বীজগণিত

ধারাটির ১ম পদ a = 2, সাধারণ অন্তর d = 4 - 2 = 2
মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, a + (n - 1)d = 256
বা, 2 + (n - 1)2 = 256
বা, 2 + 2n - 2 = 256
বা, 2n = 256
সুতরাং n= 128

প্রশ্ন: 9p² + 25q² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে ?

সমাধান : 
9p² + 25q^2 
_⇒ (3p)² + 2 . 3p . 5q + (5q)²
⇒ 9p²+ 30pq +25q²

∴ 9p² + 25q² রাশিটির সাথে 30pq যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

(a + 1/a)²
= (a - 1/a)² + 4.a.1/a
= (-1)² + 4
(a + 1/a)² = 5
∴ a + 1/a = √5
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (√5)³ - 3√5
a³ + 1/a³
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n!/(a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11!/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

প্রশ্ন: log_√232 + log₃9√3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log_√232 + log₃9√3
= log_√22⁵ + log₃(3² × 3^1/2)
= 5 log_√22 + log₃3^{(2 + 1/2)}
= 5 log_√2(√2)² + log₃3^(5/2)
= 10 log_√2(√2) + (5/2)log₃3.   ; [log_aa = 1]
= 10 + (5/2)
= (20 + 5)/2
= 25/2

x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x -2)(x + 1)

নমুনা বিন্দু {HH, HT, TH, TT} মোট 4টি
হেড নাই এমন নমুনা বিন্দু = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/4

মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা x টি
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 6(x - 2)
আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 5x + 6
প্রশ্নমতে,
6(x - 2) = 5x + 6
বা, 6x - 5x = 18
বা, x = 18
∴ বেঞ্চের সংখ্যা 18 টি। 

১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৩য় পদ ar² = 40.....(1)
ষষ্ঠ পদ ar⁵ = 320.....(2)
(2)নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
r³ = 8
∴ r = 2

প্রশ্ন: যদি y = √5 + √4 হয়, তাহলে y³ + (1/y³)এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
y = √5 + √4
⇒ y = √5 + 2
⇒ 1/y = 1/(√5 + 2)
⇒ 1/y = (√5 - 2)/(√5 + 2)(√5 - 2) [লব ও হরকে (√5 - 2) দ্বারা গুণ]
⇒ 1/y = (√5 - 2)/(5 - 4)
∴ 1/y = √5 - 2

এখন, y + 1/y = (√5 + 2) + (√5 - 2)
∴ y + 1/y = 2√5

এখন,
y³ + 1/y³
= (y + 1/y)³ − 3(y)(1/y)(y + 1/y)
= (2√5)³ - 3 × 1 × (2√5)
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: যদি a² - 2ab + b² = 9 হয়, তবে (a - b)³ এর মান কত?

সমাধান:
a² - 2ab + b² = (a - b)² = 9
⇒ a - b = √9 =3
⇒ (a - b)³ = 3³ = 27

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 ≤ 0 এর সমাধান সেট -

সমাধান:
x² - 5x + 6 ≤ 0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 ≤ 0
⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) ≤ 0
∴ (x - 2)(x - 3) ≤ 0

x² - 5x + 6 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 2 ≤ 0 এবং x - 3 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 2 ≤ 0 এবং x - 3 ≥ 0
অর্থাৎ, x ≤ 2 এবং x ≥ 3
2 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 3 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার, x² - 5x + 6 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 2 ≥ 0 এবং x - 3 ≤ 0 হয়।
এখন, x - 2 ≥ 0 এবং x - 3 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 2 এবং x ≤ 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 3 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 2 ≤ x ≤ 3
x² - 5x + 6 ≤ 0 এর সমাধান সেট [2, 3]

ধরি, বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
∴ ক - ক/৪ - ৩ক/৫ = ৬
⇒ ২০ক - ৫ক - ১২ক = ১২০
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০ 

