লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১৩২ / ২০১ · ১৩,১০১–১৩,২০০ / ২০,২০৭

১৩,১০১.
দুটি সংখ্যার পার্থক্য 4 এবং গুণফল 60। সংখ্যা দুটির যোগফল কত? 
  1. ক
    ক) 19
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 17
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
মনেকরি, 
সংখ্যা দুটি a ও b 

প্রশ্নমতে 
a - b = 4 
ab = 60

আমরা জানি, 
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a + b)2 = 42 + 4 × 60 
(a + b)2 =16 + 240
(a + b)2 = 256
(a + b)2 = 162
a + b = 16 
১৩,১০২.
দুইটি সংখ্যার যোগফল 20 এবং গুণফল 96 হলে, সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল কত?
  1. ক
    180
  2. খ
    320
  3. গ
    208
  4. ঘ
    192
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 20 এবং গুণফল 96 হলে, সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি সংখ্যা দুইটি x এবং y

শর্তমতে,
x + y = 20 ........ (১)
এবং xy = 96 ........... (২)

আমরা জানি,
⇒ (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ (20)2 = x2 + y2 + 2 × 96
⇒ x2 + y2 = 400 - 192
∴ x2 + y2 = 208

∴ সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল = 208
১৩,১০৩.
a2 - 3ab - 40b2 এর একটি উৎপাদক (a + 5b) হলে অপরটি হবে-
  1. ক
    ক) (a - 8b)
  2. খ
    খ) (a - 5b)
  3. গ
    গ) (a - 6b)
  4. ঘ
    ঘ) (a - 7b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 3ab - 40b2 এর একটি উৎপাদক (a + 5b) হলে অপরটি হবে-

সমাধান: 
a2 - 3ab - 40b2
= a2 - 8ab + 5ab - 40b2
= a(a - 8b) + 5b(a - 8b)
=(a - 8b) (a + 5b)
১৩,১০৪.
একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। তাহলে মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    ২১০
  2. খ
    ১৩২
  3. গ
    ১৮০
  4. ঘ
    ২৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। তাহলে মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
প্রতি বন্ধু প্রতিটি অন্য বন্ধুর সাথে করমর্দন করবে।
যেহেতু করমর্দন করতে ২ জন বন্ধুর প্রয়োজন, তাই করমর্দন হবে,
= ১৫C২
= ১৫!/২!(১৫ - ২)!
= (১৫ × ১৪ × ১৩!​)/(২! × ১৩!)
= (১৫ × ১৪)/২
= ১০৫

যেহেতু, শুরু এবং শেষে করমর্দন করে, তাহলে মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে = ১০৫ × ২ = ২১০ বার
১৩,১০৫.
|2 - 8x| ≤ 6 এর সমাধান-
  1. ক
    - (1/2)≤ x ≤1
  2. খ
    - (1/2) ≤ x < 1
  3. গ
    - (1/2) < x ≤1
  4. ঘ
    - (1/2) <  x < 1 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2 - 8x| ≤ 6 এর সমাধান-

সমাধান:
|2 - 8x| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ 2 - 8x ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ - 8x ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ - 8x ≤ 4
⇒ - 8/(- 8) ≥ x ≥ 4/(- 8)
⇒ 1 ≥ x ≥ - 1/2
⇒ - (1/2) ≤ x ≤ 1

১৩,১০৬.
প্রদত্ত সিরিজের পরবর্তী সংখ্যাটি কত? ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ____?
  1. ক
    ক) ১৮
  2. খ
    খ) ২০
  3. গ
    গ) ২৩
  4. ঘ
    ঘ) ২১
ব্যাখ্যা

১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, .......... ধারাটি হতে দেখা যায় যে এই ধারাটি ফিবোনাক্কি ধারা।
১ + ১ = ২
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = ৮ + ১৩ = ২১

১৩,১০৭.
2a + 3b = 1 এবং 5a - 2b + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত? 
  1. ক
    ক) (2, - 1)
  2. খ
    খ) (- 1, 1)
  3. গ
    গ) (- 2 , 1)
  4. ঘ
    ঘ) (- 3, 2)
ব্যাখ্যা
2a + 3b = 1 .............(1)
5a - 2b = - 7 .............(2)

(1)নং × 5 - (2)নং × 2 ⇒
10a +15b - 10a + 4b = 5 + 14
19b =19
b = 1

b এর মান (1)নং  সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a +3.1 =1
2a = 1 - 3
2a = - 2
a = - 1

∴(a,b) = (-1, 1)
১৩,১০৮.
  1. ক
    93/152
  2. খ
    74/195
  3. গ
    76/142
  4. ঘ
    81/169
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 

সমাধান:
১৩,১০৯.
4a = 8 হলে, a = কত?
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a = 8 হলে, a = কত?

সমাধান: 
4a = 8
⇒ 22a = 23
∴ 2a = 3
∴ a = 3/2
১৩,১১০.
log(14/21) - log(28/63) + log⁡(2/3) + log1010= ?
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    log2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log(14/21) - log(28/63) + log⁡(2/3) + log1010= ?

সমাধান:
log(14/21) - log(28/63) + log⁡(2/3) + log1010
= log{(14/21) ÷ (28/63) × (2/3)} + 1  [ log1010 = 1]
= log{(14/21) × (63/28) × (2/3)} + 1
= log1 + 1
= 1
১৩,১১১.
log105 + log10(3b + 1) = log10(b + 2) + 1 হলে , b এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3/8
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5/8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log105 + log10(3b + 1) = log10(b + 2) + 1 হলে , b এর মান কত?

সমাধান:
log105 + log10(3b + 1) = log10(b + 2) + 1
⇒ log105 + log10(3b + 1) = log10(b + 2) + log1010
⇒ log10{5(3b + 1)} = log10{10(b + 2)}
⇒ log10(15b + 5) = log10(10b + 20)
⇒ 15b + 5 = 10b + 20
⇒ 5b = 15
⇒ b = 15/3
∴ b = 3

১৩,১১২.
f(x) = 6x2 - 8x + 5 একটি ফাংশন। f(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
f(x) = 6x2 - 8x + 5
f(2) = 6(2)2 - 8 × 2 + 5
= 24 - 16 + 5
= 29 - 16
= 13
∴ f(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 13 হবে। 
১৩,১১৩.
একজন লোকের ময়মনসিংহ হতে কুমিল্লায় বাসে যাবার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কুমিল্লা থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা ৪/৭। কুমিল্লায় বাসে যাবার এবং চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ৫/১২
  2. খ
    ৬/৩৫
  3. গ
    ৩/৭
  4. ঘ
    ৯/৩৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন লোকের ময়মনসিংহ হতে কুমিল্লায় বাসে যাবার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কুমিল্লা থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা ৪/৭। কুমিল্লায় বাসে যাবার এবং চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুমিল্লায় বাসে যাবার সম্ভাবনা = ৩/৫
 চট্রগ্রাম ট্রেনে যাবার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴  চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭)
 = (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭

∴ কুমিল্লায় বাসে যাবার এবং চট্রগ্রাম ট্রেনে না যাবার সম্ভাবনা = (৩/৫) × (৩/৭)
= ৯/৩৫
১৩,১১৪.
3x + 3 = 81 হলে, 3x - 1 = ?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 3 = 81 হলে, 3x - 1 = ?

