PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১২৪ / ২০১ · ১২,৩০১–১২,৪০০ / ২০,২০৭
১২ + ২২ + ৩২ + ...... + ২৪২ = {২৪(২৪ + ১)(২.২৪ + ১)}/৬
= (২৪ × ২৫ × ৪৯)/৬
= ৪ × ২৫ × ৪৯
= ৪৯০০
33x-12 = 73x-12
বা, 33x-12/73x-12 = 1
বা, (3/7)3x-12 = (3/7)°
বা, 3x - 12 = 0
বা, 3x = 12
∴ x = 4
x - 3, f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9 এর উৎপাদক
∴ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 = 9k = 0
∴ k = 0
প্রশ্ন:
সমাধান:
xy/x2 + y2
= 4xy/2.2(x2 + y2)
= (x +y)2 - (x - y)2/2{(x + y)2 + (x - y)2}
= 62 - 22/2(62 + 22)
= 36 - 4/2(36 + 4)
= 32/(2 × 40)
= 2/5
প্রশ্ন: (pqrt)0 = ?
সমাধান:
আমরা জানি ,
a0 = 1 , যেখানে, a ≠ 0.
∴ (pqrt)0 = 1
প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৯০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার ৩ গুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৪০ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ৫২০০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?
সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৯০ - ক জন
ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ৪০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ৪০ × ৩ = ১২০ টাকা
প্রশ্নমতে,
৪০ক + ১২০(৯০ - ক) = ৫২০০
⇒ ৪০ক + ১০৮০০ - ১২০ক = ৫২০০
⇒ -৮০ক = ৫২০০ - ১০৮০০
⇒ - ৮০ক = - ৫৬০০
⇒ ৮০ক = ৫৬০০
⇒ ক = ৫৬০০/৮০
∴ ক = ৭০
সুতরাং, ডেকের যাত্রী সংখ্যা হলো ৭০ জন।
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে 3 যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে 2 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিনগুণ হয়। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?
সমাধান:
ধরি,
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + 10y
আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - 2
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + 3
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - 2 + 10 (y + 3)
= x - 2 + 10y + 30
= x + 10y + 28
প্রশ্নমতে,
3(x + 10y) = x + 10y + 28
বা, 3x + 30y = x + 10y + 28
বা, 3x - x +30y - 10y = 28
বা, 2x + 20y = 28
বা, 2 (x + 10y) = 28
বা, (x + 10y) = 28/2
∴ (x + 10y) = 14
∴ সংখ্যাটি = 14
∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = 14 x 2 = 28
প্রশ্ন: (3 + x) + 5 = 2(x + 4) হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
(3 + x) + 5 = 2(x + 4)
বা, x + 8 = 2x + 8
বা, x + 8 - 2x = 8
বা, - x + 8 = 8
বা, - x = 0
∴ x = 0
প্রশ্ন: {a + (1/a)}2 = 16 হলে, a3 + (1/a)3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
{a + (1/a)}2 = 16
⇒ a + (1/a) = √16
⇒ a + (1/a) = 4
∴ প্রদত্ত রাশি, a3 + (1/a3) = {a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a) · {a + (1/a)}
= (4)3 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52
প্রদত্ত ধারাটি, log11 + log121 + log1331 + ......
= log11 + log112 + log113 + ......
= 1 log11 + 2 log11 + 3 log11 + ......