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে, a³ - 1/a³ = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a) (a - (1/a) 
= (3)³ + 3 × 3
= 27 + 9 
= 36

মোট সংখ্যা = ১৪ টি,
মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩},
৩ এর গুনিতক = {৩, ৬, ৯, ১২, ১৫}
∴ মৌলিক অথবা ৩ এর গুনিতক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৯, ১১, ১২, ১৩, ১৫}
= ১০টি
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১০/১৪
= ৫/৭

ধরি,
x = 5,
y = 7,
z = -2
∴ xz = -10,
yz = -14
∴ -14 < -10
বা, -10 > -14
∴ zx > yz

A = {1, 2}, B = {1, 3},
∴ A∩B = {1}
এখন, (A∩B)′
= U - (A∩B)
= (1, 2, 3, 4} - {1}
= {2, 4, 3}

প্রশ্ন: (4x + y, 18) = (30, 2x + y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 18 ........(1)
4x + y = 30 ..........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(4x + y - 2x - y) = 30 - 18
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(6) + y = 18
⇒ 12 + y = 18
⇒ y = 18 - 12
⇒ y = 6
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (6, 6)

প্রশ্ন: A = {x: x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B = {x: x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে, A ∩ B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5, …}
এবং 
B = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ B = {…, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1}
অর্থাৎ A এবং B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই।
সুতরাং, A ∩ B = ∅

2a²−4ab+4b²
= a² - 4ab + 4b² + a²
= a² -2.a.2b + (2b)² + a²
= (a - 2b)² + a²
অর্থাৎ রাশিটি থেকে a2 বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল a⋅x²+ b⋅x + c = 0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a, b হল যথাক্রমে x² এবং x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

প্রশ্ন: 2, p, q, 54 একটি গুণোত্তর ধারার পরপর চারটি পদ হলে, pq এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
চতুর্থ পদ = 54
⇒ ar³ = 54
⇒ 2 × r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

∴ দ্বিতীয় পদ, p = a × r^{2 - 1} = a × r
= 2 × 3 = 6
∴ তৃতীয় পদ, q = a × r^{3 - 1} = a × r² 
= 2 × 3² = 18

∴ pq = 6 × 18 = 108

Let the number be x and y
Then,
x²−y² = 63 & x−y = 3
On dividing, we get: x + y = 21
Solving x + y = 21 and x - y = 3,
We get: x = 12 and y = 9
∴ Larger number = 12

প্রশ্ন: x³ + 4x² + cx - 20 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, c এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 4x² + cx - 20
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ + 4(2)² + c(2) - 20
⇒ f(2) = 8 + 16 + 2c - 20
⇒ f(2) = 2c + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2c + 4 = 0
⇒ 2c = - 4
∴ c = - 2

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে (9 - 12a + pa²) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
9 - 12a + pa²
= (3)² - 2 × 3 × 2a + (2a)² - pa² - (2a)²
= (3 - 2a)² + pa² - 4a²

∴ রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে,
pa² - 4a² = 0
⇒ pa² = 4a²
∴ p = 4
p এর মান 4 হলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: 10 টি ভিন্ন বই থেকে 3 টি বই নির্বাচন করে তাকের জন্য সাজাতে হবে। কতভাবে সাজানো সম্ভব?

সমাধান: 
মোট বই আছে = 10 টি 
10 টি থেকে নিতে হবে = 3 টি 

∴ যতভাবে সাজানো সম্ভব = ⁿP_r​
= ¹⁰P₃ 
= 10! / (10 − 3)! 
= 10!/7!​
= 10⋅9⋅8. 7! / 7!​
​= 10⋅9⋅8 
= 720

প্রশ্ন: a² + ab + b² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
অর্থাৎ, a² + ab + b² কে (a - b) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর a³ - b³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

x + y = 0
∴ y = -x
এখন, 2x - y = 3 = 0
বা, 2x + x + 3 = 0
বা, 3x = -3
∴ x = -1
∴ y = - (-1) = 1