বীজগণিত

প্রশ্ন: 5 টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
5 টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে = (5 - 1)!/2 উপায়ে;     [সুত্র: (n - 1)!/2]
= 4!/2
= (4 × 3 × 2)/2
= 12 উপায়ে

4x = 3y
বা, x/y = 3/4
(x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4)
= 7/(-1)
= -7

প্রশ্ন: (x + 3) (x - 3) কে x² - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? 

সমাধান:
(x + 3)(x - 3)
= x² - 9

এখন, 
x² - 9 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি,
x² - 9 = (x² - 6) - 3
এখন, ভাজকের আকারে প্রকাশ করে পাই,
x² - 9 = 1. (x ² - 6) + (- 3)   ; [ভাজ্য = ভাগফল × ভাজক + ভাগশেষ]

∴ ভাগশেষ = - 3 

9x² - 9x - 4
= 9x² + 3x -12x - 4
= 3x (3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

প্রশ্ন: 3p² - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান:
3p² - 8p + 5
= 3p² - 3p - 5p +5
= 3p(p - 1) - 5(p - 1)
= (p - 1) (3p - 5)

প্রশ্ন: যদি a + b = √11 এবং a - b = √3 হয়, তবে 8ab(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = √11 এবং a - b = √3

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√11)² - (√3)²} × (√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

ধরি,
চার x টি, তাহলে ছক্কা (21 - x)টি।
এখন,
4x + 6(21 - x) = 96
বা, 4x + 126 - 6x = 96
বা, -2x = 96 - 126
বা, -2x = - 30
বা, x = 30/2
সুতরাং x = 15

ধারা : ৭, ১৫, ৩১, ৬৩......
অন্তর ৮, ১৬, ৩২, ৬৪
∴ পরবর্তী সংখ্যা = ৬৩ + ৬৪
= ১২৭

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52 টি
রুইতন তাসের সংখ্যা = 13 টি
রাজার সংখ্যা = 4 টি
অনুকূল ঘটনা = 13 + (4 - 1) টি [1টি রাজা রুইতনে গণনা করা হয়েছে তাই]
= 16

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 16/52 = 4/13

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (4/13)
= 9/13

(x² + y²) = (x - y)² + 2xy
= 12 + (2.2)
= 12 + 4
= 16

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান-

সমাধান:
log₄(1/16)
= log₄(1/4²)
= log₄(4^{- 2})
= - 2log₄4
= - 2 × 1
=  - 2

প্রশ্ন: GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান: 
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪৪০ থেকে ৬৫০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৪৪০+৬৫০)/২
= ১০৯০
= ৫৪৫

প্রশ্ন: 2x - 1 > 3x - 2 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x - 1 > 3x - 2
⇒ 2x - 1 - 3x + 1 > 3x - 2 - 3x + 1
⇒ - x > - 1
⇒ x < 1
 
∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, 1)

প্রশ্ন: log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1
⇒ log₅{(x - 4) × 3} = log₅(x + 2) - log₅5 [log_aM + log_aN = log_a(MN) এবং log_aa = 1]
⇒ log₅(3x - 12) = log₅{(x + 2)/5} [log_aM - log_aN = log_a(M/N)]
⇒ 3x - 12 = (x + 2)/5
⇒ 5(3x - 12) = x + 2
⇒ 15x - 60 = x + 2
⇒ 15x - x = 2 + 60
⇒ 14x = 62
⇒ x = 62/14
∴ x = 31/7

16y² - a² - 6a - 9
= 16y² - (a² + 6a + 9)
= (4y)² - (a + 3)²
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

nসংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
= 2{1 - (- 1)²ⁿ⁺⁵}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - (- 1)}/ 2  [যেহেতু 2n + 5 বিজোড় সংখ্যা, তাই (- 1)^{2n + 5} = - 1] 
= 2(1 + 1)/2 
= 2 × 2/2
= 4/2
= 2 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 এবং বর্গের যোগফল 289 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

 সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
xy = 120 .............(1)
x² + y² = 289 ........(2)

আমরা জানি, (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 289 + 2 × 120
⇒ (x + y)² = 289 + 240
⇒ (x + y)² = 529
⇒ (x + y) = √529
∴ x + y = 23

প্রশ্ন: T = {y: y জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ y ≤ 7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
সেটটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: y জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ 2, 4, 6, 8 …
সীমা: 1 ≤ y ≤ 7
তাই তালিকার প্রথম কয়েকটি উপাদান হবে: 2, 4, 6, 

