বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১১৬ / ২০১ · ১১,৫০১–১১,৬০০ / ২০,২০৭

১১,৫০১.

সেট A = {x ∈N : x² > 8, x³ < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x² > 8, x³ < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

১১,৫০২.

৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + . . . ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

ক
১২০০
খ
১১৮০
গ
১২৭৫
ঘ
১৩৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + . . . ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ৩ = ৪
পদের সংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/২)[২a + (n - ১)d]
∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি = S_২৫ = (২৫/২)[২(৩) + (২৫ - ১)৪]
= (২৫/২)[৬ + (২৪)৪]
= (২৫/২)(৬ + ৯৬)
= (২৫/২) × ১০২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল ১২৭৫।

১১,৫০৩.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৬০ ও ৩৮
খ
৭০ ও ২৮
গ
৭৫ ও ২৩
ঘ
৮০ ও ১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ৯৮
বা, (৫ক + ২ক)/৫ = ৯৮
বা, ৭ক/৫ = ৯৮
বা, ৭ক = ৯৮ × ৫
বা, ক = (৯৮ × ৫)/৭
বা, ক = ৭০

অতএব, একটি সংখ্যা = ৭০
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৭০)/৫ = ২৮

১১,৫০৪.

0, 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলি প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে ছয় অংকের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
600
খ
720
গ
120
ঘ
300

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলি প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে ছয় অংকের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

0 কে প্রথমে রেখে বাকি অংকগুলোর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (720 - 120)
= 600

১১,৫০৫.

একটি পাত্রে ২টি সাদা ও ৩টি কালো বল ও অপর পাত্রে ৩টি সাদা এবং ৪টি কালো বল আছে। পাত্র দুইটি হতে একটি বল উঠানো হলে বল গুলো একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১৪/৩৫
খ
খ) ১৭/৩৫
গ
গ) ১৮/৩৫
ঘ
ঘ) ১৬/৩৫

ব্যাখ্যা

১ম পাত্রে মোট বল = ২ + ৩ = ৫টি
২য় পাত্রে মোট বল = ৩ + ৪ = ৭টি

বল গুলো একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫) × (৩/৭) + (৩/৫) × (৪/৭)
= (৬/৩৫) + (১২/৩৫)
= (৬ + ১২)/৩৫
= ১৮/৩৫

১১,৫০৬.

7^{(x + 3)} = 49^{(3x - 4)} হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 7/5
খ
খ) 11/5
গ
গ) 5/11
ঘ
ঘ) 5/7

ব্যাখ্যা

7^{(x + 3)} = 49^{(3x - 4)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
7^{(x + 3)} = 49^{(3x - 4)}
7^{(x + 3)} = (7²)^{(3x - 4)}
7^{x + 3} = 7^{6x - 8}
x + 3 = 6x - 8
6x- 8 = x + 3
6x - x = 3 + 8
5x = 11
x = 11/5

১১,৫০৭.

৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন পুরুষ থাকবে?

ক
৫৬৪
খ
৬৪৫
গ
৭৩৫
ঘ
৭৫৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন পুরুষ থাকবে?

সমাধান:
পুরুষ মহিলা
৩ ২
৪ ১
৫ ০

মোট কমিটি গঠনের উপায়

১১,৫০৮.

7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

ক
360
খ
720
গ
180
ঘ
210

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6!/2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 720/2
= 360

১১,৫০৯.

1 থেকে 20 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নির্বাচন করা হলো। সংখ্যাটি 3 এর গুণিতক এবং মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
3/5
খ
1/2
গ
13/20
ঘ
1/20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 20 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নির্বাচন করা হলো। সংখ্যাটি 3 এর গুণিতক এবং মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 20 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

আবার,
3 এর গুণিতক 1 থেকে 20 এর মধ্যে,
3, 6, 9, 12, 15, 18

শুধুমাত্র 3 সংখ্যাটিই একই সাথে 3-এর গুণিতক এবং মৌলিক।

সুতরাং, অনুকূল ফলাফল = 1টি
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 20টি

∴ সম্ভাবনা = 1/20

১১,৫১০.

যদি (১৭/১০)y = ০.৫১ হয়, তাহলে y = ?

ক
ক) ০.৩
খ
খ) ১.৩
গ
গ) ১.২
ঘ
ঘ) ৩
ঙ
ঙ) ০.০৩

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, (১৭/১০)y = ০.৫১
বা, y = (০.৫১ × ১০)/১৭ = ০.৩

১১,৫১১.

ক
12
খ
15
গ
8/15
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১১,৫১২.

2 + 4 + 6 + 8 + ........... + 120 = ?

ক
3660
খ
3560
গ
3666
ঘ
3656

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 + ........... + 120 = ?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = 120
2 + ( n - 1 )2 =120
2 + 2n - 2 = 120
2n =120
n = 120/2
∴ n = 60

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি, S_n = n/2 × {2a + ( n - 1 )d}
60 তম পদের সমষ্টি,S₆₀
= 60/2 × ( 2.2 + 59.2)
= 30 × ( 4 + 118)
= 30 × 122
= 3660

১১,৫১৩.

