বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি p - q - r = 0 হয় তবে, p³ - q³ - r³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - q - r = 0
⇒ p - q = r

প্রদত্ত রাশি = p³ - q³ - r³
= (p - q)³ + 3pq(p - q) - r³
= r³ + 3pqr - r³
= 3pqr

প্রশ্ন: n(X ∪ Y) = 70, n(X ∩ Y) = 20 এবং n(Y) = 40 হলে, n(X) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X ∪ Y) = 70
n(X ∩ Y) = 20
n(Y) = 40

আমরা জানি, 
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 70 = n(X) + 40 - 20
⇒ 70 = n(X) + 20
⇒ n(X) = 70 - 20
∴ n(X) = 50

∴ n(X) = 50

প্রশ্ন: a - b = 4 এবং ab = 20 হলে a³ - b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - b = 4 
ab = 20

আমরা জানি
a3 - b3 = (a - b)³ + 3ab(a - b)
= 43 + 3 × 20  × 4
= 64 + 240
= 304

৬ টি সংখ্যার সমষ্টি =(৬ × ২৫) = ১৫০
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি =(৩ × ২২) = ৬৬
∴ ৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২১৬
∴ ৯ টি সংখ্যার গড় = ২১৬/৯ = ২৪

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে প্রত্যেক সদস্য একে অপরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা ৬ হয় তাহলে সভায় কতজন সদস্য উপস্থিত ছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
মোট সদস্য সংখ্যা = n জন 

প্রশ্নমতে,
ⁿC_২ = ৬
⇒ n!/২! × (n - ২)! = ৬
⇒ {n × (n - ১) × (n - ২)}/{(n - ২)! × ২!} = ৬
⇒ n × (n - ১)/২ = ৬
⇒ n(n - ১) = ১২
⇒ n^২ - n = ১২
⇒ n^২ - n - ১২ = 0
⇒ n^২ - ৪n + ৩n - ১২ = 0
⇒ n(n - ৪) + ৩(n - ৪) = 0
⇒ (n - ৪)(n + ৩) = 0
হয়, n - ৪ = 0 অথবা n + ৩ = 0
হয়, n = ৪ অথবা n = - ৩ 

কিন্তু লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = ৪

অর্থাৎ মিটিঙে উপস্থিত সদস্য সংখ্যা = ৪ জন 

log₂1024 + log₄1024 = log₂2¹⁰ + log₄4⁵
= 10 log₂2 + 5 log₄4
= 10 + 5 = 15

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

প্রতিটি অংক প্রতিসংখ্যা যেকোন সংখ্যকবার নেয়া যাবে অর্থাৎ পুনরাবৃত্তি ঘটবে।
∴ এক্ষেত্রে 5টি সংখ্যা থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 5⁴
= 625

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₅(125²)^1/3
= log₅(125)^2/3
= (2/3)log₅125
= (2/3)log₅5³
= (2/3) × 3 
= 2

( x - 1 / x ) = 1
⇒ ( x - 1 / x ) = ( 1 )³
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 ( x - 1 / x ) = 1
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 ( 1 ) = 1
⇒ x³ - 1 / x³ - 3 = 1
⇒ x³ - 1 / x³ = 3 + 1
⇒ x³ - 1 / x³ = 4

3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x² - x - 20x - 20
= 3x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1) (3x² - x - 20)

প্রশ্ন: log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) এর মান কত?

সমাধান:
   log₁₀(1/70)
= log₁₀(1) - log₁₀(70)
= 0 - log₁₀ (7 × 10)
= - log₁₀(7) - log₁₀(10)
= - a - 1
= - (1 + a)

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ....................... + ৮৩ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৩ = ৫
শেষ পদ = ৮৩

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৮৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ৮৩
⇒ ৩ + (n - ১) ×৫ = ৮৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮৩ - ৩
⇒ (n - ১) × ৫ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৫
⇒ n - ১ = ১৬
⇒ n = ১৬ + ১
∴ n = ১৭

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ১৭ টি।

প্রশ্ন: (3x - 1, 7) = (8, 2y + 1) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
3x - 1 = 8
বা, 3x = 8 + 1
বা, 3x = 9
বা, x = 9/3
∴ x = 3

আবার,
2y + 1 = 7
বা, 2y = 7 - 1
বা, 2y = 6
বা, y = 6/2
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (3, 3)

Question: How many ways the letters of the word "RUBBER" can be arranged ?