সমাধান:
3x + 3 = 81
3x + 3 = 34
x + 3 = 4
x = 4 - 3
∴ x = 1

∴ 3x - 1 = 31 - 1
= 30
= 1 [a0 = 1]
১৩,১১৫.
একটি বাক্সে ৫টি সাদা বল এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। দুটি বল একসাথে বের করার সময়, দুটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ৫/৮
  2. খ
    ৫/১৪
  3. গ
    ৩/২
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি সাদা বল এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। দুটি বল একসাথে বের করার সময়, দুটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = ৮টি

প্রথম বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা,
P(প্রথম বল সাদা ) = ৫/​৮

দ্বিতীয় বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু প্রথমটি সাদা বের হয়েছে)
P(দ্বিতীয় সাদা বল) = ৪/৭

∴ সুতরাং, দুটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা,
P(দুটি সাদা বল) = (৫/৮) × (৪/৭)
= ২০/৫৬
= ৫/১৪
১৩,১১৬.
3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 125
  2. খ
    খ) 243
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
এখানে,
আঙ্গুলের সংখ্যা n = 3
আংটির সংখ্যা r = 5

আংটিগুলো আঙ্গুলে পরানো যেতে পারে  =nr
                                                            = 35
১৩,১১৭.
3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3)
বা, 9x - 12 = 8x - 6
বা , 9x - 8x = - 6 + 12
বা, x = 6
১৩,১১৮.
এক ব্যক্তির 12 জন বন্ধু আছে। তাদের মধ্যে 8 জন আত্মীয়। তিনি কত প্রকারে 7 জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবেন যাদের মধ্যে 5 জন আত্মীয় থাকবে?
  1. ক
    ক) 336
  2. খ
    খ) 96
  3. গ
    গ) 564
  4. ঘ
    ঘ) 123
ব্যাখ্যা

8 জন আত্মীয় থেকে 5 কে ডাকা যায় = 8C5 = 56উপায়ে 
বাকী 4 থেকে 2 জন ডাকা যায়= 4C2 =6 উপায়ে
মোট ডাকা যায় = (56×6) = 336 উপায়ে

১৩,১১৯.
একটি সমান্তর অনুক্রমের n তম পদ  n/(2n - 1) হলে, অনুক্রমটি হবে? 
  1. ক
    1, 2/3, 3/5, 4/7,...............
  2. খ
    - 2/3, 1, 1/3, 1/5,..............
  3. গ
    - 1, 0, 1, 1/2 ,........
  4. ঘ
    2, 3/4, 4/6, 5/5,...............
ব্যাখ্যা
একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ : n/(2n - 1) 

n = 1 হলে, ১ম পদ = 1/(2 × 1 - 1) = 1/1 = 1
n = 2 হলে, ২য় পদ = 2/(2 × 2 - 1) = 2/3
n = 3 হলে, ৩য় পদ = 3/(2 × 3 - 1) = 3/5
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = 4/(2 × 4 - 1) = 4/7
...................................................................................
...................................................................................
সুতরাং অনুক্রমটি : 1, 2/3, 3/5, 4/7,...............
১৩,১২০.
একটি থলেতে নীল বল ১০টি, সাদা বল ১৪টি এবং কালো বল ১৬টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ৭/২০
  2. খ
    খ) ১১/২০
  3. গ
    গ) ৯/২০
  4. ঘ
    ঘ) ১৩/২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে নীল বল ১০টি, সাদা বল ১৪টি এবং কালো বল ১৬টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
নীল বল ১০টি 
সাদা বল ১৪টি
কালো বল ১৬টি
মোট বল =(১০ + ১৪ + ১৬)টি = ৪০টি 

সাদা হওয়ার  সম্ভাবনা = ১৪/৪০ = ৭/২০

সাদা না হওয়ার  সম্ভাবনা = ১ - ৭/২০ = (২০ - ৭)/২০ = ১৩/২০
১৩,১২১.
64 + 32 + 16 + .................. ধারাটির 10তম পদের মান কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 1/8
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

∴ 10 তম পদ ar10 - 1 = 64(1/2)9
                             = (64 × 1)/29
                             = 26/29
                             = 1/23
                              = 1/8
১৩,১২২.
(a + 2b) = 4 এবং ab = 2 হয়, তাহলে a এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a + 2b) = 4 এবং ab = 2 হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 2b = 4 ...... (1)
ab = 2 ......... (2)
(2) নং হতে পাই,
a = 2/b  ..... (3)

এখন, (3) এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
(2/b) + 2b = 4
⇒ (2 + 2b2)/b = 4
⇒ 2b2 + 2 = 4b
⇒ 2(b2 + 1) = 4b
⇒ b2 + 1 = 2b
⇒ b2 - 2b + 1 = 0
⇒ (b - 1)2 = 0
⇒ b = 1
b এর মান (3) নং বসাই,
a = 2

১৩,১২৩.
(x + y)2 - (x - y)2 =?
  1. ক
    xy
  2. খ
    2(x2 + y2)
  3. গ
    x2 - y2
  4. ঘ
    4xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 - (x - y)2 =?

সমাধান:
(x + y)2 - (x - y)2
= x2 + 2xy + y2 - (x2 - 2xy + y2)
= x2 + 2xy + y2 - x2 + 2xy - y2
= 4xy
১৩,১২৪.
৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + …… ধারাটির কত তম পদ ৫০২?
  1. ক
    ৮০ তম পদ
  2. খ
    ৯৫ তম পদ
  3. গ
    ১০০ তম পদ
  4. ঘ
    ১১০ তম পদ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + …… ধারাটির কত তম পদ ৫০২?