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ১/২
গ
গ) ১/৪
ঘ
ঘ) ৩/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ছক্কায় সংখ্যা থাকে = ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬
এখানে,
তিন দ্বারা বিভাজিত সংখ্যা হলো = ৩ ও ৬

∴ তিন দ্বারা বিভাজিত সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা = ২/৬
= ১/৩

১১,৫১৪.

ক
1/3
খ
2/5
গ
3/2
ঘ
4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
সমাধান:

১১,৫১৫.

x + y + z = 0 হলে (1/3)(x³ + y³ + z³) এর মান কত?

ক
ক) 3xyz
খ
খ) xyz/3
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) xyz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + z = 0 হলে (1/3)(x³ + y³ + z³) এর মান কত?

সমাধান:
x + y + z = 0

এখন,
(1/3) (x³ + y³ + z³)
= (1/3) (x³ + y³ + z³ - 3xyz + 3xyz)
= (1/3) (x³ + y³ + z³ - 3xyz) + (1/3) × 3xyz
= (1/3) {(x + y + z) (x² + y² + z² - xy - yz - zx)} + xyz
= 1/3 {0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)} + xyz
= xyz

∴ (1/3) (x³ + y³ + z³) = xyz

১১,৫১৬.

128 + 64 + 32 + .….......... গুণোত্তর ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

এখানে,
প্রথম পদ a = 128
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
পদসংখ্যা = 8
নবম পদ= ar^{8 - 1} = 128 (1/2)⁷
= 128 (1/128)
= 1

১১,৫১৭.

একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 27/8 এবং ৫ম পদ 1। সাধারণ অনুপাত কত?

ক
3/2
খ
2/3
গ
- 1/2
ঘ
3/4
ঙ
- 5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 27/8 এবং ৫ম পদ 1। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a.r^{n - 1}

দেয়া আছে,
2য় পদ, a₂ = 27/8
⇒ ar = 27/8 …...(1)

5ম পদ, a₅ = 1
⇒ a.r⁴ = 1 …....(2)

এখন, সমীকরণ (2) ÷ সমীকরণ (1) ⇒
(ar⁴)/(ar) = 1/(27/8)
⇒ r³ = 8/27
⇒ r³ = (2/3)³
⇒ r = 2/3

∴ সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2/3

১১,৫১৮.

p + q = 12 এবং pq = 27 হলে p² + q² = কত?

ক
98
খ
90
গ
64
ঘ
81

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, p + q = 12 এবং pq = 27
এখন, p² + q²
= (p + q)² - 2 pq
= 12² - 2 × 27
= 144 - 54
= 90

১১,৫১৯.

একটি কলমের দাম ১০ টাকা এবং ১০টি খামের দাম ৩ টাকা। ৩টি কলম ও ১০টি খামের দাম কত হবে?

ক
৩৩
খ
৩৬
গ
৩৯
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম ১০ টাকা এবং ১০টি খামের দাম ৩ টাকা। ৩টি কলম ও ১০টি খামের দাম কত হবে?

সমাধান:
১টি কলমের দাম ১০ টাকা
৩টি কলমের দাম ১০ × ৩ টাকা
= ৩০ টাকা

৩টি কলম ও ১০টি খামের দাম = (৩০ + ৩) টাকা
= ৩৩ টাকা

১১,৫২০.

9 জনের একটি দল নৌকা ভ্রমণ করবে, একটি নৌকায় 7 জনের বেশী এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশী ধরে না। দলটি কত উপায়ে ভ্রমণ করতে পারবে?

ক
ক) 276
খ
খ) 246
গ
গ) 234
ঘ
ঘ) 212

ব্যাখ্যা

সুতরাং দলটি ভ্রমণ করতে পারবে ⁹C₂ + ⁹C₃ + ⁹C₄ = 246 উপায়ে

১১,৫২১.

3 - 6 + 12 - 24 + ........ ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
- 513
খ
1024
গ
- 975
ঘ
- 1023

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 + ........ ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এতী একটি গুণোত্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ 10টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)¹⁰}/{1 - (- 2)}
= 3(1 - 1024)/(1 + 2)
= 3 × (- 1023)/3
= - 1023

অতএব, প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি = - 1023

১১,৫২২.

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 6 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 54
খ
খ) 32
গ
গ) 64
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

সেটের উপাদান সংখ্যা n = 6
পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶ = 64

১১,৫২৩.

ভেনচিত্র অনুসারে A∩B∩C = ?

ক
ক) {2, 3, 4}
খ
খ) {4}
গ
গ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ঘ
ঘ) ∅

ব্যাখ্যা

A, B, C বৃত্তের সাধারণ (Common) অংশ হলে A∩B∩C
∴ A∩B∩C = {4}

১১,৫২৪.

6x² - 7x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি-

ক
ক) (6x - 1)
খ
খ) (6x + 1)
গ
গ) (5x - 1)
ঘ
ঘ) (7x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি-

সমাধান:
6x² - 7x + 1
= 6x² - 6x - x + 1
= 6x(x - 1) - 1(x - 1)
= (x - 1)(6x - 1)

১১,৫২৫.

