বীজগণিত

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৫ সাল অধিবর্ষ না হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৮ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৮ - ১৯ = ৯ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৮ 

প্রশ্ন: |4x + 1| < 9 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |4x + 1| < 9
⇒ - 9 < 4x + 1 < 9
⇒ - 9 - 1 < 4x + 1 - 1 < 9 - 1
⇒ - 10 < 4x < 8
⇒ - 10/4 < x < 8/4
⇒ - 5/2 < x < 2

∴ সমাধান হলো - 5/2 < x < 2
 

প্রশ্ন: 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} = ?

সমাধান:
5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} 
= 5^{x - 1}(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^{x - 1} × 5¹
= 5^{x - 1 + 1}
= 5^x

x⁴ + x² + 1 = 0
বা, x² + 1 + 1/x² = 0
বা, x² + 1/x² = -1
(x² + 1/x²)² = 1
বা, x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 1
∴ x⁴ + 1/x⁴ = -1

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির মোট বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
ব্যবহৃত বেঞ্চ = ক − ৩
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৬(ক − ৩)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে।
তাহলে বেঞ্চে বসতে পারে = ৪ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৬(ক − ৩) = ৪ক + ৬
⇒ ৬ক − ১৮ = ৪ক + ৬
⇒ ২ক = ২৪
⇒ ক = ১২

∴ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা = ১২ টি

মাহির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ১- ১/৩ = ২/৩
কথার অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ১ - ১/৪ = ৩/৪
মাহি ও কথার একত্রে অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ২/৩ × ৩/৪ = ১/২
মাহি ও কথার একত্রে অংকটি পারার সম্ভাব্যতা = ১ - ১/২ = ১/২

প্রশ্ন: 2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2(x + 28) + 11 = 9(x + 2)
⇒ 2x + 56 + 11 = 9x + 18
⇒ 2x + 67 = 9x + 18
⇒ 7x = 49
⇒ x = 49/7
∴ x = 7

প্রশ্ন: প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 6, 5, 2, 3, 0 দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
এখানে, প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক 3 বা 5 হবে।
শেষ অবস্থানে 3 নির্দিষ্ট রেখে বাকি 4 অঙ্ক সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে।

আবার,
প্রথম অবস্থানে 0 রেখে প্রাপ্ত সংখ্যা 5 অঙ্কের নয়।
সুতরাং প্রথম অবস্থানে 0 এবং শেষ অবস্থানে 3 রেখে বাকি 3টি অঙ্ক সাজানো যায় = 3! = 6 উপায়ে।
সুতরাং শেষ অবস্থানে 3 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 - 6 = 18

অনুরূপভাবে, 
শেষ অবস্থানে 5 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 18

∴  নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা = 18 + 18 = 36

সুতরাং, 6, 5, 2, 3, 0 অঙ্কগুলি ব্যবহার করে মোট 36টি অর্থপূর্ণ 5 অংকের বিজোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব।

x + 1/x = √3
বা, (x + 1/x)³ = (√3)²
বা, x³ + 1/x³ + 3.x.1/x(x + 1/x) = 3√3
বা, x³ +1/x³ + 3√3 = 3√3
বা, x³ + 1/x³ = 3√3 - 3√3
∴ x³ + 1/x³ = 0

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A - (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}

∴ A - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4} - {3, 4}
= {1, 2}

সুতরাং,  A - (A ∩ B) = {1, 2}

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x/2 - x/3 = 17
বা, (3x - 2x)/6 = 17
সুতরাং, x = 102

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তবে, a³ + b³ + c³ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)³ = (- c)³
⇒ a³ + b³ + 3ab(a + b) = - c³
⇒ a³ + b³ + 3ab(- c) = - c³
⇒ a³ + b³ - 3abc = - c³
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2} = (7)^{3x + 8} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2} = (7)^{3x + 8}
⇒ 7^{(2x + 4)} = 7^{(3x + 8)}
⇒ 2x + 4 = 3x + 8
⇒ 2x - 3x = 8 - 4
⇒ - x = 4
⇒ x = - 4

log_(√8)^x = 10/3
or, (√8)^10/3 = x
or, (√2³)^10/3 = x
or, (2^3/2)^10/3 = x
or, 2⁵ = x
or, x = 32

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
6 জন পুরুষ থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁶C₂
= 6!/(2! × 4!)
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