সমাধান:
এখানে, ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ……
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫

ধরি,
ধারাটির n তম পদ ৫০২

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ৫০২ = ৭ + (n - ১)৫
⇒ ৫০২ = ৭ + ৫n - ৫
⇒ ৫০২ = ৫n + ২
⇒ ৫n = ৫০২ - ২
⇒ ৫n = ৫০০
⇒ n = ৫০০/৫
∴ n = ১০০

∴ ধারাটির ১০০ তম পদ ৫০২

১৩,১২৫.
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল ৮ হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৬
  2. খ
    ৫/৩৬
  3. গ
    ১/১৮
  4. ঘ
    ৭/৩৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল ৮ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 হওয়ার ঘটনা = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5 টি

∴ যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36
১৩,১২৬.
4a4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?
  1. ক
    (2a2 + 2a - 1)(2a2 - 2a - 1)
  2. খ
    (2a2 + 2a + 1)(2a2 - 2a + 1)
  3. গ
    (2a2 + 2a - 1)(2a2 - 2a + 1)
  4. ঘ
    (2a2 + 2a + 1)(2a2 - 2a - 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4a4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
4a4 + 1
= (2a2)2 + 1
= (2a2)2 + 2 . 2a2 . 1 + (1)2 - 4a2
= (2a2 + 1 )2 - (2a)2
= (2a2 + 2a + 1)(2a2 - 2a + 1)

১৩,১২৭.
একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 54। ধারাটির কততম পদ 4374?
  1. ক
    5
  2. খ
    8
  3. গ
    10
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 54। ধারাটির কততম পদ 4374?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 2 
চতুর্থ পদ = 54
ar3 = 54 
⇒ 2 × r3 = 54
⇒ r3 = 27  = 33
⇒ r = 3 
এবং n-তম পদ = 4374

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 4374
⇒ 2 × 3n - 1 = 4374
⇒ 3n - 1 = 4374/2
⇒ 3n - 1 = 2187
⇒ 3n - 1 = 37
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 7 + 1
⇒ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদ 4374
১৩,১২৮.
(5x - 3y, 7) = (2, 4x - y) হলে, 3x + 2y = কত?
  1. ক
    35/6
  2. খ
    128/9
  3. গ
    111/7
  4. ঘ
    56/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (5x - 3y, 7) = (2, 4x - y) হলে, 3x + 2y = কত?

সমাধান:
এখানে,
5x - 3y = 2 ...... (1)
4x - y = 7 ....... (7)

(1) - {(2) × 3)} ⇒ 
5x - 3y - 12x + 3y = 2 - 21
⇒ - 7x = - 19
∴ x = 19/7

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
4(19/7) - y = 7
⇒ (76/7) - y = 7
⇒ y = (76/7) - 7
⇒ y = (76 - 49)/7
∴ y = 27/7

∴ 3x + 2y = 3(19/7) + 2(27/7)
= (57/7) + (54/7)
= 111/7
১৩,১২৯.
4x4 - 27x2  - 81 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x + 9
  2. খ
    x - 9
  3. গ
    4x2 + 9
  4. ঘ
    2x2 - 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x4 - 27x2  - 81 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
4x4 - 27x2  - 81
= 4x4 - 36x2 + 9x2 - 81
= 4x2(x2 - 9) + 9(x2 - 9)
= (x2 - 9) (4x2 + 9)
= (4x2 + 9) (x + 3) (x - 3)
১৩,১৩০.
নিচের কোনটি 9p2 + 18p - 40 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    3p + 5
  2. খ
    4p - 3
  3. গ
    3p - 4
  4. ঘ
    4p + 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9p2 + 18p - 40 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
9p2 + 18p - 40
= 9p2 + 18p - 40
= 9p2 + 30p - 12p - 40
= 3p(3p + 10)  - 4(3p + 10)
= (3p + 10)(3p - 4) 
১৩,১৩১.
a + b + c = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 36 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 36 হলে, ab + bc + ca এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (8)2 = 36 + 2(ab + bc + ca)  [মান বসিয়ে]
বা, 64 = 36 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 64 - 36  [রাশিগুলো পক্ষান্তর করে]
বা, 2(ab + bc + ca) = 28
বা, ab + bc + ca = 28/2
∴ ab + bc + ca = 14
১৩,১৩২.
U = {x : x < 7 , x ∈ N}, A = { x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত?
  1. ক
    {2, 3, 4}
  2. খ
    {1, 5}
  3. গ
    {1, 4, 6}
  4. ঘ
    {1, 5, 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: U = {x : x < 7 , x ∈ N}, A = { x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x ≤ 4} হলে A' = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {x : x < 7 , x ∈ N}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
এবং 
A = { x : x এবং 1 < x ≤ 4}
= {2, 3, 4}

এখন, 
A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} ।
১৩,১৩৩.
৫০ জন লোকের মধ্যে ৩৫ জন ইংরেজি বলতে পারে, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কতজন?
  1. ক
    ৪০ জন 
  2. খ
    ২৫ জন
  3. গ
    ১০ জন
  4. ঘ
    ১৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ জন লোকের মধ্যে ৩৫ জন ইংরেজি বলতে পারে, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষা বলতে পারে এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি বলতে পারে। কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে কতজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লোক = ৫০ জন
শুধু ইংরেজি বা বাংলা বা দুটোই বলতে পারে = ৫০ জন
ইংরেজি বলতে পারে = ৩৫ জন
ইংরেজি ও বাংলা দুটোই বলতে পারে = ২৫ জন

এখন, 
ইংরেজি বলতে পারে মোট = ৩৫ জন
এর মধ্যে দুটো ভাষাই বলতে পারে = ২৫ জন
∴ শুধু ইংরেজি বলতে পারে = ৩৫ − ২৫ = ১০ জন

মোট লোক = শুধু ইংরেজি + শুধু বাংলা + দুটোই
বা, ৫০ = ১০ + শুধু বাংলা + ২৫
∴ শুধু বাংলা = ৫০ - ১০ - ২৫ = ১৫ জন

সুতরাং, কেবলমাত্র বাংলা বলতে পারে ১৫ জন

১৩,১৩৪.
{1/।3x + 1।} ≥ 5 অসমতাটির সমাধান হলো- 
  1. ক
    ক) - 2/5 ≤ x ≤ - 4/15
  2. খ
    খ) - 3/5 ≤ x ≤ - 2/15
  3. গ
    গ) - 1/5 ≤ x ≤ - 2/5
  4. ঘ
    ঘ) - 1 ≤ x ≤ - 2/15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {1/।3x + 1।} ≥ 5 অসমতাটির সমাধান হলো- 