একটি গুণোত্তর ধারার ৫ম পদ = 40 এবং ষষ্ঠ পদ = 80 হলে, ১ম পদ কত?

ক
ক) 2.4
খ
খ) 2.2
গ
গ) 2.5
ঘ
ঘ) 2.8

ব্যাখ্যা

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = r,
∴ ৫ম পদ = ar4 = 40 ..... (1)
ষষ্ঠ পদ = ar5 = 80 ...... (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
⇒ r = 2

এখন,
(1) নং থেকে পাই,
a.2⁴ = 40
বা, 16a = 40
∴ a = 2.5

১১,৫২৬.

সেট A = {x ∈ N : x² > 8, x³ < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x2 > 8, x3 < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

১১,৫২৭.

2x² - 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি -

ক
ক) বাস্তব ও সমান
খ
খ) মূলদ ও অসমান
গ
গ) অমূলদ ও অসমান
ঘ
ঘ) অবাস্তব ও সমান

ব্যাখ্যা

নিশ্চায়ক = b² - 4ac = (-5)² + 4.2.(-3) = 25 + 24 = 7² যা পূর্ন বর্গ সংখ্যা
∴ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান।

১১,৫২৮.

কোনো একটি অংক X এবং Y করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ০.৫ এবং ০.৩। অংকটি সমাধান হবার সম্ভাবনা কত?

ক
০.৬৫
খ
০.৭০
গ
০.৫৫
ঘ
০.৬৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি অংক X এবং Y করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ০.৫ এবং ০.৩। অংকটি সমাধান হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
X পারার সম্ভাবনা ০.৫
X না পারার সম্ভাবনা ১ - ০.৫ = ০.৫

Y পারার সম্ভাবনা ০.৩
Y না পারার সম্ভাবনা ১ - ০.৩ = ০.৭

∴ X এবং Y উভয়েই না পারার সম্ভাবনা = ০.৫ × ০.৭ = ০.৩৫

∴ X এবং Y এর পারার সম্ভাবনা = ১ - ০.৩৫ = ০.৬৫

১১,৫২৯.

এর মান কত?

ক
5
খ
4
গ
8/125
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

১১,৫৩০.

64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂64
= log₂2⁶
= 6 × log₂2
= 6 × 1
= 6

১১,৫৩১.

a⁴ - 64 এর একটি উৎপাদক নির্ণয় করুন-

ক
(a + 2√2)
খ
(a + 4)
গ
(a + √2)
ঘ
(a - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ - 64 এর একটি উৎপাদক নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴- 64
= (a²)² - 8²
= (a² + 8)(a² - 8) ; [a² - b² = (a + b)(a - b)]
= (a² + 8){a² - (2√2)²}
= (a² + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

সুতরাং, a⁴ - 64 = (a² + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

১১,৫৩২.

x + y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x - y)²এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)² এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 7
xy = 10

এখন
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
বা, (x - y)² =7² - 4 × 10
বা, (x - y)² =49 - 40
∴ (x - y)² = 9

১১,৫৩৩.

B = {x : x, 28 এর গুণনীয়ক} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ হবে-

ক
{1, 2, 4, 7, 14}
খ
{2, 4, 7, 14}
গ
{1, 2, 4, 7, 14, 28}
ঘ
{ }

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {x : x, 28 এর গুণনীয়ক} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ হবে-

সমাধান:
এখানে, 28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7
∴ 28 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 7, 14, 28
নির্ণেয় সেট B = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

১১,৫৩৪.

6 + 36 + 216 + …….. ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

ক
1254
খ
1265
গ
1280
ঘ
1296

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 36 + 216 + …….. ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
উল্লিখিত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা
সাধারণ অনুপাত, d = (36/6) = 6

সুতরাং,
ধারাটির ১ম পদ = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 · 6 = 36
ধারাটির ৩য় পদ = 36 · 6 = 216
ধারাটির ৪র্থ পদ = 216 · 6 = 1296

১১,৫৩৫.

একটিকে ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাবার সম্ভাবনা কত?

ক
1/2
খ
4/3
গ
1/3
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটিকে ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় মোট সংখ্যা আছে = 6টি
ছক্কায় 2 থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = (3, 4, 5, 6)
= 4টি
∴ 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/6
= 2/3

∴ 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (2/3)}
= 1/3

১১,৫৩৬.

কোন দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুনফল কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুনফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি মূল = a
তাহলে অপর মূলটি হবে = 1/a

∴ মূলদ্বয়ের গুনফল = a × (1/a) = 1

১১,৫৩৭.

a + 3/a = 4 হলে a³ + 27/a³ এর মান কত?

ক
100
খ
91
গ
76
ঘ
28

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 3/a = 4 হলে a³ + 27/a³ এর মান কত?

সমাধান:
a³ + 27/a³
= (a)³ + (3/a)³
= (a + 3/a)³ - 3.a.(3/a).(a + 3/a)
= (4)³ - 3 × 3 × 4
= 64 - 36
= 28

১১,৫৩৮.

