বীজগণিত

প্রশ্ন: 53, 65, 87, 90, 70, 69, 65, 89, 85, 53, 90, 94, 53, 68, 79, 94, 47, 61, 27, 80
প্রদত্ত উপাত্ত সমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
27, 47, 53, 53, 53, 61, 65, 65, 68, 69, 70, 79, 80, 85, 87, 89, 90, 90, 94, 94

এখানে উপাত্ত আছে 20টি, যা জোড় সংখ্যা।
মধ্যক হবে 20/2 = 10 এবং (20/2) + 1 = 11 তম পদের গড়

∴ মধ্যক = (69 + 70)/2 = 69.5 

প্রশ্ন: log_a(1/216) = - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(1/216) = - 3
⇒ a^{- 3} = 1/216
⇒ a^{- 3} = 1/6³
⇒ a^{- 3} = 6^{- 3}
∴ a = 6

10^{x + 2} = 10000
বা, 10^{x + 2} = 10⁴
বা, x + 2 = 4
∴ x = 2
∴ 2^{x + 3} = 2^{2 + 3}
= 2⁵
= 32

(০.১ × ০.২ × ০.০০৩) / (০.০১ × ০.০২ × ০.০৩)
= ০.০০০০৬ / ০.০০০০০৬
= ৬ / ০.৬
= ১০

প্রশ্ন: x⁴ - 2x + 1 কে x - 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, 
যদি কোনো বহুপদী p(x) কে (x - a) দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ = p(a) 
এখানে (x - 3) দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে তাই, a = 3 

এখানে,
p(x) = x⁴ - 2x + 1
⇒ p(3) = 3⁴ - 2 × 3 + 1  ; [ভাগশেষ = p(3)] 
⇒ p(3) = 81 - 6 + 1
∴ p(3) = 76

সুতরাং, ভাগশেষ 76

প্রশ্ন: 6q - 9 < 3 এবং q বাস্তব সংখ্যা হলে, q এর মানের পরিসীমা হচ্ছে:

সমাধান:
6q - 9 < 3
⇒ 6q < 3 + 9
⇒ 6q < 12
⇒ q < 12/6
∴ q < 2

অর্থাৎ, q ∈ (- ∞, 2)

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 সমীকরণে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2) + 3 = (x/3) + 4 
বা, (x/2) - (x/3) = 4 - 3 
বা, (3x - 2x)/6 = 1 
বা, x/6 = 1 
∴ x = 6

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3 

∴ পঞ্চম পদ = ar^{(5 - 1)}
= ar⁴
= 27 × (1/3)⁴
= 27/81
= 1/3 

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 1/3.

y² - y√3 = 0
y(y - √3) = 0
∴ y = 0 অথবা y = √3
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট {0, √3}

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, (A - B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

এবং
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
= {1, 3, 5, 7, 9}

∴ (A - B) = {3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3, 5, 7, 9}
= {4, 6, 8}

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 6, 8}

এখানে  ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = -1/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r  < 1 হলে, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)}
∴ (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - r²ⁿ⁺¹)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)^{2n + 1}) / {1 -(-1)}
= {1 -(-1)} / (1 + 1)
= (1 + 1) / (1 + 1)
= 1

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
200 তম = a + (200 - 1)d
= 2 + (199 × 4)
= 2 + 796
= 798

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 +…........... প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম  12টি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= log21 + log22 + log23 + log24 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
=(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12) log2
= {12(12 + 1)/2}log2 
= 78log2

প্রশ্ন: যদি 5√5 × 5³ ÷ 5^-3/2 = 5^{a + 2} হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (11² - 45)/2
= (121 - 45)/2
= 76/2
= 38

ⁿC₅ = ⁿC₇
5 + 7 = n = 12
এখন,12C₁₁ = 12

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 22 এবং তাদের অন্তর 6 হলে, সংখ্যা দুইটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি হলো x এবং y
প্রশ্নমতে,
x + y = 22.......... (১)
x - y = 6.........(২)

এখন, (১) + (২) করে পাই,
⇒ (x + y) + (x - y) = 22 + 6
⇒ 2x = 28
⇒ x = 28/2 =14
∴ x = 14

(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
14 + y = 22
y = 22 -14
y = 8

∴ সংখ্যা দুটি 14 এবং 8 ।

প্রশ্ন: BEAUTIFUL শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
BEAUTIFUL শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে। 
স্বরবর্ণ: E, A, U, I, U মোট 5টি, যার মধ্যে U আছে 2 বার।

যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (B, T, F, L) সাজানো যাবে।

ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।
∴ সাজানোর সংখ্যা = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

প্রশ্ন: একটি ট্রেন কিছু যাত্রী নিয়ে যাত্রা শুরু করলো। প্রথম স্টপেজে অর্ধেক যাত্রী নেমে গেল এবং ১২৫ জন উঠল। দ্বিতীয় স্টপেজে অর্ধেক যাত্রী নেমে গেল এবং ১০০ জন উঠল। এরপর ট্রেনটি ২৫০ জন যাত্রী নিয়ে গন্তব্যের দিকে রওনা দিল। ট্রেনটিতে শুরুতে কতজন যাত্রী ছিলো? 