সমাধান: 
1/।3x + 1। ≥ 5
বা, ।3x + 1। ≤ 1/5
বা, - 1/5 ≤ 3x + 1 ≤ 1/5
বা, - (1/5) - 1 ≤ 3x + 1 - 1 ≤ (1/5) - 1
বা, (- 1 - 5)/5 ≤ 3x ≤ (1 - 5)/5
বা, - 6/5 ≤ 3x ≤ - 4/5
বা, - 6/(5 × 3) ≤ 3x/3 ≤ - 4/(5 × 3)
       - 2/5 ≤ x ≤ - 4/15
১৩,১৩৫.
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা এবং একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার ৫ এবং মুদ্রার T আসার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ১/১২
  2. খ
    খ) ৫/১২
  3. গ
    গ) ১/২
  4. ঘ
    ঘ) ১১/১২
ব্যাখ্যা
নমুনা ক্ষেত্রটি = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T} = ১২ টি।
5T = ১টি
∴ সম্ভাবনা = ১/১২.
১৩,১৩৬.
log42 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log42 এর মান কত?

সমাধান:
log42
= log4(√4)
= log44(1/2)
= (1/2)log44
= (1/2) × 1
= 1/2
১৩,১৩৭.
একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ১৮
  2. খ
    খ) ২১
  3. গ
    গ) ৬০
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা ক টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রসংখ্যা (ক - ৩) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬ জন

(ক - ৩) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬
∴ ক = ১৮ 

ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন
= (১৮ - ৩) × ৪ জন 
= ১৫ × ৪ জন 
= ৬০ জন 
১৩,১৩৮.
দুটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং তাদের বর্গের যোগফল 100 হলে, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    5
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং তাদের বর্গের যোগফল 100 হলে, সংখ্যা দুটির বিয়োগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

১ম শর্তানুসারে, xy = 48
২য় শর্তানুসারে, x2 + y2 = 100

আমরা জানি,
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
⇒ (x - y)2 = 100 - (2 × 48)
⇒ (x - y)2 = 100 - 96
⇒ (x - y)2 = 4
⇒ (x - y) = √4
∴ x - y = ± 2
১৩,১৩৯.
একটি বাক্সে লাল, সবুজ, এবং হলুদ বলের অনুপাত ৪ : ৩ : ২। দৈবভাবে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?
  1. ক
    ২/৯
  2. খ
    ৫/৭
  3. গ
    ৩/৫
  4. ঘ
    ৭/৯
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে লাল, সবুজ, এবং হলুদ বলের অনুপাত ৪ : ৩ : ২। দৈবভাবে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল, সবুজ এবং হলুদ বলের অনুপাত ৪ : ৩ : ২
মোট অনুপাত = (৪ + ৩ + ২) = ৯

মোট বলের মধ্যে হলুদ বলের আনুপাতিক ভাগ ২।
সুতরাং, হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ২/৯
হলুদ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - ২/৯
= ৭/৯

অতএব, বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা ৭/৯

১৩,১৪০.
একজন লোকের ঢাকা হতে ফেনী বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ফেনীতে বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১০/৩৬
  2. খ
    ২৫/৫৬
  3. গ
    ১৫/৫৬
  4. ঘ
    ১/৫৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন লোকের ঢাকা হতে ফেনী বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ফেনীতে বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ঢাকা হতে ফেনী বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
ঢাকা হতে ফেনী বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা (১ - ৫/৭) বা ২/৭

ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮
ফেনী থেকে চট্টগ্রাম ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভবনা (১- ৫/৮) বা ৩/৮

∴ ফেনী বাসে এবং চট্টগ্রামে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (৫/৭) × (৩/৮)
= ১৫/৫৬
১৩,১৪১.
যদি (√2)3x - 2 = 32 হয়, তাহলে x এর মান কত?
  1. ক
    7/3
  2. খ
    4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (√2)3x - 2 = 32 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(√2)3x - 2 = 32
⇒ (21/2)3x - 2 = 25
⇒ 2(3x - 2)/2 = 25
⇒ (3x - 2)/2 = 5
⇒ 3x - 2 = 5 × 2
⇒ 3x = 10 + 2
⇒ 3x = 12
⇒ x = 12/3
∴ x = 4

১৩,১৪২.
3log2 + log5 এর মান কত? 
  1. ক
    ক) log20
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) log 40
  4. ঘ
    ঘ) log 80
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3log2 + log5 এর মান কত? 

সমাধান: 
3log2 + log5
= log23 + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40
১৩,১৪৩.
কোনো পরীক্ষায় একটি ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০ টি প্রশ্ন হতে ১৫টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিয়ে থাকে তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?
  1. ক
    ক) ২০টি
  2. খ
    খ) ৩০টি
  3. গ
    গ) ৪০টি
  4. ঘ
    ঘ) ৫০টি
ব্যাখ্যা

ধরি,
প্রশ্নের সংখ্যা = n
সে প্রথম ২০টি থেকে উত্তর করে ১৫ টি
অবশিষ্ট অংশ থেকে উত্তর করে (n-২০) × (১/৩)

প্রশ্নমতে,
১৫ + (n- ২০)× (১/৩) = n এর ৫০%
১৫ + (n- ২০) × (১/৩) = n /২
(৪৫ + n  - ২০)/৩ = n /২
(২৫ + n)/৩  = n /২
৩n = ৫০ + ২n 
৩n - ২n = ৫০ 
∴ n = ৫০

১৩,১৪৪.
xyz = 240 হলে y এর মান কোনটি হতে পারে না?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
y এর মান শূণ্য হলে xyz এর মান 0 যাবে; যা প্রশ্নোক্ত সমীকরণের সাথে সাংঘর্ষিক। তাই y এর মান 0 হতে পারে না।
১৩,১৪৫.
9 + 7 + 5 + ……… ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ১৬
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2×9 + (n - 1)×(-2)}
বা, -144 = 9n -n2 + n
বা, n2 -10n -144 = 0
∴ n = 18 or -8

