বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি (625)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(625)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ 5^{4(2x + 3)} = 5^{3x + 6}
⇒ 4(2x + 3) = 3x + 6
⇒ 8x + 12 = 3x + 6
⇒ 8x - 3x = 6 - 12
⇒ 5x = -6
∴ x = -6/5

১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = ৪/২ = ২
১০ তম পদ = ar^n-1
= 2 x 2^10-1
= 2 x 2⁹
= 2 x 512 = 1024

প্রশ্ন: log₁₀(x² - 8x + 17) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₁₀(x² - 8x + 17) = 0
⇒ x² - 8x + 17 = 10⁰
⇒ x² - 8x + 17 = 1
⇒ x² - 8x + 16 = 0
⇒ x² - 2 . x . 4 + 4² = 0
⇒ (x - 4)² = 0
⇒ x - 4 = 0
∴ x = 4

মোট সংখ্যা = 15
মৌলিক সংখ্যা = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
3 এর গুণিতিক সংখ্যা = {3, 6, 9, 12, 15}
মৌলিক এবং 3 এর গুণিতক সংখ্যা = {3} = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/15

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
⇒ 5^{2(2x + 3)} = 5^{3x + 6}
⇒ 2(2x + 3) = 3x + 6
⇒ 4x + 6 = 3x + 6
⇒ 4x - 3x = 6 - 6
⇒ x = 0

প্রশ্ন: 76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 39, 84, 73, 34, 75, 82, 67, 62 উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সর্বোচ্চ মান = 98
সর্বনিম্ন মান = 32

আমরা জানি, 
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1
= (98 - 32) + 1
= 66 + 1
= 67

সুতরাং, উপাত্তগুলোর পরিসর 67। 

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

সমষ্টি S = {n(n+1)/2}
= {19(19+1)/2}
= 190

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 2 হয় , তাহলে 2x² + 2y² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 2

∴ 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= {(x + y)² + (x - y)²}
= (10)² + (2)²
= 100 + 4 
= 104

a^-3 = 0.2 = 2/10 = 1/5 = 5^-1
বা, a³ = 5
বা, a⁹ = 5³
= 125

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3

ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7

প্রশ্ন: x² + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x² + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)² + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

প্রশ্ন: 

সমাধান:

এখানে ধরি, z = -2 < 0 (যেকোনো ঋণাত্মক মান হতে পারে)
তাহলে x = -2 ধরা যায়, যেহেতু xz > 0 (এটাও যেকোনো ঋণাত্মক মান হতে পারে)
তাহলে ধরি, y = 1, যেহেতু xy < 0 (যেহেতু x ঋনাত্মক, সেহেতু y অবশ্যই ধণাত্মক) 
সুতরাং y > 0 এবং x < 0

প্রশ্ন: log₃√54 + log₃√(3/2) = ?

সমাধান:
log₃√54 + log₃√(3/2)
= log₃√(54) × √(3/2) [log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)] 
​= log₃√(54 × 3/2)
= log₃√(162/2)
= log₃(√81)
= log₃(9)
= log₃(3²)
= 2 log₃3
​= 2 × 1
​= 2

প্রশ্ন: (√2)^{(x + 1)} = 16 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(√2)(x + 1) = 16
⇒ (2^1/2)^{(x + 1)} = 2⁴
⇒ (x + 1)/2 = 4
⇒ x + 1 = 8
⇒ x = 8 - 1
∴ x = 7

2x² - 5x + 3 < 0
বা, 2x² - 3x - 2x + 3 < 0
বা, x(2x-3) - 1(2x-3) < 0
বা, (2x-3)(x-1) < 0

সংখ্যারেখা থেকে পাই,
1 < x < 3/2

log₁₀0.01
= log₁₀1/100
= log₁₀1/10²
= log₁₀10^-2
= -2log₁₀10
= -2.1
= -2 

প্রশ্ন: (3x + y, 5) = (10, x + 2y) হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমিক জোড়ের সমতানুসারে পাই,
3x + y = 10 ...... (1)
x + 2y = 5 ...... (2)

{(1) নং × 2} - (2) নং ⇒
 ⇒ 6x + 2y - (x + 2y) = 20 - 5 
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ 3 + 2y = 5
⇒ 2y = 5 - 3
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় মান: x + y = 3 + 1
∴ x + y = 4

প্রশ্ন: যদি log⁡₂(x) + log⁡₂(x - 2) = 3 হয়, তবে x এর মান কত?  