তিনটি সংখ্যার যোগফল ১৩২ । ১ম সংখ্যাটি ২য় সংখ্যার দ্বিগুণ এবং ৩য় সংখ্যা ১ম সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ। ২য় সংখাটি কত?

ক
৩২
খ
৩৬
গ
৪৮
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার যোগফল ১৩২ । ১ম সংখ্যাটি ২য় সংখ্যার দ্বিগুণ এবং ৩য় সংখ্যা ১ম সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ। ২য় সংখাটি কত?

সমাধান:
২য় সংখ্যা x
১ম সংখ্যা 2x
৩য় সংখ্যা 2x/3

প্রশ্নমতে,
x + 2x + (2x/3) = 132
⇒ (3x + 6x + 2x)/3 = 132
⇒ 11x = 396
∴ x = 396/11 = 36

১১,৫৩৯.

যদি (a/b)^x-3 = (b/a)^x-5 হয় তবে x এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
or, x - 3 = 5 - x
or, x + x = 3 + 5
or, x = 4

১১,৫৪০.

x² + y² = 185, x - y = 3 হলে x ও y এর মান কত?

ক
ক) (7, 4)
খ
খ) (9, 6)
গ
গ) (10, 7)
ঘ
ঘ) (11, 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + y² = 185 , x - y = 3 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + y² = 185 ......... (i)
এবং
x - y = 3 ........... (ii)

(i) কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,
2x² + 2y² = 370
⇒ 2(x²+ y²) = 370
⇒ (x + y)² + (x - y)² = 370
⇒ (x + y)² + 9 = 370
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
⇒ (x + y)2 = 19²
∴ x + y = 19 ......... (iii)

(ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
2x = 22
∴ x = 11

(iii) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
2y = 16
∴ y = 8

∴ (x, y) = (11, 8)

১১,৫৪১.

১, ৪, ১৩, ৪০, ........... ধারাটির পরবর্তী পদ কত?

ক
ক) ৬৩
খ
খ) ৫৬
গ
গ) ১২১
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১, ৪, ১৩, ৪০, ........... ধারাটির পরবর্তী পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ = ১
২য় পদ = ১ + ৩ = ৪
৩য় পদ = ৪ + ৩ × ৩ = ১৩
৪র্থ পদ = ১৩ + ৯ × ৩ = ৪০
৫ম পদ = ৪০ + ২৭ × ৩ = ১২১

১১,৫৪২.

30, 12, 22, 17, 27, 25, 20, 24, 19, 2, 23, 32, 26, 29, 35, 21, 11, 28 এবং 19 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
ক) 25
খ
খ) 22
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 23

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30, 12, 22, 17, 27, 25, 20, 24, 19, 2, 23, 32, 26, 29, 35, 21, 11, 28 এবং 19 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
2, 11, 12, 17, 19, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 35

এখানে,
পদসংখ্যা = 19
∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে ১০ম পদ
∴ ১০ম পদ = 23

∴ মধ্যক = 23

১১,৫৪৩.

একটি সংখ্যার 5গুণের সাথে তার বর্গ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত বিয়োগফলের সাথে - 6 যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 1 অথবা 2
খ
খ) 2 অথবা 3
গ
গ) 3 অথবা 4
ঘ
ঘ) 4 অথবা 5

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(5x - x²) + (- 6) = 0
5x - x² - 6 = 0
- (x² - 5x + 6) = 0
x² - 5x + 6 = 0
x² - 2x - 3x + 6 = 0
x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

হয় অথবা
x - 2 = 0 x - 3 = 0
x = 2 x = 3

১১,৫৪৪.

(1000)^x/6= 10 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
2
ঘ
5

ব্যাখ্যা

(1000)^x/6 = 10
বা, (10³)^x/6 = 10¹

বা, x/2 = 1
∴ x =2

১১,৫৪৫.

24 + 5x - x² এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) 3 + x
খ
খ) 3 - x
গ
গ) x - 8
ঘ
ঘ) x + 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 + 5x - x² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
24 + 5x - x²
= 24 + 8x - 3x - x²
= 8(3 + x) - x(3 + x)
= (3 + x)(8 - x)

১১,৫৪৬.

x² + 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
(x + 5)
খ
(x + 1)
গ
(x + 2)
ঘ
(x - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²+ 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x² + 3x - 10
= x² + 5x - 2x - 10
= x(x + 5) - 2(x + 5)
= (x + 5)(x - 2)

১১,৫৪৭.

cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) ∞

ব্যাখ্যা

cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ
= cos(5 × π/2)
= cos(2π + π/2)
= cos(π/2)
= cos90°
= 0
-----------------------------------
সংক্ষেপে,
cos(nπ/2) অনুক্রমটির বিজোড় পদ = 0 [ n বিজোড় হলে ]
অতএব, cos(nπ/2) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ = 0

১১,৫৪৮.