১৩,১৪৬.
।2x - 7। ≤ 3 অসমতাটির সমধান হলো-
  1. ক
    ক) 2 ≤ x ≤ 5
  2. খ
    খ) 1 ≤ x ≤ 3
  3. গ
    গ) 2 ≤ x ≤ 7
  4. ঘ
    ঘ) 1 ≤ x ≤ 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2x - 7। ≤ 3 অসমতাটির সমধান হলো-

সমাধান: 
।2x - 7। ≤ 3
- 3 ≤ 2x - 7  ≤ 3 
- 3 + 7 ≤ 2x - 7 + 7 ≤ 3 + 7
4 ≤ 2x ≤ 10
4/2 ≤ 2x/2 ≤ 10/2
2 ≤ x ≤ 5
১৩,১৪৭.
85/3 ÷ 82/3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) -8
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 1/8
ব্যাখ্যা

85/3 ÷ 82/3
= 85/3/82/3
= 8(5/3) - (2/3)
= 83/3
= 81
= 8

১৩,১৪৮.
ab = 121 যেখানে a এবং b দুটি পূর্ণসংখ্য। (a - 1)b + 1 এর মান নিচের কোনটি হতে পারে?
  1. ক
    0
  2. খ
    10
  3. গ
    102
  4. ঘ
    103
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab = 121 যেখানে a এবং b দুটি পূর্ণসংখ্য। (a - 1)b + 1 এর মান নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
121 = 112 , 
তাহলে a = 11 এবং b = 2 বিবেচনা করা যেতে পারে।

∴ (a - 1)b + 1
= (11 - 1)2 + 1
= 103
১৩,১৪৯.
BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলো কত উপায়ে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?
  1. ক
    36 উপায়ে
  2. খ
    144 উপায়ে
  3. গ
    240 উপায়ে
  4. ঘ
    320 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলো কত উপায়ে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে? 

সমাধান: 
BALLOON শব্দটিতে 7 টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ 
7 টি স্থানের মধ্যে 4 টি বিজোড় স্থান এবং 3 টি জোড় স্থান। 

এখন, 
3 টি স্বরবর্ণকে 3 টি জোড় স্থানে রেখে মোট উপায় = 3!/2! = 3 [ যেখানে, 0 দুইটি]
4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4 টি বিজোড় স্থানে রেখে মোট উয়ায় = 4!/2! = 12 

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (3 × 12) উপায়ে
= 36 উপায়ে।
১৩,১৫০.
Find the value of x; 2x - 4 = 4ax - 6 [a > 0, a ≠ 2]
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
Question: Find the value of x; 2x - 4 = 4ax - 6 [a > 0, a ≠ 2]

Solution:
2x - 4 = 4ax - 6
⇒ (2x - 4)/4 = ax - 6
⇒ (2x - 4)/22 = ax - 6
⇒ 2x - 4 - 2 = ax - 6
⇒ 2x - 6 = ax- 6
⇒ (2/a)x - 6 = 1
⇒ (2/a)x - 6 = (2/a)0
⇒ x - 6 = 0
⇒ x = 6
১৩,১৫১.
P = {x ∈ N: x, 8 এর গুণনীয়ক) এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 10} হলে, Q - P এর মান কত?
  1. ক
    {}
  2. খ
    {3, 5, 6, 7, 9}
  3. গ
    {3, 5, 6, 7}
  4. ঘ
    {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x ∈ N: x, 8 এর গুণনীয়ক) এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 10} হলে, Q - P এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : x, 8 এর গুণনীয়ক)
= {1, 2, 4, 8}

Q = {x ∈ N : 2 < x < 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

∴ Q - P = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - {1, 2, 4, 8}
= {3, 5, 6, 7, 9}
১৩,১৫২.
4(z + 2) > 3z + 8 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    z > 3
  2. খ
    z > - 4
  3. গ
    z > 0
  4. ঘ
    z > 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4(z + 2) > 3z + 8 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
4(z + 2) > 3z + 8
⇒ 4z + 8 > 3z + 8
⇒ 4z - 3z > 8 - 8 
∴ z > 0
১৩,১৫৩.
যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে (a + b) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তাহলে (a + b) = কত?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log(a+b) = log{(a/b)×(b/a)}
⇒ log(a+b) = log1
∴ a + b = 1 
১৩,১৫৪.
(2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত? 
  1. ক
    1/3
  2. খ
    2/3
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    - 1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6 
বা, x + 5 = 3x + 6 
বা, x - 3x = 6 - 5 
বা, -2x = 1 
বা, x = 1/-2 
∴ x = -1/2 

১৩,১৫৫.
logPa + b + logPb + c + logPc + a = 0 হলে , a + b +c = ?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/8
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logPa + b + logPb + c  + logPc + a = 0 হলে , a + b +c = ?

সমাধান:
দেয়া আছে, 
log Pa + b + log Pb + c  + log Pc + a = 0
বা, log P2(a + b + c) = 0
বা, 2(a + b + c) = P0
বা, 2(a + b + c) = 1
বা, a + b + c = 1/2
১৩,১৫৬.
একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 4টি করে মোট আটটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 3টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 5টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 576
  3. গ
    গ) 288
  4. ঘ
    ঘ) 48
ব্যাখ্যা

5টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 3টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।
(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4c2 × 4c3
= 6 × 4 = 24
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4c3 × 4c2
= 4 × 6 = 24
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 24 + 24 = 48

১৩,১৫৭.
a2 = a + 1 হলে, a3 - (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 = a + 1 হলে, a3 - (1/a3) এর মান কত? 

সমাধান: 
a2 = a + 1
⇒ a = 1 + 1/a
⇒ a - (1/a) = 1

a3 - (1/a3)
= {a - (1/a)}3 + 3.a.1/a(a - 1/a)
= 13 + 3.1
= 1 + 3
= 4
১৩,১৫৮.
১ থেকে ২৮ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ২৮ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান: 
১ থেকে ২৮ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭
এখানে
n  = ৯
∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
              = (৯ + ১)/২ তম পদ
              = ৫ তম পদ 
              = ১৫
১৩,১৫৯.
(p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (p + 17)(p + 13)
  2. খ
    (p + 19)(p + 3)
  3. গ
    (p + 6)(p - 13)
  4. ঘ
    (p + 15)(p - 17)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(p + 10)(p + 12) - 63
= p2 + 12p + 10p + 120 - 63
= p2 + 22p + 57
= p2 + 19p + 3p + 57
= p(p + 19) + 3(p + 19)
= (p + 19)(p + 3)

