বীজগণিত

x³ + 1/x³ = 0
বা, (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x) {(x + 1/x)² - 3} = 0
বা, (x + 1/x)² - 3 = 0
বা, x² + 1/x² + 2.x.1/x - 3 = 0
বা, x² + 1/x² + 2 - 3 = 0
বা, x² + 1/x² = 1
∴ x⁴ + 1 = x²

হরতন/মোট তাস + রাজা/মোট তাস
= ১৩/৫২ + ৩/৫২ [যেহেতু ১টি রাজা হরতনে নেয়া হয়েছে তাই অবশিষ্ট ৩ নিয়ে]
= ১৬/৫২
= ৪/১৩

প্রশ্ন: যদি x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে (1/8)(x + y)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি যে, যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত (power) যদি 0 হয়, তবে তার মান হয় 1।
এখানে, x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হওয়ায় (x + y) অশূন্য সংখ্যা।
সুতরাং, (x + y)⁰ = 1

এখন,
(1/8)(x + y)⁰
= (1/8) × 1 
= 1/8
= 8^{- 1}

প্রশ্ন: যদি x√x = 27 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x√x = 27
⇒ (x√x)² = (27)²   ; [বর্গ করে পাই]
⇒ x² . x = (3³)²
⇒ x³ = (3²)³
⇒ x = 3²
∴ x = 9

প্রশ্ন: 11√121 এর 11 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
11√121 এর 11 ভিত্তিক লগ
= log₁₁11√121
= log₁₁11 +log₁₁√121
= 1 + log₁₁√11²  
= 1 + log₁₁11^{(1/2) × 2}        
= 1 + log₁₁11
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x − ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x − ২ + ১০ (y + ৩) 
= x − ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x − x +৩০y − ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, x + ১০y = ২৮/২ 
∴ x + ১০y = ১৪ 

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

ডিমরগান এর সূত্রানুসারে (A ∪ B)' = A' ∩ B'

2x + 3y = 7 ------- (i)
5x - 2y = 8 -------- (ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই -
4x + 6y = 14 ------ (iii)
15x - 6y = 24 ------ (iv)
(iii) ও (iv) যোগ করে পাই -
19x = 38
∴ x = 2
x এর মান (i) নং এ বসালে পাই -
2 × 2 + 3y = 7
⇒ 3y = 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (2, 1)

প্রশ্ন: একসেট সংখ্যা থেকে 35 সংখ্যাটি বাদ দেয়ার ফলে সেটের গড় 14 থেকে 11 হয়ে গেল। সেটের সদস্য সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনেকরি
সেটের সদস্য সংখ্যা = x
x সংখ্যক সংখ্যার গড় = 14
x সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = 14x

একটি সংখ্যা বাদ হওয়ায় সেটের সদস্য সংখ্যা (x - 1)
x - 1 সংখ্যক সংখ্যার গড় = 11
x - 1 সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = 11(x - 1)

শর্তমতে
14x - 35 = 11(x - 1)
বা, 14x - 35 = 11x - 11
বা, 14x - 11x = 35 - 11
বা, 3x = 24
∴ x = 8

সেটের সদস্য সংখ্যা = 8

এখানে,
প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪×৫৩ = ২১২
শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫×৪১ = ২০৫
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৪৭৮ - (২১২+২০৫)
= ৪৭৮ - ৪১৭
= ৬১

প্রশ্ন: a³ - ৪a - 8 কে a + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান: 

রিমাইন্ডার থিওরেম অনুসারে, যদি কোনো পলিনোমিয়াল f(a) কে a - c দ্বারা ভাগ করা হয়, ভাগশেষ হয় f(c)

এখানে a + 1 = a - (- 1), তাই c = - 1

a = - 1 বসাই

⇒ f(a) = a³ - 8a - 8
⇒  f(- 1) = (- 1)³ - 8(- 1) - 8
= - 1 + 8 - 8
= - 1

তাই ভাগশেষ = - 1

উত্তর: ক) - 1

প্রশ্ন: [2 - 3(2 - 3)^{- 1}]^{- 1} এর মান কত?

সমাধান:
[2 - 3(2 - 3)^{- 1}]^{- 1}
= [2 - 3(- 1)^{- 1}]^{- 1}
= [2 - 3 × {1/(- 1)}]^{- 1}
= [2 - 3 × (- 1)]^{- 1}
= (2 + 3)^{- 1}
= (5)^{- 1}
= 1/5

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}
Q = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x < 10}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Q = {1, 3, 5, 7, 9} 

∴ P ∩ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

(81)^{x - 1} = 3^{3x + 1}
বা, (3⁴)^{x - 1} = 3^{3x + 1}
বা, 3^{4x - 4} = 3^{3x + 1}
4x - 4 = 3x + 1
4x - 3x = 1 + 4
∴ x = 5

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b + c = 0
আমরা জানি,
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca)
⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 [a + b + c = 0; মান বসিয়ে]
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রশ্ন: ১১, ১৫, ০৯, ০৮, ১৬, ১২, ২০ এর মধ্যক কত? 