সমাধান: 
ধরি,
শুরুতে ট্রেনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন 

প্রথম স্টপেজে যাত্রী সংখ্যা = (ক/২) + ১২৫ জন 
= (ক + ২৫০)/২ জন 

 দ্বিতীয় স্টপেজে যাত্রী সংখ্যা = {(ক + ২৫০)/২}/২ + ১০০ 
= {(ক + ২৫০)/৪} + ১০০

প্রশ্নমতে 
{(ক + ২৫০)/৪} + ১০০ = ২৫০
বা, (ক + ২৫০)/৪ = ১৫০ 
বা, ক + ২৫০ = ৬০০ 
বা, ক = ৬০০ - ২৫০ 
 ∴ ক = ৩৫০ 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 81^0.15 × 81^0.10 = ?

সমাধান:
81^0.15 × 81^0.10
= 81^{0.15 + 0.10}
= 81^0.25
= (3⁴)^0.25
= (3⁴)^1/4
= 3¹
= 3

• ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়,
1. b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। a, b, c মূলদ হলে মূলদ্বয় মূলদ হবে‌।
2. b² - 4ac > 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
3. b² - 4ac < 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।

প্রশ্ন: log_m(n³) = 3p এবং log_n(m³) = 3q হলে, pq = কত?

সমাধান:
log_m(n³) = 3p
⇒ 3 × log_m(n) = 3p [log_b(a^k) = k log_b(a)]
⇒ log_m(n) = p

আবার,
log_n(m³) = 3q
⇒ 3 × log_n(m) = 3q 
⇒ log_n(m) = q

∴ pq = log_m(n) × log_n(m)
= 1  [log_b(a) × log_a(b) = 1]

গলার হার যেহেতু বৃত্তাকার তাই একটি স্থির রেখে বাকিগুলো হিসাব করতে হবে।
আবার সামনের দিক থেকে হার যেমন দেখায় পিছন দিক থেকেও একই রকম দেখায় তাই ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
∴ ১৮টি ভিন্ন রংয়ের পাথর হারে লাগানোর উপায় = (১৮ - ১)!/২
= ১৭!/২

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +......................... ধারাটির 13 তম পদ কত?

সমাধান: 
5 + 8 + 11 + 14 +......................... এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
এবং সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d 

∴ 13 তম পদ = 5 + (13 - 1). 3
= 5 + 12 × 3
= 5 + 36
= 41

∴ 13 তম পদ = 41

প্রশ্ন: f(x) = x³ - px² + 7x - 10 হলে, তাহলে p এর কোন মানের জন্য f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
f(x) = x³ - px² + 7x - 10

f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - p(2)² + 7(2) - 10
= 8 - 4p + 14 - 10
= 12 - 4p

এখন,
f(2) = 0
⇒ 12 - 4p = 0
⇒ 4p = 12
∴ p = 3

এখানে, (12)^-1/2 × ³√54
= (4 × 3)^-1/2 × (27 × 2)^1/3
= (2² × 3)^-1/2 × (3³ × 2)^1/3
= (2^-1 × 3^-1/2) × (3 × 2^1/3)
= (2^-1+1/3) × (3^1-1/2)
= (2^-2/3) × (3^1/2)
= (3^1/2) / (2^2/3)
= (3^1/2) / (4^1/3)
= √3 / ³√4

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}^২
সুতরাং, ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = {১২(১২+১)/২}^২
= (৬ × ১৩)^২
= ৬০৮৪

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 3 হয় এবং হর থেকে 1 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

 সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 5)/y = 3
⇒ x + 5 = 3y
⇒ x - 3y = -5 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1
⇒ x = y - 1
⇒ x - y = -1 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 3y - x + y = -5 + 1
⇒ -2y = -4
⇒ y = 2

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 2 = -1
⇒ x = -1 + 2
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/2

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 11 তম পদ 66 হলে, ধারাটির প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = d
∴ 11 তম পদ = a + (11 - 1)d
= a + 10d 

শর্তমতে,
a + 10d = 66

∴ প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি = (21/2){2a + (21 - 1)d} 
= (21/2)(2a + 20d) 
= (21/2) × 2(a + 10d) 
= (21/2) × 2 × 66 
= 21 × 66 
= 1386

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 9 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ⁹C₄
= 9!/{4! × (9 - 4)!}
= 9!/(4! × 5!)
= (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 126

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারা যেখানে প্রথম পদ ৮ এবং পরবর্তী প্রতিটি পদ আগের পদ থেকে ৪ বেশি, ধারার ১০০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৪
= ৮ + (৯৯ × ৪)
= ৮ + ৩৯৬
= ৪০৪

∴ ১০০ তম পদ হলো ৪০৪

প্রশ্ন: ​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) এর মান কত?

​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4
​
​আমরা জানি,
​P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........(১)
​
​এবং স্বাধীন ঘটনার জন্য, 
​P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
​
​∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
​= (1/3) + (1/4) - {(1/3) × (1/4)}
​= (7/12) - (1/12)
​= (7 - 1)/12
​= 6/12
​= 1/2