১৩,১৬০.
a2 - 7a + 12 < 0 এর সমাধান কত?
  1. ক
    2 < a < 5
  2. খ
    1 < a < 6
  3. গ
    1 < a < 2
  4. ঘ
    3 < a < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 7a + 12 < 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a2 - 7a + 12 < 0
⇒  a2 - 4a - 3a + 12 < 0
⇒ a(a - 4) - 3(a - 4) < 0
⇒ (a - 4)(a - 3) < 0

a2 - 7a + 12 < 0 সত্য হবে যদি a - 3 < 0 এবং a - 4 > 0 হয়।
এখন, a - 3 < 0 এবং a - 4 > 0
অর্থাৎ,  a< 3 এবং a > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় a এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
a2 - 7a + 12< 0 সত্য হবে যদি a - 3 > 0 এবং a - 4 < 0 হয়।
এখন,  a - 3 > 0 এবং a - 4 < 0
অর্থাৎ a > 3 এবং a < 4
a এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 3 < a < 4
১৩,১৬১.
|2x + 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 2x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 2x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 2x ≤ 6
⇒ - 14/2 ≤ x ≤ 6/2
⇒ - 7 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

১৩,১৬২.
8x + 81 - x = 9 হলে, x = ?
  1. ক
    0, 1
  2. খ
    0, - 1
  3. গ
    1, 2
  4. ঘ
    - 1, - 2
ব্যাখ্যা
8x + 81 - x = 9
⇒ 8x + 8/8x = 9
⇒ a + 8/a = 9 [ 8x = a ধরে ]
⇒ a2 - 9a + 8 = 0
⇒ a2 - 8a - a + 8 = 0
⇒ a(a - 8) - 1(a - 8) = 0
⇒ (a - 1)(a - 8) = 0
⇒ a - 1 = 0 
⇒ a = 1
⇒ 8x = 1
⇒ 8x = 80
⇒ x = 0
অথবা a - 8 = 0
⇒ a = 8
⇒ 8x = 8
⇒ 8x = 81
⇒ x = 1
অতএব, x = 0, 1
১৩,১৬৩.
a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 22
  3. গ
    গ) 28
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
সমাধান :
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5 
এখন,
8ab(a2 + b2) = 4ab. 2(a2 + b2)
                  = {(a+b)2 - (a - b)2 }.{(a + b)2 + (a - b)2 }
                  = {(√8)2 - (√6)2}.{(√8)2 + (√6)2}
                  = (8 - 6) .( 8+ 6)
                  = 2.14
                  = 28
১৩,১৬৪.
কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং 15 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান -
  1. ক
    2 < x < 5
  2. খ
    - 5 < x < 5
  3. গ
    0 < x < 5
  4. ঘ
    0 < x < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং 15 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান -

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি x 

5x < 2x + 15
⇒ 5x - 2x < 15 
⇒ 3x < 15
⇒ x < 15/3
⇒ x < 5 

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, x > 0

∴ নির্ণেয় সমাধান 0 < x < 5
১৩,১৬৫.
  1. ক
    3/2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    5/2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১৩,১৬৬.
১ থেকে ৪১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টির গড় কত? 
  1. ক
    ক) ২১ 
  2. খ
    খ) ৪১
  3. গ
    গ) ৩১
  4. ঘ
    ঘ) ২০.৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ ১ থেকে ৪১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টির গড় কত? 

সমাধানঃ 
১ হতে ৪১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ={৪১(৪১ + ১)}/২
                                                                   = (৪১ × ৪২)/২
                                                                   = ৪১ × ২১
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (৪১ × ২১)/৪১ = ২১ 
১৩,১৬৭.
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    abc
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 

সমাধান:
১৩,১৬৮.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে 2a2 - 2b2 = ?
  1. ক
    8
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে 2a2 - 2b2 = ?

সমাধান:
2a2 - 2b2 = 2(a2 - b2)
= 2(a + b)(a - b)
= 2 × 4 × 2
= 16
১৩,১৬৯.
কোন সংখ্যার ৩ গুণ হতে ১১ বিয়োগ করে অর্ধেক করলে ২৫ হবে?
  1. ক
    ৬৩/৪
  2. খ
    ৫৭/৪
  3. গ
    ৬১/৩
  4. ঘ
    ২৭/৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৩ গুণ হতে ১১ বিয়োগ করে অর্ধেক করলে ২৫ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(3x - 11)/2 = 25
বা, 3x - 11 = 50
বা, 3x = 61
বা, x = 61/3
১৩,১৭০.
একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 
  1. ক
    48 জন
  2. খ
    50 জন
  3. গ
    60 জন
  4. ঘ
    75 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?  

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি  

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36 
বা, 4x - 3x = 36 + 24 
∴ x = 60 

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।
১৩,১৭১.
যদি b + (1/b) = 7 হয়, তবে b/(b2 + b + 1) এর মান হচ্ছে:
  1. ক
    1/8
  2. খ
    1/3
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1/7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি b + (1/b) = 7 হয়, তবে b/(b2 + b + 1) এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেয়া আছে,
b + (1/b) = 7
⇒ (b2 + 1)/b = 7
⇒ (b2 + 1) = 7b

এখন,
b/(b2 + b + 1)
= b/(7b + b)
= b/8b
= 1/8

১৩,১৭২.
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৫৬?
  1. ক
    ক) ১২৪
  2. খ
    খ) ১১৮
  3. গ
    গ) ১১৯
  4. ঘ
    ঘ) ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৫৬?

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d =৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৫৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n -1)d

 প্রশ্নমতে,
৫ + (n-1)৩ = ৩৫৬
⇒ ৫ + ৩n  - ৩ = ৩৫৬
⇒৩n + ২ = ৩৫৬
⇒ ৩n = ৩৫৬ - ২
⇒ ৩n = ৩৫৪
⇒ n = ১১৮
১৩,১৭৩.
৮ + ১১ + ১৪ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ৩৯২?
  1. ক
    ক) ১২৭
  2. খ
    খ) ১২৮
  3. গ
    গ) ১২৯
  4. ঘ
    ঘ) ১৩০
ব্যাখ্যা

a = ৮, d = ৩
ধরি, n তম পদ = ৩৯২
বা, a + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, ৮ + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, (n - ১)৩ = ৩৯২ - ৮ = ৩৮৪
বা, n - ১ = ৩৮৪/৩ = ১২৮
∴ n = ১২৯