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে সাজিয়ে পাই ০৮, ০৯, ১১, ১২, ১৫, ১৬, ২০ 
এখানে
n = ৭, অর্থাৎ বিজোড় সংখ্যা
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদের মান
= (৭ + ১)/২ তম পদের মান
= ৪ তম পদের মান
= ১২

 নির্ণেয় মধ্যক = ১২

x^-4 - 0.0001 = 0
বা, x^-4 = 0.0001
বা, 1/x⁴ = 1/10000
বা, x⁴ = 10000
বা, x⁴ = 10⁴
বা, x = 10
∴ x³ = 10³
= 1000

একটি স্থির ধরে 7 টির সবগুলো নিয়ে চক্রবিন্যাস (7-1)! = 6!
যেহেতু বামাবার্তে এবং ডানাবার্তে একই হয় তবে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2 = 360

x > y...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1)নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

প্রশ্ন: P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = {x, y} হলে, (P ∪ Q) × R = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {3, 4}
R = {x, y}

∴ P U Q = {1, 2, 3} ∪ {3, 4}
= {1, 2, 3, 4}

প্রদত্ত রাশি, 
(P ∪ Q) × R
= {1, 2, 3, 4} ×  {x, y}
= {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y), (4, x), (4, y)}

প্রশ্ন: যদি x² + y² + 2x + 1 = 0 হয়, তাহলে x³¹ + y³⁶ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + y² + 2x + 1 = 0
⇒ x² + 2x + 1 + y² = 0
⇒ (x + 1)² + y² = 0
দুটি বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, প্রতিটি বর্গের মান পৃথকভাবে শূন্য হতে হয়।
অর্থাৎ,
(x + 1)² = 0  
⇒ x + 1 = 0  
⇒ x = - 1
এবং y² = 0  
⇒ y = 0
সুতরাং, x = - 1 এবং y = 0

প্রদত্ত রাশি, 
x³¹ + y³⁶
= (- 1)³¹ + (0)³⁶
= - 1 + 0
= - 1

A = {0, 1, 2, 3, 5},
B = {2, 3, 5}
∴ A - B = {0, 1}

প্রশ্ন: 12x³ - 38x² + 20x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
12x³ - 38x² + 20x
= 2x(6x² - 19x + 10)
= 2x(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2x {3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2x(2x - 5)(3x - 2)

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণের উপর (2, 3) ও (4, 7) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত?

সমাধান:
(2, 3)⇒
y = (2x - 1)
⇒3 = (2 × 2 - 1)
⇒3 = 4 - 1 = 3

(4, 7)⇒
y = 2x - 1
⇒7 = 2 × 4 - 1 = 7

∴ সমীকরণটি: y = (2x - 1)

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমান।
বিজোড় অবস্থানের ধারা = 4, 6, 8, 10
জোড় অবস্থানের ধারা = 9, 11, 13, 15

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 4 টি সাদা এবং 3 টি কালো মার্বেল আছে। অপর একটি বাক্সে 1 টি সাদা এবং 5 টি কালো মার্বেল আছে। দৈবভাবে প্রত্যেক বাক্স থেকে একটি করে মার্বেল তোলা হলো। মার্বেল দুইটির মধ্যে অন্তত একটি সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
প্রথম বাক্সে, 4 টি সাদা মার্বেল, 3 টি কালো মার্বেল (মোট 7 টি মার্বেল)
দ্বিতীয় বাক্সে, 1 টি সাদা মার্বেল, 5 টি কালো মার্বেল (মোট 6 টি মার্বেল)

অন্তত একটি সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - দুইটি মার্বেলই কালো

প্রথম বাক্স থেকে কালো মার্বেলের সম্ভাবনা = 3/7
দ্বিতীয় বাক্স থেকে কালো মার্বেলের সম্ভাবনা = 5/6

দুইটি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = (3/7) × (5/6)
= 15/42
= 5/14

∴ অন্তত একটি সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (5/14)
= (14 - 5)/14
= 9/14

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 160। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x² + y² = 160

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 160 + (2 × 48)
= 160 + 96
= 256
⇒ x + y = √256
∴ x + y = 16

4 + 7 + 10 + 13 +........ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার
১ম পদ a=4
সাধারণ অন্তর, d = 7-4=3
মনে করি, n তম পদ= 301
n তম পদ= a+(n-1)d
সুতরাং, a+(n-1)d = 301
বা, 4+ (n-1)3 = 301
বা, (n-1) 3 = 301-4
বা, n-1 = 297/3
বা, n= 99+1 = 100

দেওয়া আছে, প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135
মনে করি, ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^4-1
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন, দ্বিতীয় পদ, x = aq^2-1
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^3-1
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

x² - 7x + 10 < 0
⇒ x² - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2 (x - 5) < 0
∴ (x - 2)(x - 5) < 0

x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 5
2 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x <5
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 2 < x < 5

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 8x² + 6x + 60 বহুপদীকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে,
যদি কোনো বহুপদী f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a)
এখানে (x + 2) দ্বারা ভাগ করা হচ্ছে, তাই a = - 2

দেওয়া আছে,
f(x) = x³ - 8x² + 6x + 60
∴ f(- 2)= (- 2)³ - 8(- 2)² + 6(- 2) + 60
= - 8 - 8(4) - 12 + 60
= - 8 - 32 - 12 + 60
= - 52 + 60
= 8

সুতরাং, নির্ণেয় ভাগশেষ = 8

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে পঞ্চম পদটি 160 এবং অষ্টম পদটি 1280 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 

পঞ্চম পদ = 160
∴ ar^5-1 = 160
⇒ ar⁴ = 160 ......(1)

অষ্টম পদ = 1280
∴ ar⁷ = 1280 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী, 
ar⁷/ar⁴ = 1280/160
⇒ r^7-4 = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2⁴ = 160
⇒ a = 160/16
⇒ a = 10

∴ প্রথম পদ হলো ১০

x/4 + 4 = x/5 + 5
বা, x/4 - x/5 = 5 - 4
বা, (5x - 4x)/20 = 1
বা, x/20 = 1
∴ x = 20

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে,
ƒ(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 11 - 7
= 4
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 4