বীজগণিত

প্রশ্ন: 3x² + 7x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3x² + 7x + 2 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 7 এবং c = 2

∴ নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (7)² - 4 × 3 × 2
⇒ D = 49 - 24
⇒ D = 25
যেহেতু, D > 0 এবং D = 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c}, B = {c, d, e} হলে (A ∪ B)^c = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c}
B = {c, d, e}

∴ A ∪ B = {a, b, c} ∪ {c, d, e}   
= {a, b, c, d, e}

প্রদত্ত রাশি, 
(A ∪ B)^c = U - (A ∪ B)   
= {a, b, c, d, e, f} - {a, b, c, d, e}   
= {f}

প্রশ্ন: ২ - ৪ + ৮ - ১৬ + ............... ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = ২,
সাধারণ অনুপাত, r = (- ৪)/২ = - ২  [ ∴ r < ১]
পদসংখ্যা, n = ৭

∴ সমষ্টি, S = a(১ - rⁿ)​/(১ - r)
= ২{১ - (- ২)^৭}​/{১ - (- ২)}
= ২{১ - (- ১২৮)}/(১ + ২) 
= ২ (১ + ১২৮)/৩ 
​= (২ × ১২৯)​/৩
= ৮৬ ।

দেওয়া আছে, xy = 2
∴ x = 2/y
এখন, 2/y+2y = 4
⇒ 2 + 2y² = 4y
⇒ 2y² - 4y + 2 = 0
⇒ y² - 2y + 1 = 0
⇒ (y - 1)² = 0
∴ y = 1

3/x + 4/(x + 1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/(x(x + 1)) = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x - 3 = 0
সমীকরণের নিশ্চায়ক = (-5)² - 4.2.(-3)
= 25 + 24
= 49
= 7²
∴ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান

x + y > 16...........(1)
x - y > 2...............(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই,
2x > 18
∴ x > 9

প্রশ্ন: a + 1/a = 3 হলে, a² + 1/a² = ?

সমাধান:
a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2.a.(1/a)
= (a + 1/a)² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩৮। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৪২ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ৩৮
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৮ × ২)
= ৭৬ 

আবার, 
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৪২
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৪২ × ৩)
= ১২৬ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (১২৬ - ৭৬) 
= ৫০ 

প্রশ্ন: 'SCIENCE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

- 7 <2x +3<7
⇒ -10<2x<4
⇒ -5<x<2
∴নির্ণেয় সমাধান সেট S = {x∈R : -5<x<2}

প্রশ্ন: সিলেট শহরে মে মাসে ১৭ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ২৬ মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
 
সমাধান:
বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা = ১৭ দিন
মে মাসের মোট দিন সংখ্যা = ৩১ দিন

সুতরাং, ২৬ শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = মে মাসে বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা/মে মাসের মোট দিন সংখ্যা
= ১৭/৩১

অতএব, ২৬ শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ১৭/৩১

৫, ৩, ৭, ২, ৩, মোট অংক আছে যাদের মধ্যে ২টি ৩ এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

পাঁচ অংকের জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ অংকে ২ নির্দিষ্ট করতে হবে।
এক্ষেত্রে অবশিষ্ট অংকগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = ৪!/২!
= ১২

প্রশ্ন: log_x(1/32) = - 5/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/32) = - 5/2 [log_aM = c হলে, a^c = M]
বা, x^{- 5/2} = 1/32
বা, 1/(x^5/2) = 1/32
বা, x^5/2 = 32
বা, (x^1/2)⁵ = 32
বা, (√x)⁵ = 2⁵
বা, √x = 2
বা, x = 2² [বর্গ করে]
∴ x = 4

এখানে, n তম পদ = 45
সূত্রমতে,
সমষ্টি, S = {n(n+1)(2n+1)} / 6
= {45(45+1)(2×45 + 1)} / 6
= (45 × 46 × 91) / 6
= 31,395

প্রশ্ন: একটি বাসে মোট যাত্রী সংখ্যা ৮০ জন। স্পেশাল সিটের ভাড়া সাধারণ সিটের ভাড়ার ৩ গুণ। সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৪০০ টাকা হলে, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ স্পেশাল সিটের যাত্রী সংখ্যা = ৮০ - ক জন
সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ স্পেশাল সিটের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা
প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৮০ - ক) = ২৪০০
⇒ ২৫ক + ৬০০০ - ৭৫ক = ২৪০০
⇒ ৬০০০ - ৫০ক = ২৪০০
⇒ - ৫০ক = ২৪০০ - ৬০০০
⇒ - ৫০ক = - ৩৬০০
⇒ ৫০ক = ৩৬০০
⇒ ক = ৩৬০০/৫০
⇒ ক = ৭২
সুতরাং, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা হলো ৭২ জন।