সমাধান:
log⁡₂x + log⁡₂(x - 2) = 3
⇒ log⁡₂[x × (x - 2)] = 3 (লগের যোগের নিয়ম)
⇒ x(x - 2) = 2³
⇒ x(x - 2) = 8
⇒ x² - 2x = 8
⇒ x² - 2x - 8 = 0
⇒ x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0
⇒ x = 4 বা x = - 2

লগারিদমের জন্য x > 0, তাই x = - 2 বাতিল।
∴ x = 4

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 1 এর সমাধান -

সমাধান:
|1 - 2x| < 1
⇒ - 1 < 1 - 2x < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1
⇒ - 2 < - 2x < 0
⇒ 1 > x > 0
⇒ 0 < x < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: 0 < x < 1

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি S_n = (n/2)(4n + 2) হলে, প্রথম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,  
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]

এখন, 
n = 1 স্থাপন করলে, প্রথম পদ a হবে,
S₁ = a
= (1/2)(4 × 1 + 2)
= (1/2)(6)
= 3

∴ প্রথম পদ = 3

(³√5 × √2)⁶/³√512
= (5^1/3 × 2^1/2)⁶/³√8³
= (5² × 2³)/8
= (25 × 8)/8
= 25

প্রশ্ন: log_x(1296) = 4 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x(1296) = 4
বা, x⁴ = 1296
বা, x⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2
বা, x⁴ = 3⁴ × 2⁴
বা, x⁴ = (3 × 2)⁴
বা, x⁴ = (6)⁴
∴ x = 6

ধরি, ৯ তম ইনিংসের গড় x রান
৯ তম ইনিংসের মোট রান = ৯x
∴১০ তম ইনিংসের গড় = (১০০ + ৯x)/১০ রান
প্রশ্নমতে,
(১০০ + ৯x)/১০ = x + ৮
বা, ১০x + ৮০ = ১০০ + ৯x
বা, x = ২০
৯ তম ইনিংসের গড় ২০ রান
∴খেলোয়াড়ের নতুন গড় (২০ + ৮) = ২৮ রান

ধারার প্রথম পদ, a = 8.
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 9
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S =n/2 {2a + (n – 1)d}
S =9/2 {2.8 + (9 - 1)8} [n = 9 বসিয়ে]
= 9/2 {16+ 64}
= 9/2 × 80
= 360
ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়,যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ 7 টি, R দুইটি, A দুইটি, তাহলে মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 1260
.
R দুইটিকে একটি বর্ণ ধরে মোট বর্ণ হয় 6 টি যাতে A দুইটি এবং R দুইটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2!/2! ,
তাহলে R দুইটিকে পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হয় = (6!/2!) × (2!/2!) = 360.

∴ ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানো যায়, যখন R দুইটি পাশাপাশি থাকবে না = 1260 - 360 = 900 প্রকারে।

প্রশ্ন: a - [a - (b + 2)]=?

সমাধান:
a - [a - (b + 2)]
= a - (a - b - 2)
= a - a + b + 2
= b + 2

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যেখানে, ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন, 
2x + 3y + 4 = 0 
বা, 3y = - 2x - 4 
বা, y = (- 2/3)x - 4/3 
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = - 2/3 

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = - 2/3   । 

প্রশ্ন: 9x² - (2x - 3y)² = কত? 

সমাধান: 
9x² - (2x - 3y)² 
= (3x)² - (2x - 3y)² 
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y) (x + 3y)

প্রশ্ন: |x - 5| ≤ 12 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x - 5| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ x - 5 ≤ 12
⇒ - 12 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 12 + 5
⇒ - 7 ≤ x ≤ 17

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 17