4 জন মহিলা থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁴C₂
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 15 × 6 = 90

36.2^(3x-8) = 3²
or, 36.2^(3x-8) = 9
or, 2^(3x-8) = 9/36
or, 2^(3x-8) = 1/4
or, 3x – 8 = -2
or, 3x = 6
or, x = 2

প্রশ্ন: - 3 < q < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটি প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2 = 1

এখন,
-3 < q < 5
⇒ - 3 - 1 < q - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < q - 1 < 4
⇒ |q - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |q - 1| < 4

প্রশ্ন: log₂ [log₂{log₄(log₄256⁴)}] = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂ [log₂{log₄(log₄256⁴)}]
= log₂ [log₂{log₄(log₄(4⁴)⁴)}]
= log₂ [log₂{log₄(log₄4¹⁶)}]
= log₂ [log₂{log₄(16log₄4)}]
= log₂ [log₂{log₄16}]  ; [log_aa = 1]
= log₂ [log₂{log₄4²}]
= log₂ [log₂{2log₄4}]
= log₂ [log₂2]
= log₂1
= 0   ; [log_a1 = 0]

TRIANGLE শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ রয়েছে
∴ 3 টি অক্ষর নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸c₃
= 56

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4 টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3 টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){(2 × 5) + (17 - 1)4}
= (17/2){10 + (16 × 4)}
= (17/2)(10 + 64)
= (17/2) × 74 
= 629

এখানে,
১ + ৫ = ৬
৬ + ১০ = ১৬
১৬ + ২০ = ৩৬
৩৬ + ৪০ = ৭৬
৭৬ + ৮০ = ১৫৬

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 +.................. ধারাটির 10ম পদ কত? 

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
n-তম পদ = ar^n-1
∴ 10ম পদ = ar^{(10 - 1)}
= 64 × (1/2)⁹
= 64 × (1/2⁹)
= 2⁶/2⁹
= 1/2³
= 1/8

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

(৪ × ২) + ২ = ১০
(১০ × ২) + ২ = ২২
(২২ × ২) + ২ = ৪৬
(৪৬ × ২) + ২ = ৯৪
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = (৯৪ × ২) + ২ = ১৯০

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (√5)^{2x + 3} = 25 হয়, তবে x = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(√5)^{2x + 3} = 25
⇒ (5^1/2)^{2x + 3} = 5²
⇒ 5^{(2x + 3)/2} = 5²
⇒ (2x + 3)/2 = 2
⇒ 2x + 3 = 4
⇒ 2x = 4 - 3
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

x - [x - {x + 2}] - 1
= x - [x - x - 2] - 1
= x + 2 - 1
= x + 1

প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে x⁴ + 1/x⁴ = কত? 

সমাধান: 
x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= (4 + 2)² - 2
= (6)² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: ১০ জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে মোট কতবার করমর্দন করা হবে?

সমাধান:
এখানে মোট ব্যক্তির সংখ্যা, n = ১০
যেহেতু করমর্দন করতে ২ জন ব্যক্তির প্রয়োজন হয়, তাই করমর্দনের সংখ্যা হবে n সংখ্যক ব্যক্তি থেকে ২ জন ব্যক্তি কত উপায়ে বাছাই করা যায় তার সমান।

আমরা জানি, করমর্দনের সংখ্যা = ⁿC_২
= {n(n - ১)}/২
= {১০ × (১০ - ১)}/২
= (১০ × ৯)/২
= ৯০/২
= ৪৫

∴ মোট ৪৫ বার করমর্দন করা হবে।

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩^৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ১১১, ২২২, ৩৩৩ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

³√(³√a^-27)
= (³√a^-27)^1/3
= {(a^-27)^1/3}^1/3
= (a^-27)^1/9
= a^-3
= 1/a³

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৭ = ৬
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1)d
৭ + (১৫-১) × ৬
= ৭ + ১৪ × ৬
= ৯১

প্রশ্ন: যদি 10^x = 1/2, তাহলে 10^{- 8x} = ?

সমাধান:
10^x = 1/2 
⇒ 10^x = 2^-1
⇒ (10^x) ^{- 8} = (2 ^{- 1}) ^{- 8}
⇒ 10 ^{- 8x} = 2⁸
⇒ 10 ^{- 8x} = 256

প্রশ্ন: 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,