= (1 + 2 + 3 + 4 + ........) log11
এখন, 1 + 2 + 3 + 4 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = 8(8 + 1)/2
= 4 × 9
= 36
সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 36 log11
Log[98 + √(x² - 12x + 36)] = 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = antilog 2
[98 + √(x² - 12x + 36)] = 100
√(x² - 12x + 36) = 2
x² - 12x + 36 = 4
x² - 12x + 32 = 0
(x - 4)(x - 8) = 0
x = 4 or 8
প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ২০০ জন ছাত্রের মধ্যে ১৪০ জন গণিতে, ১২৫ জন বিজ্ঞানে এবং ৯০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
সমাধান:
শুধু গণিতে পাস = (১৪০ - ৯০) = ৫০ জন
শুধু বিজ্ঞানে পাস = (১২৫ - ৯০) = ৩৫ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৯০ জন
অতএব, অন্তত একটি বিষয়ে পাস = (৫০ + ৩৫ + ৯০) = ১৭৫ জন
মোট ছাত্র = ২০০ জন
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (২০০ - ১৭৫) = ২৫ জন
অতএব, উভয় বিষয়ে ২৫ জন ছাত্র ফেল করেছে।
মোট নমুনা বিন্দু = 36
একই সংখ্যার অনুকূলে নমুনা বিন্দু = 6
∴ সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6
6x²-7x-4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক b2-4ac এর সাহায্যে বের করা যায়।
নিশ্চায়ক = (-7)2 - 4x6x(-4) = 49+96 = 145>0
যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
যেহেতু, (x - 3) দ্বারা x2 + 7x + p বিভাজ্য, সেহেতু, 32 + 7(3) + p = 0 হবে।
বা, 9 + 21 + p = 0
p = -30
প্রশ্ন: 7 - 14 + 28 - 56 + ........ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = - 14/7 = - 2 ; r < 1
পদ সংখ্যা, n = 9
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)
9টি পদের সমষ্টি = 7{1 - (- 2)9}/{1 - (- 2)}
= 7(1 + 512)/(1 + 2)
= (7 × 513)/3
= 7 × 171
= 1197
ধরি সংখ্যা দুটি x এবং y
শর্তমতে, x + y = 10 .... (i)
এবং xy = 24
আমরা জানি, (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = 102 - 4.24 = 4
বা, x - y = 2 ..... (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 12
বা, x = 6
∴ y = 4
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ 12, ২য় পদ 17 হলে 21 তম পদ কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ 12 এবং ২য় পদ 17
সাধারণ অন্তর = 17 - 12 = 5
∴ 21 তম পদ = a + (n - 1) d
= 12 + (21 - 1) 5
= 12 + 20 × 5
= 12 + 100
= 112
প্রশ্ন: A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}, B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} এবং C = {2, 4, 6, 8, 10} হয়, তাহলে A ∩ B ∩ C = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
∴ A = {4, 8, 12, 16, 20}
B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {6, 12, 18}
এবং C = {2, 4, 6, 8, 10}
তাহলে,
A ∩ B = {4, 8, 12, 16, 20} ∩ {6, 12, 18}
= {12}
প্রদত্ত রাশি,
(A ∩ B) ∩ C = {12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
= ∅
∴ A ∩ B ∩ C = ∅
মোট বস্তু = ৫২, ভাগ সংখ্যা = ৪
প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা = ৫২/৪ = ১৩
আমরা জানি, বিন্যাস = (মোট বস্তু!)/(প্রতি ভাগে বস্তুর সংখ্যা!)ভাগ সংখ্যা
∴ বিন্যাস = (৫২)!/(১৩!)৪
5x + 31/3 + 32/3 = 0
বা, 31/3 + 32/3 = - 5x
বা, ( 31/3 + 32/3 )3 = (- 5x)3
বা, ( 31/3 )3 + ( 32/3 )3 + 3 × 31/3 × 32/3 ( 31/3 + 32/3 ) = (- 5x)3
বা, 3 + 32 + 3 × 3 × (-5x) = -125x3
বা, 12 - 45x = -125x3
বা, 125x3 - 45x + 12 = 0
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের নিশ্চয়ক b2-4ac = 0 হলে মূলদ্বয় সমান হয়।
তাহলে, m2 - 4.2.6 = 0
m = 4√3
প্রশ্ন: log 3 = 0.4771 এবং log 4 = 0.6020 হলে, log 12 এর মান কত?
সমাধান:
log 12 = log(3 × 4)
= log 3 + log 4
= 0.4771 + 0.6020
= 0.7781
= 1.0791
প্রশ্ন: 2x3 - 3x2 - 3x + 2 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x3 - 3x2 - 3x + 2
∴ f(- 1) = 2(- 1)3 - 3(- 1)2 - 3(- 1) + 2
= 2(- 1) - 3(1) + 3 + 2
= - 2 - 3 + 3 + 2
= 0
যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।
দেওয়া আছে, 2xy + y = 21 এবং x = 3
⇒ 2.3.y + y = 21
⇒ y (6 + 1) = 21
⇒ y = 21/7 = 3
∴ 2y + x2 = 2.3 + 32 = 15