Solution:
Total letters = 6
R = 2 times
B = 2 times

Number of distinct permutations = n! / (p1! × p2!..) 
= 6! / (2! × 2!)
= 720/4
= 180

∴ Distinct permutations 180

দেওয়া আছে,
5^{(2x - 6)} = 7^{(2x - 6)}
বা, 5^{(2x - 6)}/7^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ 6 এবং ষষ্ঠ পদ 486 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}

দ্বিতীয় পদ = ar^{2 - 1} = ar¹ = 6 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 486 ......(2)

(2) ÷ (1) দ্বারা পাই,
ar⁵/ar¹ = 486/6
⇒ r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 3⁴
⇒ r = 3

∴ সাধারণ অনুপাত = 3

প্রশ্ন: (225)^0.1 × (225)^0.4 এর মান কত?

সমাধান:
(225)^0.1 × (225)^0.4
= (225)^{0.1 + 0.4}
= (225)^0.5
= √225
= 15

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে 4xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5  এবং 
x - y = 3 

আমরা জানি 
xy  = {(x + y)² - (x - y)²}/4
⇒ xy = {(5)² - (3)²}/4
⇒ xy = (25 - 9)/4
⇒ xy = 16/4
∴ xy = 4

প্রশ্ন: যদি a - b = 5 এবং a² + b² = 17 হয়, তবে a³ - b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a - b = 5 এবং a² + b² = 17

আমরা জানি,
(a - b)² = a² + b² - 2ab
বা, 5² = 17 - 2ab
বা, 25 = 17 - 2ab
বা, 2ab = 17 - 25
বা, 2ab = - 8
∴ ab = - 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - b³
= (a - b)³ + 3ab(a - b)
= 5³ + 3 × (- 4) × 5
= 125 + 3 × (- 20)
= 125 - 60
= 65

প্রথম দুটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫
= ০
প্রথম চারটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫
= ০
প্রথম ছয়টি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫ - ৫
= ০
-------------------------
অতএব প্রথম জোড় সংখ্যক পদের যোগফল
= ০
প্রথম তিনটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫
= ৫
প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫
= ৫
প্রথম সাত টি পদের যোগফল
= ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫ - ৫ + ৫
= ৫
-------------------------
অতএব প্রথম বিজোড় সংখ্যক পদের যোগফল
= ৫।
যেহেতু ১০১ বিজোড় তাই ধারাটির প্রথম ১০১ টি পদের যোগফল
= ৫

প্রশ্ন: একটি দলে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৩২৪ টাকা হয়। দলের সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন
তাহলে ১ জন দেয় = ক টাকা
∴ ক জন দেয় = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √১৮ 

অতএব, দলের সদস্য সংখ্যা = ১৮ জন

প্রশ্ন: একটি থলিতে ১২টি নীল বল, ১৪টি সাদা বল এবং ২২টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
থলিতে মোট বল আছে = (১২ + ১৪ + ২২) টি 
= ৪৮টি 
∴ নীল বল উঠার সম্ভাবনা = ১২/৪৮ 
= ১/৪ 

∴ নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = (১ - ১/৪) 
= (৪ - ১)/৪ 
= ৩/৪

ভেনচিত্র অনুসারে,
n(A) = 82, n(B) = 79
n(c) = 64,
n(A∩B) = 21,
n(B∩C) = 15,
n(C∩A) = 16,
n(A∩B∩C) = 7
∴ n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(c) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
= 82 + 79 + 64 - 21 - 15 - 16 + 7
= 180