।1 - 2x। < 1 এর সমাধান হলো-

ক
ক) - 1 < x < 1
খ
খ) 0 < x < 2
গ
গ) 0 < x < 1
ঘ
ঘ) - 2 < x < 2

ব্যাখ্যা

।1 - 2x। < 1
- 1 < 1 - 2x < 1
- 1 - 1< 1 - 2x - 1 < 1 - 1
- 2 < - 2x < 0
- 2/2 < - 2x/2 < 0/2
- 1 < - x < 0
- 1 ( - 1)> - x ( - 1) > 0( - 1)
1 > x > 0
0 < x < 1

১১,৫৪৯.

যদি P(C) = 5/13, P(D) = 7/13 এবং P(C ∩ D) = 3/13 হয়, তাহলে P(C|D) এর মান নির্ণয় করুন।

ক
2/7
খ
3/5
গ
3/7
ঘ
1/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(C) = 5/13, P(D) = 7/13 এবং P(C ∩ D) = 3/13 হয়, তাহলে P(C|D) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি,
P(C|D) = P(C ∩ D)/P(D). (শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রানুসারে)

P(C|D) = P(C ∩ D)/P(D)
= (3/13)/(7/13)
= 3/7

১১,৫৫০.

x - (1/x) = 2 হলে x⁴ + (1/x⁴) = কত?

ক
ক) 32
খ
খ) 30
গ
গ) 36
ঘ
ঘ) 34

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - (1/x) = 2 হলে x⁴ + (1/x⁴) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 2

এখন,
x⁴ + (1/x⁴)
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2. x². 1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x }² - 2
= {(2)² + 2}²- 2
= (4 + 2)² - 2
= (6)² - 2
= 36 - 2
= 34

১১,৫৫১.

x - 1/x = 5 হলে, x² + 1/x² = ?

ক
23
খ
27
গ
22
ঘ
21

ব্যাখ্যা

x - 1/x = 5
সুতরাং x² + 1/x² = (x - 1/x)²+ 2.x.1/x
= 5² + 2
= 27

১১,৫৫২.

x/2 + y/3 = 2 এবং x/3 - y/2 = 1 হলে (x, y) = ?

ক
ক) 48/13, -(6/13)
খ
খ) 48/13, 6/13
গ
গ) 13/48, 13/6
ঘ
ঘ) -(48/13), 6/13

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণ,
x/2 + y/3 = 2
বা, (3x + 2y)/6 = 2
∴ 3x + 2y = 12.......(1)
আবার, x/3 - y/2 = 1
বা, (2x - 3y)/6 = 1
∴ 2x - 3y = 6........(2)
(1) নং × 3 + (2) নং × 2 দ্বারা পাই,
13x = 48
∴ x = 48/13
(1) নং × 2 - (2) নং × 3 দ্বারা পাই,
13y = 6
∴ y = 6/13

১১,৫৫৩.

7 + 14 + 28 + 56 + .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 889 হলে, n এর মান কত?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 889 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 14/7 = 2 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 889
⇒ 7{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 889
⇒ 7 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 889
⇒ 2ⁿ - 1 = 889/7
⇒ 2ⁿ = 127 + 1
⇒ 2ⁿ = 128
⇒ 2ⁿ = 2⁷
∴ n = 7

১১,৫৫৪.

ক
2
খ
- 2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১১,৫৫৫.

100 জন শিক্ষার্থীর একটি শ্রেণিতে পদার্থবিদ্যায় 55 জন এবং গণিতে 67 জন শিক্ষার্থী পাস করেছে। পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

ক
ক) 33
খ
খ) 22
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 44

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর একটি শ্রেণিতে পদার্থবিদ্যায় 55 জন এবং গণিতে 67 জন শিক্ষার্থী পাস করেছে। পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী n(P∪M)=100
পদার্থবিদ্যায় পাস করেছে n(P)= 55 জন
গণিতে পাস করেছে n(M)= 67 জন
পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করেছে n (P ∩ M) = ?
আমরা জানি
n(P ∪ M) = n(P) + n(M) - n(P∩M)
100 = 55 + 67 - n(P∩M)
n(P∩M) = 122 - 100
n(P ∩ M) = 22

১১,৫৫৬.

একটি ধারা নিম্নরূপ: 1 + 5 + 9 + 13 + ................. এই ধারার n তম পদ কত?

ক
4n - 4
খ
4n - 3
গ
4n + 4
ঘ
4n + 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারা নিম্নরূপ: 1 + 5 + 9 + 13 + ................. এই ধারার n তম পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1, 5, 9, 13, .............
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ n তম পদ = 1 + (n - 1)4
= 1 + 4n - 4
= 4n - 3

∴ ধারাটির n তম পদ = 4n - 3

১১,৫৫৭.