প্রশ্ন: p² - 8p + 15 < 0 হলে, p এর মান হবে:

সমাধান:
p² - 8p + 15 < 0
⇒ p² - 5p - 3p + 15 < 0
⇒ p(p - 5) - 3(p - 5) < 0
⇒ (p - 5)(p - 3) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, p এর মান 3 ও 5 এর মাঝখানে হবে।

অর্থাৎ 3 < p < 5

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
বিজোড় সংখ্যা = {1, 3, 5}
দুই দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {3, 6}
∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {1, 3, 5, 6} = 4টি
∴ সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3

(x - 5) (a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5) (a + x) = (x - 5) (x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

Question: If (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y), then value of (x, y)?

Solution:
দেওয়া আছে
6x - y = 1 ......................(1)
3x + 2y = 13.................(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(1) ⇒
6x - y = 1
6 × 1 - y = 1
6 - y = 1
- y = 1 - 6
- y = - 5 
y = 5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)

প্রশ্ন: 25 জন সদস্যের একটি ক্লাব থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সহ-সভাপতি কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

 সমাধান:
প্রথমে 25 জন সদস্য থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায় = ²⁵C₁
= 25

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে 24 জন।
∴ 24 জন থেকে 1 জন সহ-সভাপতি নির্বাচন করা যায় = ²⁴C₁
= 24

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 25 × 24 = 600

২ টাকা × ৫০টাকা ÷ ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০০টাকা ÷ ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০০ টাকা

প্রশ্ন: log₃√12 + log₃√(3/4) = কত?

সমাধান:
log₃√12 + log₃√(3/4)
= log₃(12)^1/2 + log₃(3/4)^1/2
= (1/2) × log₃12 + (1/2) × log₃(3/4)
= (1/2) × {log₃12 + log₃(3/4)}
= (1/2) × log₃(12 × 3/4)
= (1/2) × log₃9
= (1/2) × log₃3²
= (1/2) × 2 log₃3
= log₃3
= 1

প্রশ্ন: 3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81 এর মান কত?

সমাধান:
3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81
= 3log₄4² + 2log₂2³ + 4log₃3⁴
= 6log₄4 + 6log₂2 + 16log₃3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= 6 + 6 + 16  [log_aa = 1]
= 28

প্রশ্ন: x - y = 6 এবং xy = 7 হলে, (x²  + y² ) (x³  - y³ ) এর মান কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
এবং xy = 7

১ম রাশি = x² + y²
= (x-y)²  + 2xy
= 6² + 2 × 7
= 36 + 14
= 50 

২য় রাশি =  x³  - y³
 = (x - y)³  + 3xy (x-y)
= (6)³  + 3 × 6 × 7
 = 216 + 126
= 342 

 ∴ (x²  + y²) (x³  - y³)
= 50 × 342
= 17100 

9x²+16y²
= (3x)² + 2.3x.4y + (4y)² - 24xy
= (3x+4y)² - 24xy
অর্থাৎ 24xy যোগ করতে হবে।

দেওয়া আছে, x + y = 18 এবং xy = 65
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy = 18² - 4 × 65 = 64
∴ x - y = 8

যেহেতু, একটি কালো রঙের মার্বেল মাঝখানে রাখতে হবে সেহেতু ৫টির মধ্যে ১টি স্থানে তা 5P₁ = 5 উপায়ে রাখা যাবে।
অবশিষ্ট (৩-১) বা ২ স্থানে (১১-১)বা ১০ টি 10P₂ = 90 উপায়ে সাজানো যাবে।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 5 x 90 = 450.

log₂¹²⁸
= log₂²⁷
= 7 log₂²
= 7 × 1 [log₂² = 1]
= 7

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 4} = 5^{3x + 9} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (25)^{2x + 4} = 5^{3x + 9}
⇒ (5²)^{2x + 4} = 5^{3x + 9}
 ⇒ 5^{4x + 8} = 5^{3x + 9}
 ⇒ 4x + 8 = 3x + 9
⇒ 4x - 3x = 9 - 8
∴ x = 1

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ২ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ২ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪ = ৭ টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১৫
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৪

∴ ২ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/১৫) × (৬/১৪)
= ১/৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - a² - 5a² + 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² - 5a + 6)
= (a - 1) (a² - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

∴ (a - 4), a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়।

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।