসিয়ে
3 + 10.5 = 53

প্রশ্ন: যদি x + y = 2 এবং x - y = 4 হয় তবে (x, y) = কত?

সমধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = 2 ........(১)
x - y = 4 ........(২)

(১) + (২) করে পাই,
(x + y) + (x - y) = 2 + 4
⇒ 2x = 6
∴ x = 3

এখন, 
x = 3 (১)  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ 3 + y = 2
∴ y = - 1

সুতরাং (x, y) = (3, - 1).

 3x - 7y = -10........... (1)
- 2x + y = 3 .................(2)

(1)নং  + (2)নং × 7⇒
 3x - 7y - 14x + 7y = - 10 + 21
-11x = 11
⇒ x = -1

এখন, 1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
 -2(-1) + y = 3
⇒ 2+y = 3
⇒ y = 1

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: A = {1, 3, 6, 8, 9} সেটের উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 6, 8, 9}
সেটটির মোট উপাদান সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি, 
উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ =  2⁵ = 32

∴উপসেট সংখ্যা = 32

প্রশ্ন: (3x + y, x - y) = (10, 2) হলে (x, y) কত ?

সমাধান:
3x + y = 10.....(i)
x - y = 2........(ii)
(i) + (ii) হতে পাই,
3x + y + x - y = 10 + 2
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 10
⇒ 3 × 3 + y = 10
⇒ y = 10 - 9
⇒ y = 1
∴ (x, y) = (3, 1)

প্রশ্ন: (2⁴)^{x + 2} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(2⁴)^{x + 2} = 1024
⇒ 2^{4(x + 2)} = 1024
⇒ 2^{(4x + 8)} = 2¹⁰
⇒ 4x + 8 = 10
⇒ 4x = 10 - 8
⇒ 4x = 2
⇒ x = 2/4
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট ৬০ জন যাত্রী আছে। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের মাথাপিছু ভাড়া ২০ টাকা এবং মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ক জন

ডেকের ভাড়া = ২০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২০ × ৩ = ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৬০ক + ২০(৬০ - ক) = ২৪০০
⇒ ৬০ক + ১২০০ - ২০ক = ২৪০০
⇒ ৪০ক = ২৪০০ - ১২০০
⇒ ৪০ক = ১২০০
⇒ ক = ৩০

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৩০ জন

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0 
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0 
বা, (x - 1)² = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

প্রশ্ন: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: 5x + 7 > 22 এর সমাধান সেট -

সমাধান:
5x + 7 > 22
⇒ 5x > 22 - 7
⇒ 5x > 15
∴ x > 3

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {x ∈ R : x > 3}