5,9,13,17........ অনুক্রমটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
423
খ
462
গ
560
ঘ
629

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5,9,13,17........ অনুক্রমটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর অনুক্রমের n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

∴ প্রদত্ত অনুক্রমটির 16 টি পদের সমষ্টি = (16/2){(2 × 5) + (16 - 1)4}
= 8 × {10 + (15 × 4)}
= 8 × (10 + 60)
= 8 × 70
= 560

১১,৫৫৮.

x = 7 - 4√3 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 198
খ
খ) 194
গ
গ) 188
ঘ
ঘ) 154

ব্যাখ্যা

x = 7 - 4√3
∴ 1/x
= 1/(7 – 4√3)
= (7 + 4√3) / (7 – 4√3)( 7 + 4√3)
= (7 + 4√3)/(49 - 48)
= (7 + 4√3)

∴ x + 1/x
= 7 – 4√3 + 7 + 4√3
= 14

x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= 14² - 2
= 196 - 2
= 194

১১,৫৫৯.

2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49 এর মান কত?

ক
24
খ
18
গ
27
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂32 + 4log₇49
=2log₅(5²) + 3log₂(2⁵) + 4log₇(7²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 5log₂2 + 4 × 2log₇7 [log_a(M)ⁿ = n.log_aM]
= 4 + 15 + 8 [log_aa = 1]
= 27

১১,৫৬০.

যদি (a - b)² = 16 এবং ab = 3 হয়, তবে a² + b² = কত?

ক
18
খ
28
গ
22
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a - b)² = 16 এবং ab = 3 হয়, তবে a² + b² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a - b)² = 16 এবং ab = 3

আমরা জানি,
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 16 + (2 × 3)
= 16 + 6
∴ a² + b² = 22

১১,৫৬১.

১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

ক
ক) ১২২৫
খ
খ) ১২৫৫
গ
গ) ১২৬৫
ঘ
ঘ) ১২৭৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ + ২ + ৩ +...... + n = n(n + 1)/2

∴ ১ + ২ + ৩ +...... + ৫০ = ৫০(৫০ + ১)/২
= ৫০ × ৫১/২
= ১২৭৫

১১,৫৬২.

R = {x, y, z} হলে R এর উপসেট সংখ্যা কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 7
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: R = {x, y, z} হলে R এর উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2^n-1এবং উপসেট = 2ⁿ
R এর উপাদান সংখ্যা n = 3
R এর উপসেট = 2³ = 8

১১,৫৬৩.

x^{4 -} 1

এবং

এর গ.সা.গু কত?

ক
1
খ
(x - 1)
গ
(x + 1)
ঘ
x²- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^{4 -} 1

এবং

এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,

x^{4 -} 1

= (x²)² - 1²
= (x² - 1)(x² + 1)
= (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

২য় রাশি,
x² - 1
= (x - 1)(x + 1)

৩য় রাশি,

= (x - 1)(x² + x + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)

১১,৫৬৪.

3 + 4 + 5 + 6 +................. এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

ক
12
খ
18
গ
7
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 4 + 5 + 6 +................. এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান:
3 + 4 + 5 + 6 +.................এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম তিনটি পদের যোগফল।
= 3 + 4 + 5
= 12

১১,৫৬৫.

4 + 16 + q + 256 + ......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে q এর মান কত?

ক
64
খ
128
গ
42
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 16+ q + 256 + ......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে q এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 16/4 = 4
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, q = ar²= 4 × 4²
= 4 × 16
= 64

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, q = 64

১১,৫৬৬.

x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
ক) (- 1, 1)
খ
খ) (- 1/2, 1)
গ
গ) (1, 1)
ঘ
ঘ) (- 1/2, 1/2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
প্রদত্ত রেখাদ্বয়,
x + y = 0 .................. (1)
2x - y + 3 = 0 .................. (2)

(1) + (2) হতে পাই,
x + y = 0
2x - y + 3 = 0
3x + 3 = 0
⇒ 3x = - 3
⇒ x = - 3/3
∴ x = - 1

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
- 1 + y = 0
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (- 1, 1)

১১,৫৬৭.

দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুণফল ১২ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১৮
খ
২/৩
গ
১/৬
ঘ
১/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুণফল ১২ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপে মোট ঘটনা = ৬^২ = ৩৬ টি
দুটির সংখ্যার গুণফল ১২ হওয়ার অনুকূল ঘটনা = (২,৬) ও (৬,২), (৩, ৪), (৪, ৩) = ৪ টি

∴ সম্ভাবনা = ৪/৩৬= ১/৯

১১,৫৬৮.

একটি কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে। প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। তারা একে অপরকে মোট কতটি শুভেচ্ছা কার্ড পাঠিয়েছে?

ক
৮৯০টি
খ
৯৯০টি
গ
১৯৮০টি
ঘ
২৯৭০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে। প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। তারা একে অপরকে মোট কতটি শুভেচ্ছা কার্ড পাঠিয়েছে?

সমাধান:
কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে।
প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। অর্থাৎ, নিজেকে বাদে বাকি ৫৪ জনকে পাঠায়।
∴ প্রত্যেক সদস্য ৫৪টি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়।

∴ মোট শুভেচ্ছা কার্ড = ৫৫ × ৫৪ = ২৯৭০টি

১১,৫৬৯.

A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা কতটি?