১৩,১৭৪.
5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?
  1. ক
    5/2
  2. খ
    1/5
  3. গ
    3/2
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান: 
log5(5√5)
= log5{(√5)2 × √5}
= log5(√5)3
= log553/2
= (3/2) log55 
= 3/2
১৩,১৭৫.
যদি (625)3x - 2 = 55x + 6 হয়, তবে x = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (625)3x - 2 = 55x + 6 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(625)3x - 2 = 55x + 6 
⇒ (54)3x - 2 = 55x + 6 
⇒ 512x - 8 = 55x + 6 
⇒  12x - 8 = 5x + 6
⇒ 12x - 5x = 6 + 8
⇒ 7x = 14
∴ x = 2
১৩,১৭৬.
nPr = 240, এবং r = 2 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nPr = 240, এবং r = 2 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
nPr = 240
⇒ nP2 = 240
⇒ n!/(n - 2)! = 240
⇒ {n (n - 1) (n - 2)!}/(n - 2)! = 240
⇒ n(n - 1) = 240
⇒ n2 - n - 240 = 0
⇒ n2 - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n (n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16) (n + 15) = 0

হয়, n - 16 = 0
বা, n = 16

অথবা,
n + 15 = 0
বা, n = - 15 [গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ n = 16
১৩,১৭৭.
(22)x + 3 = 64 হলে x = কত? 
  1. ক
    0
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (22)x + 3 = 64 হলে x = কত? 

সমাধান: 
(22)x + 3 = 64
⇒ 22(x + 3) = 26
⇒ 2(x + 3) = 6
⇒ 2x + 6 = 6
⇒ 2x = 6 - 6
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0/2
∴ x = 0

১৩,১৭৮.
- 6 < 3x + 3 ≤ 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    [- 2, 5)
  2. খ
    (- 3, 4]
  3. গ
    [1, - 6)
  4. ঘ
    (- 5, 6]
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 6 < 3x + 3 ≤ 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 6 < 3x + 3 ≤ 15
= - 6 - 3 < 3x + 3 - 3 ≤ 15 - 3
= - 9 < 3x ≤ 12
= (- 9/3) < (3x/3) ≤ (12/3)
= - 3 < x ≤ 4
∴ অসমতাটির সমাধান (- 3, 4]
১৩,১৭৯.
4 + 8 + 12 + ........ ধারাটির কততম পদ 140? 
  1. ক
    ক) ৩৫ তম
  2. খ
    খ) ৪০ তম
  3. গ
    গ) ২০ তম
  4. ঘ
    ঘ) ২৫ তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ........ ধারাটির কততম পদ 140? 

সমাধান: 
এখানে,
8 - 4 = 4
12 - 8 = 4
∴ সাধারণ অন্তর, d = 4 
প্রথম পদ, a = 4
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  তম পদ = a + (n - 1)d

শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 140
বা, 4 + (n - 1)4 = 140
বা, 4n - 4 = 136
বা, 4n = 140
∴ n = 35 
১৩,১৮০.
f(x) = x2 - 4x + 3 হলে, f(1) + f(3) এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x2 - 4x + 3 হলে, f(1) + f(3) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = x2 - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 4 - 4 = 0
∴ f(3) = 32 - 4 × 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 12 - 12 = 0

∴ f(1) + f(3) = 0 + 0 = 0
১৩,১৮১.
A = {x ∈ N : x ≤ 32 এবং x, 4 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?
  1. ক
    {4, 8, 15, 16, 20, 25, 28}
  2. খ
    {4, 8, 12, 16, 32}
  3. গ
    {4, 8, 15, 21, 20}
  4. ঘ
    {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 32 এবং x, 4 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 32 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 4 এর গুণিতক।
4 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 4 = 4
2 × 4 = 8
3 × 4 = 12
4 × 4 = 16
5 × 4 = 20
6 × 4 = 24
7 × 4 = 28
8 × 4 = 32

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32}
১৩,১৮২.
(1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    1/6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1
১৩,১৮৩.
প্রদত্ত চিত্র অনুসারে (A ∩ B) ∪ C এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    {m, n, o, p}
  2. খ
    {m, n, o, p, q}
  3. গ
    {p, q}
  4. ঘ
    {o, p, q, s}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে (A ∩ B) ∪ C এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
A = {m, n, o, p}
B = {o, p, q, r}
C= {p, q, s}

এখন,
A ∩ B = {m, n, o, p} ∩ {o, p, q, r}
= {o, p}
(A ∩ B) ∪ C = {o, p} ∪ {p, q, s}
= {o, p, q, s}
১৩,১৮৪.
9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    24xy
  2. খ
    6xy
  3. গ
    12xy
  4. ঘ
    144xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে
9x2 + 16y2 + a
= (3x)2 + (4y)2 + 2.3x.4y
= (3x)2 + (4y)2 + 24xy
= 9x2 + 16y2 + 24xy 
∴ a = 24xy

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
১৩,১৮৫.
একটি পাত্রে ৪টি সবুজ, ৫টি নীল এবং ৩টি বেগুনী রংয়ের বল রয়েছে। এলোমেলো ভাবে ৩টি বল তুলে নেওয়া হলো। বল তিনটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ১/৪৪
  2. খ
    খ) ৩/৪৪
  3. গ
    গ) ৫/৪৪
  4. ঘ
    ঘ) ৭/৪৪
ব্যাখ্যা

সবুজ বল = ৪টি,
নীল বল = ৫টি,
বেগুনী বল = ৩টি
∴ মোট বল = ৪ + ৫ + ৩
= ১২ টি
∴ ৩টি বল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = ৪c৩/১২c৩ + ৫c৩/১২c৩ + ৩c৩/১২c৩
= ৪/২২০ + ১০/২২০ + ১/২২০
= ১৫/২২০
= ৩/৪৪

১৩,১৮৬.
যদি 2x2 - x - 15 এর দুইটি উৎপাদক a এবং b হলে, a + b এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) 2x + 3
  2. খ
    খ) 3x + 5
  3. গ
    গ) 3x + 2
  4. ঘ
    ঘ) 5x + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x2 - x - 15 এর দুইটি উৎপাদক a এবং b হলে, a + b এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
= 2x2 - 6x + 5x - 15
= 2x(x - 3) + 5(x - 3)
= (x - 3) (2x + 5) 

এখন,
a + b = x - 3 + 2x + 5
= 3x + 2
১৩,১৮৭.
একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 1, শেষ পদ 99 এবং সমষ্টি 2500 হলে ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = (99 + 1)/2 × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = 50 × পদ সংখ্যা
∴ পদ সংখ্যা = 50
এখন,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর)) + ১
বা, 50 = {(99 - 1)/সাধারণ অন্তর} + ১
বা, 49 = 98/সাধারণ অন্তর
বা, সাধারণ অন্তর = 98/49 = 2

১৩,১৮৮.
a - 1/a = 5 হলে, a2 + 1/a2 = কত?
  1. ক
    23
  2. খ
    27
  3. গ
    30
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 5 হলে, a2 + 1/a2 = কত?