প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
x + y = √13
x - y = √5

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি

প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে, (ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
⇒ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।

∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

(√3)⁸ 
= 3^1/2×8
= 3⁴
= 81

দেওয়া আছে,
3/x = 2
∴ x = 3/2
আবার, 4/y = 3
∴ y = 4/3

∴ (3+y)/(x+4) = {3+(4/3)}/{(3/2)+4}
= {(9+4)/3}/{(3+8)/2}
= (13/3)/(11/2)
= 13/3 × 2/11
= 26/33

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে ১৮ বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক এবং দশক স্থানীয় অংক = খ 
∴ সংখ্যাটি হবে = ১oখ + ক

এবং, স্থান বিনিময় করলে হবে = ১০ক + খ
ক + খ + ৭ = ৩খ
∴ ক = ২খ - ৭.......(১) 

আবার,
(১oখ + ক) - ১৮ = (১০ক + খ)
১০খ + ( ২খ - ৭) - ১৮ = ১০(২খ - ৭) + খ      [মান বসিয়ে পাই]
⇒ ১০খ + 2খ - ৭ - ১৮ = ২০খ - ৭০ + খ
⇒ ১০খ + ২খ - ২০খ - খ = -  ৭০ + ৭ + ১৮
⇒ - ৯খ = - ৪৫
∴ খ = ৫ 

(১) নং হতে পাই, 
∴ ক = ১০ - ৭ = ৩ 

∴ সংখ্যাটি হবে = ১oখ + ক = (১০ × ৫) + ৩ = ৫০ + ৩ = ৫৩ 

প্রশ্ন: x - 1/x = √3 হলে x² - √3 x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া হয়েছে,
x - 1/x = √3

x² - √3 x
= x² - √3 x
= x² - (x - 1/x) x (যেহেতু √3 = x - 1/x)
= x² - (x² - 1)
= x² - x² + 1
= 1

সঠিক উত্তর: 1

প্রশ্ন: log₂256 + log₂32 এর মান কত?

সমাধান:
log₂256 + log₂32
= log₂2⁸ + log₂2⁵
= 8 log₂2 + 5 log₂2
= (8 × 1) + (5 × 1)
= 8 + 5
= 13

প্রশ্ন: রোহান ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। রোহান যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি রোহানকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে রোহানের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। রোহানের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
রোহানের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 20 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 5 এর গুণিতক।
5 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 5 = 5
2 × 5 = 10
3 × 5 = 15
4 × 5 = 20
5 × 5 = 25
∴ নির্ণেয় সেট = {5, 10, 15, 20}

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো।ছক্কায় সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬ 

এখন, 
গুণফল জোড় হওয়ার শর্ত, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি সংখ্যা জোড় হয়। (অর্থাৎ, দুটোই বিজোড় হলে গুণফল বিজোড়।)

সুতরাং, দুইটা সংখ্যা বিজোড় হওয়ার ফলাফল = ৩ × ৩ = ৯ ; [বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = ৩ টি]

∴ গুণফল জোড় হওয়ার ফলাফল = ৩৬ - ৯ = ২৭ 

∴ P(গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা) = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ২৭/৩৬ 
= ৩/৪ 

সুতরাং, দুটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ৩/৪।

প্রশ্ন: log₁₀(x + 4) = log₁₀x + log₁₀4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₁₀(x + 4) = log₁₀x + log₁₀4
⇒ log₁₀(x + 4) = log₁₀(x × 4)
⇒ log₁₀(x + 4) = log₁₀4x
⇒ x + 4 = 4x
⇒ 3x = 4
∴ x = 4/3

64^2/3+ 625^1/2 = 3k
=> (4³)^2/3+ (25²)^1/2 = 3k
=> 4²+ 25 = 3k
=> 16 + 25 = 3k
=> 41 = 3k
=> k = 41/3
∴ k = 13(⅔)