ক
ক) 3টি
খ
খ) 6টি
গ
গ) 8টি
ঘ
ঘ) 11টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
={1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা ৮টি

১১,৫৭০.

(x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = 3

∴ (x²/y²) + (y²/x²)
= (x/y)² + (y/x)²
= {(x/y) + (y/x)}² - 2. x/y. y/x
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

১১,৫৭১.

x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
(x - y + 1)
খ
(x - y - 1)
গ
(x + y - 1)
ঘ
(x + 2y + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1)(x - y -1)

১১,৫৭২.

কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
342
খ
362
গ
412
ঘ
448

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 18টি পদের সমষ্টি = 18(18 + 1)
= 18 × 19
= 342

১১,৫৭৩.

P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} হলে P ∩ Q = কত?

ক
{1, 2, 4}
খ
{4, 6, 9}
গ
{3, 6, 12}
ঘ
{3, 6, 9, 12}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} হলে P ∩ Q = কত?

সমাধান:
এখানে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
12 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12}
3 এর গুনিতক 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

∴ P ∩ Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ∩ {3, 6, 9, 12}
= {3, 6, 12} ।

১১,৫৭৪.

যদি f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

ক
19
খ
24
গ
28
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6

এখন,
f(- 2) = (- 2)³ + 9(- 2)² - 3. (- 2) -6
= - 8 + 36 + 6 - 6
= 28

১১,৫৭৫.

a³ + 2a² - 5a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(a - 1)(a + 3)(a - 3)
খ
(a + 1)(a + 3)(a - 2)
গ
(a + 1)(a - 3)(a + 3)
ঘ
(a + 1)(a - 3)(a + 2)

ব্যাখ্যা

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ + 2a² − 5a − 6
a = -1 বসিয়ে পাই,
f(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0
∴ (a + 1) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

a³ + 2a² - 5a - 6
= a³ + a² + a² + a - 6a - 6
= a²(a + 1) + a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² + a - 6)
= (a + 1)(a² + 3a - 2a - 6)
= (a + 1){a(a + 3) - 2(a + 3)}
= (a + 1)(a + 3)(a - 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 3)(a - 2)

১১,৫৭৬.

নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
10, 39, 71, 42, 39, 76, 38, 25

ক
42.5
খ
39
গ
42
ঘ
35.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
10, 39, 71, 42, 39, 76, 38, 25

সমাধান:
সংখ্যাগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
10, 25, 38, 39, 39, 42, 71, 76
মোট উপাত্ত আছে ৮টি যা জোড় সংখ্যক

∴ মধ্যক = {(৮/২) তম পদ + (৮/২ + ১) তম পদ}/২
= (৪ তম পদ + ৫ তম পদ)/২
= (৩৯ + ৩৯)/২
= ৩৯

১১,৫৭৭.

KABUL শব্দের অক্ষরগুলো থেকে প্রতিবার 3টি অক্ষর কত উপায়ে বাছাই করা যায়, যেখানে সর্বদা A থাকে?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

মোট 5টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে সর্বদা A নিয়ে 3টি অক্ষর বাছাই করার উপায়
= ^{(5 - 1)}C_{(3 - 1)}
= ⁴C₂
= 6

১১,৫৭৮.

40 এবং 80 সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

ক
10.5
খ
20
গ
40
ঘ
60

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 40 এবং 80 সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
সূত্র: গড় ব্যবধান (Mean Deviation) = (Σ|x - x̄|)/n

এখানে, x হলো উপাত্তের মান, x̄ হলো গাণিতিক গড় এবং n হলো মোট উপাত্তের সংখ্যা।

40 এবং 80 এর গড় = (40 + 80)/2 = 60

∴ গড় ব্যবধান = (|40 - 60| + |80 - 60|)/2
= (20 + 20)/2
= 40/2
= 20

১১,৫৭৯.

a + b = 4, a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

ক
8
খ
3
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 4, a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 4
a - b = 2

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = 4² - 2²
বা, 4ab = 16 - 4
বা, 4ab = 12
∴ ab = 3

১১,৫৮০.

3^x/3^x−1 এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

3^x/3^x−1
=3^x-x+1
=3¹
=3

১১,৫৮১.

3a² + 9a - 120 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
a - 12
খ
a - 7
গ
a - 8
ঘ
a - 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a² + 9a - 120 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
3a² + 9a - 120
= 3(a² + 3a - 40)
= 3(a² + 8a - 5a - 40)
= 3{a(a + 8) - 5(a + 8)}
= 3(a + 8)(a - 5)

১১,৫৮২.

একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

ক
ক) 32
খ
খ) 64
গ
গ) 128
ঘ
ঘ) 256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি
লাল বল = 4টি

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি = ³C₃

মোট উপায় = (³C₁× ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃)
= (45 + 18 + 1)
= 64

১১,৫৮৩.

একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত 2 : 3 : 4 । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) 7/9
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত 2 : 3 : 4 । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 : 4
∴ লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাতগুলোর যোগফল = (2 + 3 + 4)
= 9

বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/9 = 1/3
∴ বলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/3)
= (3 - 1)/3
= 2/3

∴ লাল বল না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/3

১১,৫৮৪.

x+y = 2, x³ + y³ = 8 হলে x² + y² = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

x³ + y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y)
বা, 8 = 2³ - 3xy(2)
বা, -6xy = 0
∴ xy = 0
∴ x² + y² = (x+y)² - 2xy
= 2² - 2.0 = 4

১১,৫৮৫.

কোন সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11, দ্বিতীয় পদ 19 হলে 19 তম পদ কত?

ক
ক) 155
খ
খ) 148
গ
গ) 90
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 11
২য় পদ 19
সাধারণ অন্তর d = 19-11=8
19 তম পদ = a + (19 -1) d
= 11 + 18 x 8
= 11 + 144
= 155

১১,৫৮৬.

x³ - ax² + 11x - a এর একটি উৎপাদক x - 1 হলে a = ?

ক
ক) -6
খ
খ) -4
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

x -1, f(x) = x³ - ax² + 11x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0
বা, 1³ - a.1² + 11.1 - a = 0
বা, -2a + 12 = 0
∴ a = 6

১১,৫৮৭.

q² - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

ক
(q + 36)(q - 14)
খ
(q + 26)(q - 21)
গ
(q - 26)(q + 21)
ঘ
(q - 50)(q + 13)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: q² - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 37q - 650
= q² - 50q + 13q - 650
= q(q - 50) + 13(q - 50)
= (q - 50)(q + 13)

১১,৫৮৮.

(a - b) = 3 এবং a + b = 7 হলে ab এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 16
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²
= (7/2)² - (3/2)²
= 49/4 - 9/4
= (49 - 9)/4
= 40/4
= 10

১১,৫৮৯.

a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?

ক
(a - 1)
খ
(a + 1)
গ
(a + 2)
ঘ
(a - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)

১১,৫৯০.

|3x - 2| < 11 হলে -

ক
- 3 < x < - 11/3
খ
3 < x < 11/3
গ
- 3 < x < 11/3
ঘ
- 3 < x < 13/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 2| < 11 হলে -

সমাধান:
|3x - 2| < 11

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3

∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3

১১,৫৯১.

log_√381এর মান কত?

ক
ক) 1/8
খ
খ) 8
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 27

ব্যাখ্যা

log_√381
= log_√33⁴
= log_√3{(√3)²}⁴= log_√3√3⁸= 8log_√3√3= 8 × 1
= 8

১১,৫৯২.

একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা কত?

ক
৭/৮
খ
১/৪
গ
১/৮
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
মোট নমুনাক্ষেত্র = ৮টি
কমপক্ষে একটি হেড আসে এমন ঘটনা ৭টি

∴ কমপক্ষে একটি হেড আসার সম্ভাবনা = ৭/৮

১১,৫৯৩.

x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

ক
ক) (√8 - √7)/2
খ
খ) √8/√7
গ
গ) (√8 - √7)
ঘ
ঘ) (√8 + √7)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
দেওয়া আছে,
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56 + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
বা, 1/x = 1/√8 + √7
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8 + √7)(√8 - √7)
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8)² - (√7)²
বা, 1/x = (√8 - √7)/(8 - 7)
1/x = (√8 - √7)

১১,৫৯৪.

a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a + b = 4 এবং a - b = 2
আমরা জানি, ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (4² - 2²)/4
= (16 - 4)/4
= 12/4
= 3

১১,৫৯৫.

(x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) এর মান কত?

ক
9
খ
7
গ
5
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = 3

∴ (x²/y²) + (y²/x²)
= (x/y)² + (y/x)²
= {(x/y) + (y/x)}² - 2. (x/y). (y/x)
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

১১,৫৯৬.

a + b, a - b, a² - b² এর ল.সা.গু কত?

ক
ক) 1
খ
খ) a + b
গ
গ) a - b
ঘ
ঘ) a² - b²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b, a - b, a² - b² এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a + b
২য় রাশি = a - b
৩য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (a + b)(a - b) = a² - b²

১১,৫৯৭.

কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
1540
খ
1520
গ
1220
ঘ
1320

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

১১,৫৯৮.

a² + b² + c² = 6 এবং a + b + c = 4 হলে, 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

ক
9
খ
10
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 6 এবং a + b + c = 4 হলে, 2(ab + bc + ca) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + c² = 6
এবং a + b + c = 4

আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (4)² - 6
⇒ 2(ab + bc + ca) = 16 - 6
⇒ 2(ab + bc + ca) = 10

১১,৫৯৯.

x < 8 এবং 2x - y = 7 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?

ক
ক) x > y
খ
খ) y > x
গ
গ) x + y < 18
ঘ
ঘ) xy < 0

ব্যাখ্যা

x < 8 এবং 2x - y = 7
বা, y = 2x - 7 < 16 - 7 = 9
∴ y < 9
x + y < 17 < 18

১১,৬০০.

ক
21
খ
27
গ
36
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 = 3a
⇒ a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3 . a . (1/a) . (a + 1/a)
= (3)³ - 3 × 3
= 27 - 9
= 18