সমাধান:
a - 1/a = 5

প্রদত্ত রাশি = a2 + 1/a2
= {(a - (1/a)}2 + 2. a. 1/a
= 52 + 2
= 25 + 2
= 27
১৩,১৮৯.
(x + 3)(x - 3) কে x² - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) -6
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) -3
ব্যাখ্যা

((x + 3)(x - 3))/(x² - 6)
= (x² - 9)/(x² - 6)
= (x² - 6 - 3)/(x² - 6)
= {(x² - 6) - 3}/(x²- 6)
= - 3

বিকল্প: 
(x + 3) (x - 3) = x2 - 9

x2 - 6) x2 - 9 (1        
           x2 - 6
          --------
               - 3

∴ ভাগশেষ = - 3

১৩,১৯০.
m সংখ্যক সংখ্যার গড় n2 এবং n সংখ্যক সংখ্যার গড় m2 হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?
  1. ক
    ক) mn
  2. খ
    খ) m + n
  3. গ
    গ) mn(m + n)
  4. ঘ
    ঘ) (m + n)/mn
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m সংখ্যক সংখ্যার গড় n2 এবং n সংখ্যক সংখ্যার গড় m2 হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
m সংখ্যক সংখ্যার গড় = n2
m সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = mn2

n সংখ্যক সংখ্যার গড় = m2
n সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = m2n

সবগুলো সংখ্যা অর্থাৎ (m + n) সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = mn2 +  m2n = mn (m + n)
(m + n) সংখ্যক সংখ্যার গড় = mn (m + n)/(m + n)
= mn

∴ সবগুলো সংখ্যার গড় = mn
১৩,১৯১.
x2 - a2 + 2ab - b2 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x + a - b)(x - a - b)
  2. খ
    (x - a + b)(x + a + b)
  3. গ
    (x + a - b)(x - a + b)
  4. ঘ
    (x + a + b)(x - a - b)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - a2 + 2ab - b2 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x2 - a2 + 2ab - b2
= x2 - (a2 - 2ab + b2)
= x2 - (a - b)2
= (x + a - b)(x - a + b)

১৩,১৯২.
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    4√3
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,১৯৩.
log3√545 এর মান কত?
  1. ক
    √5
  2. খ
    2√5
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log3√545 এর মান কত?

সমাধান:
log3√545
= log3√5(9 ⋅ 5)
= log3√5(32 ⋅ 5)
= log3√5(3√5)2
= 2 log3√53√5
= 2 ⋅ 1
= 2
১৩,১৯৪.
√(x+3) = √x+√3 হলে x = কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) -3
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) √3
ব্যাখ্যা

√(x+3) = √x + √3
⇒ {√(x+3)}² = (√x + √3)² [বর্গ করে]
⇒ x+3 = (√x)² + 2.√x.√3 + (√3)²
⇒ x+3 = x + 2.√x.√3 + 3
⇒ 2.√x.√3 = 0
⇒ √x =0
∴ x = 0

১৩,১৯৫.
a3 - 9b3 + (a + b)3 এর একটি উৎপাদক কোনটি ?
  1. ক
    ক) (a - b)
  2. খ
    খ) (a + b)
  3. গ
    গ) (2a2 - 5ab - 8b2)
  4. ঘ
    ঘ) (2a2 + 5ab - 8b2)
ব্যাখ্যা
যুক্তিঃ
a3 - 9b3 + (a + b)3
= a3 - b3 + (a + b)3 - 8b3
= (a - b) (a2 + ab + b2) + (a + b - 2b) {(a+b)2 + (a+b)2b + 4b2}
= (a - b) (a2 + ab + b2) + (a - b) (a2 + 4ab + 7b2)
= (a - b) (2a2 + 5ab + 8b2)
১৩,১৯৬.
(x-1)-1 =?
  1. ক
    x2
  2. খ
    1/x
  3. গ
    1/x2
  4. ঘ
    x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x-1)-1 এর মান কোনটি?

সমাধান: 
(x-1)-1
= (1/x)-1
= x
১৩,১৯৭.
১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩, ৯৯, ১২৯,  ___ অনুক্রমটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ১৫৭
  2. খ
    ১৬৩
  3. গ
    ১৬৭
  4. ঘ
    ১৭১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩, ৯৯, ১২৯,  ___ অনুক্রমটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = ১৯
২য় পদ = ১৯ + ১৪ = ৩৩
৩য়পদ = ৩৩ + ১৮ = ৫১
৪র্থ পদ = ৫১ + ২২ = ৭৩
৫ম পদ = ৭৩ + ২৬ = ৯৯
৬ষ্ঠ পদ = ৯৯ + ৩০ = ১২৯
অর্থাৎ, ব্যবধান ৪ করে বাড়ছে।

∴ ৭ম পদ = ১২৯ + ৩৪ = ১৬৩
১৩,১৯৮.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে ২ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ৫০
  2. খ
    খ) ৩৫
  3. গ
    গ) ৪০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৯
ব্যাখ্যা
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৫C২ × ৪C৩
= ১০ × ৪
= ৪০
১৩,১৯৯.
3x - 5y + 9 = 0, 5x - 3y - 1 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?
  1. ক
    ক) (2, 2)
  2. খ
    খ) (3, 3)
  3. গ
    গ) (2, 3)
  4. ঘ
    ঘ) (2, 1)
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
3x - 5y + 9 = 0
5x - 3y - 1 = 0

3x - 5y = - 9....................(1) 
5x - 3y = 1....................(2)

(1) × 3 - (2) × 5 ⇒
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5 
- 16x = - 32
x = 2

(2)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই 
5 × 2 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1 - 10
- 3y = - 9 
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y)  =(2, 3)
১৩,২০০.
আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৪ সালে মার্চ মাসের ৪র্থ সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ২/৭
  2. খ
    ১/৭
  3. গ
    ৪/৭
  4. ঘ
    ৫/৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৪ সালে মার্চ মাসের ৪র্থ সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিন।
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন।
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ২) = ৫ দিন।

∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৫/৭