∴ সঠিক তালিকার প্রথম তিনটি উপাদান হলো {2, 4, 6}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 4টি লাল, 6টি সবুজ, এবং 10টি হলুদ বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = (4 + 6 + 10)টি = 20টি

বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 6/20 = 3/10
বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/10)
= (10 - 3)/10
 = 7/10

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা 7/10

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৫০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৪০। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু গরু ও মুরগির একটি করে মাথা থাকে তাই গরু ও মুরগির মোট সংখ্যা হবে = ৫০

ধরি,
খামারে গরুর সংখ্যা  = ক টি 
মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ক) টি 
আমরা জানি,
গরুর পায়ের সংখ্যা = ৪ টি এবং মুরগির পায়ের সংখ্যা = ২ টি 
প্রশ্নমতে,
৪ক + ২(৫০ - ক) = ১৪০
⇒ ৪ক + ১০০ - ২ক = ১৪০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ১০০
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
⇒ ক = ২০

∴ খামারে গরুর সংখ্যা = ২০ টি 
এবং মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ২০) = ৩০ টি 

দেওয়া আছে,
বা, x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3
প্রদত্ত রাশি,
= (x³ + 1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (3)³ - 3.3
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে  x^{a + b} = কত? 

সমাধান: 
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
∴ a + b = 1 

এখন,
x^{a + b}
= x¹
= x

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + ....................... + 2P = কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
মনে করি,
n তম পদ = 2P

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d
⇒  2P =  2 + (n - 1) × 2
⇒ 2P = 2 + 2n - 2
⇒ 2P = 2n
⇒ P =n

এখানে,
পদসংখা n = P

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার P  সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (P/2) × {2a + (P - 1) × d}
= (P/2) × {2 × 2 + (P - 1) × 2}
= (P/2) × (4 + 2P - 2)
= (P/2) × (2P + 2)
= (P/2) × 2(P + 1)
= P(P + 1)
= P²+ P

এখানে,
১ম পদ = 3,
সাধারণ অন্তর = 5 - 3 = 2
শেষ পদ = 383 
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর)} + 1
= {(383 - 3)/2} + 1
= (380/2) + 1
= 190 + 1
= 191

(x+y)² = (x-y)²+4xy
         = 2² + 4×24
         = 100
∴ x+y = ± 10
ধনাত্মক মান নিয়ে,
(x+y) + (x-y) = 10+2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

x + y = √7
এবং y = x - √3
বা, x - y = √3
আমরা জানি,
xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4
= {(√7)² - (√3)²}/4
= (7 - 3)/4
= 4/4
= 1
∴ xy = 1

প্রশ্ন: যদি A = {x : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুনিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে A - B = কত?

সমাধান:
এখানে,
A = {x : x, 10 এর গুণনীয়কসমূহ}
10 এর গুণনীয়কসমূহ হলো 1, 2, 5, 10
∴ A = {1, 2, 5, 10}

B = {x : x, 2 এর গুনিতক এবং x ≤ 8}
2 এর গুনিতক যা 8 বা তার কম তা হলো 2, 4, 6, 8
∴ B = {2, 4, 6, 8}

A - B = {1, 2, 5, 10} - {2, 4, 6, 8}
= {1, 5, 10}

কালামের বেতন = x টাকা হলে, সালামের বেতন = 2x এবং আরিফের বেতন = x/4
সুতরাংতাদের তিনজনের বেতনের যোগফল = x + 2x+ x/4= 13x/4.

প্রশ্ন:  U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, X = {2, 4, 6, 8, 10}, Y = {1, 2, 3, 4} হলে, X´ ∩ Y´ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
X = {2, 4, 6, 8, 10}
Y = {1, 2, 3, 4}

তাহলে, 
X′ = U - X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 4, 6, 8, 10} 
= {1, 3, 5, 7, 9}

Y′ = U - Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 2, 3, 4} 
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}

প্রদত্ত রাশি, 
X′ ∩ Y′ = {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 9, 10} 
= {5, 7, 9}

∴ X′ ∩ Y′ = {5, 7, 9} 

প্রশ্ন: যদি a + (1/a) = 7 হয়, তবে a/(a² + a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + (1/a) = 7
⇒ (a² + 1)/a = 7
⇒ (a² + 1) = 7a

এখন,
a/(a² + a + 1)
= a/(7a + a)
= a/8a
= 1/8

x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x² - 5x + 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান:

⇒ log_√27 x = 10/3
⇒ x = (√27)^10/3 [log_a M = n ⇒ aⁿ = M]
⇒ x = (√3³)^10/3
⇒ x = (3^3/2)^10/3
⇒ x = 3^10/2
⇒ x = 3⁵
∴ x = 243